Espérance d'une variable aléatoire discrète
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- Connaitre la loi de probabilité d'une variable aléatoire.
- Connaitre l'espérance mathématique.
- Déterminer, calculer et utiliser la loi de probabilité d’une variable aléatoire.
- Espérance : valeur moyenne, jeu favorable ou non.
Ce qui s’écrit :
(il
faut connaitre les écritures des formules
utilisées et savoir en appliquer les calculs).
Une probabilité est un nombre compris entre
0 et 1 : 
.
Un événement de probabilité nulle
est un événement impossible.
Notation : 
Un événement de probabilité 1 est un
événement certain. 
.
est l’événement contraire de A, et
.
A et B sont deux événements dits
incompatibles si et seulement si 
.
On lance un dé normal (6 faces, non truqué). Si la face 1 sort on gagne 1 €, si les faces 2 ou 3 sortent on perd 2 €, si les faces 4 ou 6 sortent on gagne 6 € enfin, si le 5 sort on perd 5 €.
On a défini une variable aléatoire notée xi prenant les valeurs –5 ; –2 ; 1 ; 6.
L’événement x = −2 est constitué des événements élémentaires « sortie du 2 » et « sortie du 3 ».
On dit que la variable est discrète (ou ponctuelle) car elle ne prend que certaines valeurs (pour une variable on a une valeur), et non plusieurs (une variable, un intervalle de valeurs).
Présentation
Les résultats sont généralement
regroupés dans un tableau :
| Valeur de X | x1 | x2 | x3 | ... | xn |
| p(X = xi) | p1 | p2 | p3 | ... |
pn |
Dans le cas du jeu de dé précédent :
| xi | –5 | –2 | 1 | 6 |
| p(X = xi) |
|
|
|
|
Cela correspond tout simplement à la moyenne de l’ensemble des valeurs d’une variable aléatoire (avec
).
L’espérance de la variable X est définie par :
.
Pour le jeu défini précédemment,
.
On peut interpréter l’espérance mathématique de la variable comme le gain moyen que l’on peut espérer d’un jeu si l’on joue un très grand nombre de fois. C’est le « gain moyen ».
Si E(x) = 0 le jeu est dit équitable, si E(x) > 0 le jeu et dit favorable (au joueur) et si E(x) < 0 le jeu et dit défavorable (au joueur).
Dans l’exemple précédent, on peut
interpréter l’espérance
mathématique E(x) = 
comme le
gain que l’on devrait obtenir pour un grand nombre
de parties.
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