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Espérance d'une variable aléatoire discrète

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Objectifs

Connaitre la loi de probabilité d'une variable aléatoire.
Connaitre l'espérance mathématique.

Points clés

Déterminer, calculer et utiliser la loi de probabilité d’une variable aléatoire.
Espérance : valeur moyenne, jeu favorable ou non.

1. Rappels

E est l’ensemble des éléments concernant les possibilités (issues) d’un événement aléatoire.

Une expérience aléatoire est une expérience comportant une ou plusieurs issues (sorties, possibilités) que l’on ne peut prévoir.

Loi de probabilité : définir une loi de probabilité sur un ensemble (fini), c’est associer à chaque événement élémentaire un nombre compris entre 0 et 1 tel que la somme des probabilités de tous les événements élémentaires vaut 1.
Ce qui s’écrit :

(il faut connaitre les écritures des formules utilisées et savoir en appliquer les calculs).

Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1 : .
Un événement de probabilité nulle est un événement impossible. Notation :
Un événement de probabilité 1 est un événement certain. .
est l’événement contraire de A, et .

A et B sont deux événements dits incompatibles si et seulement si .

2. Variable aléatoire discrète, loi de probabilité

a. Définition variable aléatoire

Définir une variable aléatoire (discrète) c’est associer un nombre réel à chaque événement élémentaire d’une expérience aléatoire.

Exemple
On lance un dé normal (6 faces, non truqué). Si la face 1 sort on gagne 1 €, si les faces 2 ou 3 sortent on perd 2 €, si les faces 4 ou 6 sortent on gagne 6 € enfin, si le 5 sort on perd 5 €.
On a défini une variable aléatoire notée x_i prenant les valeurs –5 ; –2 ; 1 ; 6.
L’événement x = −2 est constitué des événements élémentaires « sortie du 2 » et « sortie du 3 ».

Remarque
On dit que la variable est discrète (ou ponctuelle) car elle ne prend que certaines valeurs (pour une variable on a une valeur), et non plusieurs (une variable, un intervalle de valeurs).

b. Définition loi de probabilité

La loi de probabilité, c’est associer chacune des valeurs x_i prises par une variable aléatoire à la probabilité de l’événement (X = x_i).

Présentation
Les résultats sont généralement regroupés dans un tableau :

Valeur de X	x₁	x₂	x₃	...	x_n
p(X = x_i)	p₁	p₂	p₃	...	p_n

Exemple
Dans le cas du jeu de dé précédent :

x_i	–5	–2	1	6
p(X = x_i)

3. Espérance d'une variable aléatoire

Remarque
Cela correspond tout simplement à la moyenne de l’ensemble des valeurs d’une variable aléatoire (avec

Définition de l'espérance (ou espérance mathématique) :
L’espérance de la variable X est définie par :

Exemple
Pour le jeu défini précédemment,

Remarque
On peut interpréter l’espérance mathématique de la variable comme le gain moyen que l’on peut espérer d’un jeu si l’on joue un très grand nombre de fois. C’est le « gain moyen ».
Si E(x) = 0 le jeu est dit équitable, si E(x) > 0 le jeu et dit favorable (au joueur) et si E(x) < 0 le jeu et dit défavorable (au joueur).

Dans l’exemple précédent, on peut interpréter l’espérance mathématique E(x) = comme le gain que l’on devrait obtenir pour un grand nombre de parties.