Fonctions exponentielles de base q
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Définir la fonction exponentielle de base q.
- Connaitre les relations algébriques.
- Connaitre les variations et la représentation graphique d'une fonction exponentielle de base q.
- La fonction
avec q > 0 est
appelée fonction exponentielle de base
q.
-
pour tout x réel.
- La fonction est croissante sur ℝ si q > 1 et décroissante sur ℝ si 0 < q < 1.
- Soient
et 
deux nombres réels
quelconques et 
> 0 :
-
-
Le taux moyen d'évolution tM sur n périodes d'un taux global T est donné par :
- Connaître les puissances entières d'un nombre.
- Connaître les variations d'une fonction.
La fonction exponentielle de base q est la fonction définie sur ℝ qui, à tout nombre réel x, fait correspondre le nombre qx, avec q un réel strictement positif.
Les fonctions exponentielles de la forme
(avec 
un réel) sont le prolongement
continu des suites géométriques de la
forme 
(avec 
un entier
naturel).
- Si
alors 
.
La fonction
est la fonction
exponentielle de base 10, définie
sur ℝ.
- Si
alors 
.
La fonction
est la fonction
exponentielle de base 0,5, définie
sur ℝ.
Si q > 0, alors q0 = 1 et q1 = q.
Soit
la fonction définie
sur ℝ par 
, avec 
un réel strictement
positif.La fonction
est dérivable
sur ℝ.
Soit
la fonction définie sur ℝ
par 
, avec 
un réel strictement
positif. La fonction
est continue
sur ℝ.
Soient
et deux nombres réels
quelconques et 
.
;
Soit
un nombre strictement
positif.Pour tout nombre
réel, on
a : .
dépend de la valeur
de 
.
Si q = 1, la fonction exponentielle de base
est constante sur ℝ.
Si q > 1, alors :
- la fonction exponentielle de
base
telle
que 
est
strictement croissante sur ℝ
;
- pour toute valeur de
, on
a : 
.
- Sa représentation graphique est de la forme :
Si 0 < q < 1, alors :
- la fonction exponentielle de
base
telle
que 
est
strictement décroissante
sur ℝ ;
- pour toute valeur de
, on a
: 
.
- Sa représentation graphique est de la forme :
Soit k un réel non nul.
Si k > 0, la fonction x → kqx possède le même sens de variation et la même forme de représentation graphique que la fonction exponentielle de base q : x → kqx.
Si k < 0, la fonction x → kqx possède le sens de variation contraire à celui la fonction exponentielle de base q : x → kqx.
Sa représentation graphique devient :
- si q > 1 :
(exemple avec
)
- si 0 < q < 1 :
(exemple avec x → –5 × 0,3x)
Lorsqu'un taux d'évolution T est constaté sur
une période, à partir d'une quantité
initiale de 1, la quantité en fin de
période est de 1 + T.
Si cette période est composée
de n
sous-périodes (ex : la période une
année est composée de 12 mois), et
qu'on veut déterminer le taux
moyen tM
d'évolution par sous-période, on utilise la
relation 1 + T = (1 + tM)n,
qui se transforme en 
d'où 
.
Dans cette dernière relation on constate la
présence d'une exponentielle de base 1 + T.
En France, le prix d'un timbre a doublé entre le 1er juillet 2010 et le 1er juillet 2020. À quels taux d'augmentation moyen annuel et mensuel cela correspond-il ?
En doublant, le prix unitaire d'un timbre est passé de 1 à 2, donc T = 1 puisque 1 + 1 = 2. On va donc utiliser la fonction exponentielle f de base 1 + T = 2 définie par f(x) = 2x. Pour calculer le taux d’augmentation moyen, on utilise la formule
qui devient 
- Pour le taux d'évolution annuel on calcule
car 10 années
séparent 2010 de 2020 donc n = 10 et
donc tM = f(1/10) – 1
On en déduit le taux moyen annuel en calculant 1,0718 – 1 = 0,0718 soit un taux d'augmentation moyen d'environ 7,18 % chaque année pendant 10 ans. - Pour le taux d'évolution mensuel on calcule
car 120 mois
séparent le 1er juillet 2010
du 1er juillet 2020 donc n = 120 et
donc tM = f(1/120) – 1
On en déduit le taux moyen mensuel en calculant 1,0058 – 1 = 0,0058 soit un taux d'augmentation moyen d'environ 0,58 % chaque mois pendant 120 mois.
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