Ajustement affine - Maxicours

Ajustement affine

Objectif(s) 
  • Définir un ajustement affine.
  • Déterminer une droite d'ajustement :
    • graphiquement ;
    • par la méthode des moindres carrés (droite de régression).
  • Effectuer des extrapolations à partir de la droite de régression.
Points clés
  • Lorsque les points d'un nuage représentant une série statistique double (X ; Y) sont suffisamment alignés, on peut modéliser le nuage de points par une droite d'ajustement.
  • La méthode des moindres carrés, intégrée aux calculatrices, permet d'obtenir l'équation de cette droite, nommée alors la droite de régression de Y en X.
  • Lorsque les points du nuage sont suffisamment alignés et très proches de la droite d'ajustement, on peut calculer des valeurs manquantes de la série. En choisissant une valeur du caractère X, on estime ce que serait la valeur correspondante du caractère Y. Ce procédé s'appelle l'interpolation.
  • L'énoncé d'un problème peut suggérer un changement de variable sur l'un des deux caractères pour rendre le nuage plus propice à un ajustement affine.
Pour bien comprendre
  • Connaître les notions de :
    • série statistique double ;
    • nuage de points ;
    • point moyen d'une série.
    Cf fiche : Série statistique double et nuage de points
  • Savoir utiliser le menu STATS de la calculatrice.
  • Connaître la notion d'équation de droite.
    Cf fiche : L’équation réduite d’une droite
1. Définition
On considère les points du nuage associés à une série statistique double.
Lorsque ces points sont sensiblement alignés, on peut construire une droite passant « au plus près de ces points ». On dit alors que cette droite réalise un ajustement affine du nuage de points de la série statistique double.
Exemple
Les points du nuage représenté ci-dessous sont presque alignés.

2. Détermination de la droite d'ajustement « au jugé »
La plus simple des façons de déterminer cette droite d'ajustement est de tracer cette droite au plus près des points du nuage. On dit alors que l'on a déterminé la droite d'ajustement graphiquement, « au jugé ».
Exemple
Dans l'exemple précédent, on peut tracer à la main une droite qui semble alors proche des points du nuages.

Remarque
Cette méthode empirique fonctionne assez bien si l'on ne recherche pas une grande précision mais ce n'est évidemment pas la méthode retenue dans les exemples concrets. On lui préfère une méthode plus juste mathématiquement, celle dite « des moindres carrés ».
3. La méthode « des moindres carrés »

Pour déterminer l'équation de la droite d'ajustement d'un nuage de points donné, on préférera utiliser une méthode basée sur la minimisation des carrés des écarts entre les points du nuage et des points de la droite d'ajustement.

La méthode des moindres carrés consiste à déterminer la droite dite « de régression de y en x » qui rend minimale la somme : .


Dans la pratique, on détermine cette droite de régression de y en x, d'équation y = ax + b à l'aide de la calculatrice.

Remarques importantes
Le coefficient directeur a donne la pente du nuage de points.
Parmi toutes les droites ayant cette pente, on définit la droite de régression de y en x du nuage comme étant celle qui passe par le point moyen du nuage de la série, d'où la valeur de l'ordonnée à l'origine b.
Exemple
Si l'on considère la série statistique de l'exemple précédent :
xi 100 110 120 130 140 150 160
yi 105 95 75 68 53 46 31
Alors sur votre calculatrice :
1. entrer dans le menu STATS ;
2. dans l'éditeur de listes, entrer les deux listes de données ;
3. sélectionner 2-Var Stats en précisant les deux noms des listes (souvent L1, L2) ;
4. dans le menu CALC, sélectionner le menu LinReg(ax+b) ou Reg selon les modèles ;
5. vous aurez alors directement l'équation de la droite de régression ou les coefficients de son équation.
 
Ici, on obtient, à 0,001 près pour les coefficients, une droite de régression de y en x pour cette série statistique : y = -1,221x + 226,357.
Ainsi, graphiquement on peut constater la différence entre cette droite obtenue par la méthode des moindres carrés et celle obtenue « au jugé ».


Remarque
On pourrait aussi trouver ces coefficients « à la main ».

À titre d'exemple ici il faudrait calculer :





.

Et alors : .
4. Application directe : interpolation linéaire

L'intérêt de cette droite de régression est d'obtenir une relation entre les valeurs xi et les valeurs yi.
Cela permet d'effectuer des interpolations ou extrapolations.

Interpoler un nuage de points (ou une série statistique) consiste à trouver une courbe dont on connait l'expression algébrique et qui modélise au plus près le nuage (ou la série) donnée : on peut ainsi utiliser cette expression algébrique pour calculer des valeurs manquantes dans ce nuage (ou cette série), avec le maximum de fiabilité possible.
Exemple
Ainsi, dans l'exemple précédent, on peut estimer que si x = 60, alors soit y ≈ 153,097.
Remarque importante
Ces interpolations n'ont de sens que s'il existe vraiment une relation (nommé corrélation) entre les variables x et y.
Il faut, ici, que cette corrélation soit de type linéaire et donc que les points du nuage soient « presque » alignés.
Numériquement, la calculatrice permet d'afficher le coefficient r de corrélation, qui doit être proche de 1 pour que la corrélation soit bonne et l'interpolation valable.
5. Changement de variable sur un caractère de sorte à réaliser un ajustement affine
Remarque
En pratique, dans les exercices du Baccalauréat, les changements de variable sont indiqués dans l'énoncé afin de faciliter l'étude.

Les nuages de points aisés à étudier sont ceux où les points sont presque alignés. Or, dans de nombreux cas, les points obtenus en dessinant directement le nuage ne le sont pas, mais suivent plutôt la courbe d'une fonction de référence (parabole, courbe d'une fonction exponentielle, logarithme décimal, etc.).

On réalise alors un changement de variable sur les valeurs de l'un des deux caractères de la série statistique double, en calculant de nouvelles valeurs pour ce caractère.

En représentant le nouveau nuage de points associé à la nouvelle série statistique ainsi calculée, on constate qu'on a « redressé » le nuage, qui présente alors des points presque alignés. On peut alors utiliser une droite de régression linéaire.

Exemple
Dans le tableau suivant on a indiqué les valeurs mesurées y de la vitesse (en m/s) d'un bateau, initialement à l'arrêt, qui lance ses moteurs à pleine puissance, en fonction du temps écoulé (en s) depuis le départ du bateau.
x=temps (s) 5 12 20 26 30 35
y=vitesse (m/s) 0,13 0,71 2,03 3,15 4,55 6,7
Représentons ce nuage de points :

Les points obtenus ne sont pas alignés, mais semblent suivre la courbe d'une parabole de type
x → ax² avec > 0. On va procéder à un changement de variable en posant x'= x² et représenter le nuage correspondant à la série double (x'; y) :

x'=x2 25 144 400 676 900 1225
y=vitesse (m/s) 0,13 0,71 2,03 3,15 4,55 6,7

Grâce au changement de variable, on obtient bien un nuage de points à peu près alignés. La droite de régression figurant sur le graphique a pour équation y=0,005349x–0,120607, en arrondissant a et b au millionième.

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