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Fonctions exponentielles de base q

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Objectifs
  • Définir la fonction exponentielle de base q.
  • Connaitre les relations algébriques.
  • Connaitre les variations et la représentation graphique d'une fonction exponentielle de base q.
Points clés
  • La fonction  avec q > 0 est appelée fonction exponentielle de base q.
  •  pour tout x réel.
  • La fonction est croissante sur ℝ si q > 1 et décroissante sur ℝ si 0 < < 1.
  • Soient  et  deux nombres réels quelconques et  > 0 :
  • Le taux moyen d'évolution tM  sur n périodes d'un taux global T est donné par : 

 

Pour bien comprendre
  • Connaître les puissances entières d'un nombre.
  • Connaître les variations d'une fonction.
1. Définition
a. Fonction exponentielle de base q > 0
Définition
La fonction exponentielle de base q est la fonction définie sur ℝ qui, à tout nombre réel x, fait correspondre le nombre qx, avec q un réel strictement positif.
Notation
Remarque :
Les fonctions exponentielles de la forme (avec  un réel) sont le prolongement continu des suites géométriques de la forme  (avec  un entier naturel). 

Exemples
  • Si  alors .
    La fonction  est la fonction exponentielle de base 10, définie sur ℝ.
  • Si  alors .
    La fonction  est la fonction exponentielle de base 0,5, définie sur ℝ. 

Si q > 0, alors q0 = 1 et q1 = q.

b. Dérivée
Théorème
Soit  la  fonction définie sur ℝ par , avec  un réel strictement positif.
La fonction  est dérivable sur ℝ.
Conséquence
Soit la fonction définie sur ℝ par , avec  un réel strictement positif. 
La fonction  est continue sur ℝ.

 

2. Propriétés
Propriétés
Soient et  deux nombres réels quelconques et .
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
Exemples
  ;      
Théorème
Soit  un nombre strictement positif.
Pour tout nombre  réel, on a :  .
3. Sens de variation et répresentations graphiques
Le sens de variation d'une fonction exponentielle de base   dépend de la valeur de 
Remarque
Si q = 1, la fonction exponentielle de base  est constante sur ℝ.
a. Cas où q > 1
Propriétés 
Si q > 1, alors :
  • la fonction exponentielle de base telle que   est strictement croissante sur ℝ ;
  • pour toute valeur de , on a : .
  • Sa représentation graphique est de la forme :


b. Cas où 0 < q < 1
Propriétés
Si 0 < q < 1, alors :
  • la fonction exponentielle de base  telle que   est strictement décroissante sur ℝ ;
  • pour toute valeur de , on a : .
  • Sa représentation graphique est de la forme : 

 

c. Avec un coefficient multiplicateur
Propriétés
Soit k un réel non nul.
Si k > 0, la fonction x → kqx possède le même sens de variation et la même forme de représentation graphique que la fonction exponentielle de base q : x → kqx.
Si k < 0, la fonction x → kqx possède le sens de variation contraire à celui la fonction exponentielle de base q : x → kqx.

Sa représentation graphique devient :

  • si q > 1 : (exemple avec )

  • si 0 < q < 1 : (exemple avec x → –5 × 0,3x)

4. Application au calcul de taux d'évolution moyen

Lorsqu'un taux d'évolution T est constaté sur une période, à partir d'une quantité initiale de 1, la quantité en fin de période est de 1 + T.
Si cette période est composée de n sous-périodes (ex : la période une année est composée de 12 mois), et qu'on veut déterminer le taux moyen tM d'évolution par sous-période, on utilise la relation 1 + T = (1 + tM)n, qui se transforme en  d'où .
Dans cette dernière relation on constate la présence d'une exponentielle de base 1 + T.

Exemple :
En France, le prix d'un timbre a doublé entre le 1er juillet 2010 et le 1er juillet 2020. À quels taux d'augmentation moyen annuel et mensuel cela correspond-il ?
En doublant, le prix unitaire d'un timbre est passé de 1 à 2, donc T = 1 puisque 1 + 1 = 2. On va donc utiliser la fonction exponentielle f de base 1 + T = 2 définie par f(x) = 2x. Pour calculer le taux d’augmentation moyen, on utilise la formule  qui devient 
  • Pour le taux d'évolution annuel on calcule car 10 années séparent 2010 de 2020 donc n = 10 et donc tM = f(1/10) – 1

    On en déduit le taux moyen annuel en calculant 1,0718 – 1 = 0,0718 soit un taux d'augmentation moyen d'environ 7,18 % chaque année pendant 10 ans.
  • Pour le taux d'évolution mensuel on calcule car 120 mois séparent le 1er juillet 2010 du 1er juillet 2020 donc n = 120 et donc tM = f(1/120) – 1

    On en déduit le taux moyen mensuel en calculant 1,0058 – 1 = 0,0058 soit un taux d'augmentation moyen d'environ 0,58 % chaque mois pendant 120 mois.

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