Les représentations graphiques d'une série statistique- Terminale- Mathématiques - Maxicours

Les représentations graphiques d'une série statistique

Objectifs
  • Identifier, construire et lire un diagramme en bâtons.
  • Identifier, construire et lire un histogramme.
  • Identifier, construire et lire un diagramme circulaire.
  • Identifier, construire et lire un polygone des effectifs.
  • Identifier, construire et lire un diagramme en boite.
Points clés
  • Une série statistique peut être représentée de différentes façons : sous forme de liste, de tableau, de graphique, etc.
    La représentation graphique d’une série statistique peut faciliter son étude et permettre de comparer plusieurs séries plus rapidement.
  • Il existe différents types de représentations graphiques d’une série statistique : diagramme en bâtons, histogramme, diagramme circulaire, polygone des effectifs, diagramme en boite... Le choix d’une représentation dépend du type de série et du message que l’on veut faire passer.
Pour bien comprendre
  • Construire un angle au rapporteur
  • Vocabulaire des séries statistiques
  • Médiane, quartiles, valeur minimale et valeur maximale d'une série statistique

Une série statistique peut être représentée de différentes façons : sous forme de liste, de tableau, de graphique, etc.
La représentation graphique d’une série statistique peut faciliter son étude et permettre de comparer plusieurs séries plus rapidement.

Il existe différents types de représentations graphiques d’une série statistique. Le choix d’une représentation dépend du type de série et du message que l’on veut faire passer.

1. Le diagramme en bâtons
Le diagramme en bâtons est adapté pour représenter des caractères statistiques, dont les valeurs sont qualitatives (la couleur des cheveux, par exemple) ou quantitatives (le prix d’un objet, par exemple).
Il est très utilisé pour représenter des effectifs ou des fréquences.
Pour le construire

On met généralement le caractère étudié en abscisse et les effectifs correspondants en ordonnée. Il faut bien choisir les unités pour que le diagramme soit le plus lisible possible.

Exemple
On a interrogé 100 personnes sur la question suivante : « Combien de fois avez-vous été au cinéma le mois dernier ? »
Les réponses ont été rassemblées dans le tableau ci-dessous.
Nombre de séances 0 1 2 3 4
Effectif 18 30 22 19 11
Sur l’axe des abscisses, on peut choisir d’espacer les bâtons de 3 cm les uns des autres.
Sur l’axe des ordonnées, on peut choisir 4 cm pour 10 personnes.
On obtient le diagramme en bâtons suivant.
Répartition des effectifs en fonction du nombre de séances de cinéma
Pour le lire

Généralement, le caractère étudié est en abscisse et l'effectif correspondant en ordonnée. Dans ce cas, la hauteur de chaque barre est proportionnelle à l'effectif.
Si le caractère étudié est en ordonnée et l'effectif en abscisse, c'est la longueur de chaque barre (de gauche à droite) qui est proportionnelle à l'effectif.

Exemple
Dans le diagramme en bâtons ci-dessus, le caractère étudié est le nombre de séances de cinéma (en abscisse) et l'effectif correspondant est en ordonnée.
La deuxième barre verticale en partant de la gauche signifie que 30 personnes ont été au cinéma une seule fois le mois dernier.
2. L'histogramme
L’histogramme est adapté pour représenter des caractères statistiques dont les  valeurs sont réparties en classes, c’est-à-dire que les valeurs sont réparties dans des intervalles.
Il est très utilisé pour représenter les effectifs ou les fréquences de ces classes.
Pour le construire

On met généralement le caractère étudié en abscisse et les effectifs correspondants en ordonnée. Il faut bien choisir les unités pour que le diagramme soit le plus lisible possible.

Exemple
Dans une entreprise, pour être vendues, les pommes de terre sont triées selon leur calibre. On a regroupé les résultats dans le tableau suivant.
Calibre en mm [60 ; 65[ [65 ; 70[ [70 ; 75[ [75 ; 80[
Quantité en kg 105 156 145 98
Sur l’axe des abscisses, on peut choisir 2 cm pour 5 mm et commencer à 55 mm.
Sur l’axe des ordonnées, on peut choisir 1 cm pour 10 kg.
On obtient l’histogramme correspondant.
Répartition de la quantité de pommes de terre en fonction de leur calibre
Pour le lire

Généralement, le caractère étudié est en abscisse et l'effectif correspondant en ordonnée. Dans ce cas, la hauteur de chaque barre est proportionnelle à l'effectif.
Si le caractère étudié est en ordonnée et l'effectif en abscisse, c'est la longueur de chaque barre (de gauche à droite) qui est proportionnelle à l'effectif.

Exemple
Dans l'histogramme ci-dessus, le caractère étudié est le calibre de pommes de terre (en abscisse) et l'effectif correspondant est en ordonnée.
La barre verte signifie qu'environ 145 kg de pommes de terre ont un calibre compris entre 70 et 75 mm.
3. Le diagramme circulaire
Le diagramme circulaire permet de mieux visualiser la part relative de chaque valeur (ou classe) par rapport à la totalité des parts.
Un diagramme circulaire entier mesure 360°.
Pour le construire
  1. calculer les angles associés à chacune des valeurs du caractère étudié. Pour cela, utiliser la formule :  ;
  2. dessiner un cercle ;
  3. placer un premier rayon ;
  4. construire les angles les uns à la suite des autres.
Exemple
On reprend l’exemple précédent du calibre des pommes de terre.
Calibre en mm [60 ; 65[ [65 ; 70[ [70 ; 75[ [75 ; 80[
Quantité en kg 105 156 145 98
Angle en degrés
On obtient le diagramme circulaire suivant.
Répartition des quantités de pommes de terre en fonction de leur calibre
Pour le lire

Chaque secteur correspond à une valeur du caractère étudié. L'angle de chaque secteur est proportionnelle à l'effectif de la valeur : plus l'angle est grand, plus l'effectif est important.

Exemple
Dans le diagramme circulaire ci-dessus, le caractère étudié est le calibre de pommes de terre. Chaque secteur indique une valeur différente de ce calibre. Il y a quatre secteurs de couleurs différentes, donc quatre valeurs différentes de calibre en mm : . L'angle de chaque secteur correspond à l'effectif, exprimé sous forme de proportion.
Le secteur jaune signifie qu'un peu plus d'un quart de la quantité totale de pommes de terre a un calibre compris entre 70 et 75 mm.
4. Le polygone des effectifs
Le polygone des effectifs est particulièrement utilisé avec les fréquences cumulées croissantes ou les effectifs cumulés croissants, car il permet de déterminer la médiane.
Pour le construire
  1. réfléchir au choix des unités avant de commencer pour que toutes les valeurs soient représentées ;
  2. en général, mettre le caractère étudié en abscisse et les effectifs correspondants en ordonnée ;
  3. placer les points du tableau dans le repère et les relier par des segments.
Exemple 1
À l’occasion d’une épreuve de saut en hauteur, on a noté les résultats des participants dans le tableau ci-dessous.
Hauteur en cm 105 110 115 120 125
Effectif 4 3 12 4 5
Pour construire ce graphique, on peut choisir 1 cm pour 1 unité sur l’axe des abscisses et commencer à 105 cm.
Sur l’axe des ordonnées, on peut choisir 1 cm pour 1 élève.
On obtient le polygone des effectifs correspondant.
Répartition des effectifs en fonction de la hauteur atteinte
Exemple 2
Si on reprend l’exemple précédent et qu’on le complète avec les fréquences cumulées croissantes, on obtient :
Hauteur en cm 105 110 115 120 125
Effectif 4 3 12 4 5
Fréquence cumulée 1

Fréquence cumulée croissante de la hauteur atteinte
La médiane correspond à la valeur pour laquelle la fréquence cumulée croissante vaut 0,5.
Par lecture graphique, on trouve une médiane de 113.
Pour le lire

Dans le cas d'un polygone des effectifs simple, le caractère étudié est généralement en abscisse et l'effectif correspondant en ordonnée.
Dans le cas d'un polygone des fréquences cumulées croissantes, le caractère étudié est généralement en abscisse et la fréquence cumulée croissante en ordonnée. La médiane est la valeur en abscisse pour laquelle la fréquence cumulée croissante vaut 0,5.

Exemple
Dans le graphique des fréquences cumulées croissantes ci-dessus, le caractère étudié est la hauteur atteinte en cm (en abscisse) et la fréquence cumulée croissante est en ordonnée.
On lit que 75 % des participants ont atteint une hauteur comprise entre 105 et 118 cm environ.
Pour connaitre la valeur médiane, on trace une droite horizontale d'équation y = 0,5 et on lit la valeur de l'abscisse du point d'intersection entre la droite et le polygone. On trouve une hauteur médiane de 113 cm.
5. Le diagramme en boite
Le diagramme en boite, appelé également boite à moustaches, est en quelque sorte une représentation symbolique comportant plusieurs paramètres de la série. Sa définition peut varier mais on y trouvera toujours :
  • la médiane Me ;
  • les quartiles Q1 et Q;
  • les minimales et maximales du caractère (Min et Max).

Il est possible d'y trouver également les déciles D1 et D9 (et même des centiles...).

Pour le construire et pour le lire 

Il se construit de la manière suivante :


En réalité, sur l'axe gradué qui est sous la boite ne doivent figurer que les valeurs des graduations.

Le diagramme en boite permet de visualiser les quatre quarts de la série :
- 25 % de la population a une valeur de caractère inférieure à Q1 ;
- 50 % de la population a une valeur de caractère inférieure à Me ;
- 75 % de la population a une valeur de caractère inférieure à Q3 ;
- 100 % de la population a une valeur de caractère inférieure à Max.

Le diagramme indique aussi l'étendue de la série (la longueur du diagramme) et l'écart interquartile (la longueur de la boite).
On a ainsi 50 % de la population « dans la boite ».

Exemple
On considère la série statistique de 50 valeurs présentées dans le tableau ci-dessous. On a pris soin de les ordonner de la plus petite à la plus grande.

5

15

19

21

29

7

16

19

21

30

11

16

19

23

33

14

16

19

24

33

15

16

19

24

33

15

16

20

25

33

15

16

20

25

33

15

17

20

26

34

15

18

20

27

34

15

18

21

28

35

La plus petite valeur est Min = 5, la plus grande Max = 35.
Il y a 50 valeurs, la médiane est la moyenne de la 25e et de la 26e :
Me = (19 + 20) ÷ 2 = 19,5.
Pour Q1 : 25 % de 50, cela fait 12,5. Il faut laisser au moins 25 % en dessous de Q1, on prend la 13e valeur : Q1 = 16.
Pour Q3 : 75 % de 50, cela fait 37,5. Il faut laisser 75 % au moins en dessous de Q3, on prend la 38e valeur: Q3 = 26.

L'écart interquartile est donc égal à Q3 Q1 = 26 – 16 = 10.
Voici une représentation de la boite à moustache de cette série.

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