L'équation réduite d'une droite- Terminale- Mathématiques - Maxicours

L'équation réduite d'une droite

Objectifs
  • Reconnaitre l’équation réduite d’une droite.
  • Déterminer la pente d’une droite donnée par une équation ou par une représentation graphique.
  • Déterminer l'équation réduite d'une droite à partir de deux points.
  • Déterminer l'équation réduite d'une droite à partir d'un point et de la pente.
Points clés
  • L’équation réduite d’une droite est de la forme :
    • y = mx+ p, où m et p sont des nombres réels (m ≠ 0), si elle n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées ;
    • x = c, où c est un nombre réel, si elle est parallèle à l'axe des ordonnées ;
    • y = p, où p est un nombre réel, si elle est parallèle à l'axe des abscisses.
  • Toute droite du plan non parallèle à l’axe des ordonnées admet une unique équation réduite de la forme y = mx + p.
  • m est la pente de la droite ; on dit aussi que m est le coefficient directeur de la droite.
    p est l’ordonnée à l’origine de la droite. Cela signifie que la droite passe par le point de coordonnées (0 ; p).
  • Le coefficient directeur d’une droite qui passe par deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB) est : .
Pour bien comprendre
  • Fonction affine
  • Lire les coordonnées d’un point sur un graphique
  • Résoudre une équation du premier degré

Toutes les droites du plan sont caractérisées par leur équation, qui peut s’écrire de deux façons différentes : on parle d’équation réduite ou d’équation cartésienne d’une droite. Dans cette fiche, on étudie plus particulièrement les équations réduites de droites.
On considère le plan muni d’un repère orthonormé .

1. Équation réduite d'une droite, pente et ordonnée à l'origine
a. Équation réduite d'une droite
L’équation réduite d’une droite est de la forme :
  • y = mx+ p, où m et p sont des nombres réels (m ≠ 0), si elle n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées ;
  • x = c, où c est un nombre réel, si elle est parallèle à l'axe des ordonnées ;
  • y = p, où p est un nombre réel, si elle est parallèle à l'axe des abscisses.
Exemples
y = 3x + 2 est l’équation réduite d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées.
x = 3 est l’équation réduite d’une droite parallèle à l’axe des ordonnées.
y = –3 est l’équation réduite d’une droite parallèle à l’axe des abscisses.
Remarque
Toute droite du plan non parallèle à l’axe des ordonnées admet une unique équation réduite de la forme y = mx + p, et est la représentation graphique de la fonction affine f définie par f(x) = mx + p.
b. Pente et ordonnée à l'origine
m est la pente de la droite ; on dit aussi que m est le coefficient directeur de la droite.
p est l’ordonnée à l’origine de la droite. Cela signifie que la droite passe par le point de coordonnées (0 ; p).
Exemple
y = 3x + 2 est la droite de coefficient directeur 3.
L’ordonnée à l’origine est 2. La droite passe donc par le point de coordonnées (0 ; 2).
2. Détermination de l'équation réduite d'une droite
a. Par lecture graphique

On sait que l’équation réduite d’une droite (d) est de la forme y = mx + p. Pour déterminer cette équation réduite, il faut donc trouver par lecture graphique la valeur des coefficients m et p.

Méthode


On considère la droite (d) représentée ci-dessus. Pour déterminer graphiquement son équation réduite de la forme y = mx + p :

  1. choisir sur le graphique deux points A et B appartenant à la droite (d) et dont les coordonnées sont faciles à lire (on choisit si possible des points dont les abscisses ou les ordonnées « tombent rond »). Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB) ces coordonnées ;
  2. déterminer le coefficient directeur m, en appliquant la relation suivante : ;
  3. déterminer l’ordonnée à l’origine p. Pour cela, il suffit de lire sur le graphique l’ordonnée du point d’intersection de (d) avec l’axe des ordonnées.
Exemple 1
Déterminer l’équation réduite de la droite (d1) suivante.

On sait que l’équation réduite d’une droite est de la forme y = mx + p.
  1. Sur le graphique, on choisit deux points appartenant à (d1) et dont les coordonnées sont faciles à lire : par exemple, les points A(2 ; –3) et B(–1 ; 3).
  2. On calcule la valeur du coefficient directeur directeur m à partir des coordonnées des points A et B : .
  3. On lit sur le graphique la valeur de l’ordonnée à l’origine p (c’est l’intersection entre la droite et l’axe des ordonnées). On trouve p = 1.
    L’équation de la droite (d1) est donc : y = –2x + 1.
Exemple 2
Déterminer l’équation réduite de la droite (d2) suivante.

On sait que l’équation réduite d’une droite est de la forme y = mx + p.
  1. Sur le graphique, on choisit deux points appartenant à (d2) et dont les coordonnées sont faciles à lire : par exemple, les points A(3 ; 1) et B(–1 ; –3).
  2. On calcule la valeur du coefficient directeur directeur m à partir des coordonnées des points A et B : .
  3. On lit sur le graphique la valeur de l’ordonnée à l’origine p (c’est l’intersection entre la droite et l’axe des ordonnées). On trouve p = –2.
    L’équation de la droite (d2) est donc : y = x – 2.
Remarque
Il n’est pas toujours simple de lire l’ordonnée à l’origine sur un graphique, aussi on préfère souvent à la méthode graphique la méthode calculatoire suivante.
b. À partir des coordonnées de deux points

Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB) deux points d’une droite (d) dont on cherche l’équation réduite.
L’équation cherchée est de la forme y = mx + p. Il faut donc calculer la valeur des coefficients m et p à partir des coordonnées des points A et B.

Méthode

Pour déterminer l’équation réduite de la forme y = mx + p d’une droite (d) à partir des coordonnées de deux points A et B appartenant à (d) :

  1. calculer la valeur du coefficient directeur m à partir de la relation ;
  2. calculer la valeur de l’ordonnée à l’origine p en utilisant les coordonnées du point A ou B. Par exemple, avec le point A : ce point appartient à la droite, ses coordonnées vérifient donc l’équation y = mx + p. D’où l’obtention de p par la résolution d’une équation.
Exemple 1
Déterminer l’équation réduite de la droite (d3) passant par les points
A(2 ; –3) et B(–1 ;  3).
Cette équation réduite est de la forme y = mx + p.
  1. On calcule la valeur de m :  .
  2. On calcule la valeur de l’ordonnée à l’origine p, à partir des coordonnées du point A(2 ;-3).
    Comme A appartient à (d3), il vérifie l’équation y = –2x + p.
    Donc .
    L’équation réduite de la droite (d3) est donc y = –2x + 1.
Exemple 2
Déterminer l’équation réduite de la droite (d4) passant par les points A(3 ; 1) et B(–1; –3).
Cette équation réduite est de la forme y = mx + p.
  1. On calcule la valeur de m.
  2. On calcule la valeur de l’ordonnée à l’origine p, à partir des coordonnées du point A(3 ; 1).
    Comme A appartient à (d4), il vérifie l’équation y = 1x + p.
    Donc .
    L’équation réduite de la droite (d4) est donc y = x – 2.

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