Espérance d'une variable aléatoire discrète
- Connaitre la loi de probabilité d'une variable aléatoire.
- Connaitre l'espérance mathématique.
- Déterminer, calculer et utiliser la loi de probabilité d’une variable aléatoire.
- Espérance : valeur moyenne, jeu favorable ou non.
Ce qui s’écrit :

Une probabilité est un nombre compris entre
0 et 1 : .
Un événement de probabilité nulle
est un événement impossible.
Notation :
Un événement de probabilité 1 est un
événement certain.
.
est l’événement contraire de A, et
.
A et B sont deux événements dits
incompatibles si et seulement si .
On lance un dé normal (6 faces, non truqué). Si la face 1 sort on gagne 1 €, si les faces 2 ou 3 sortent on perd 2 €, si les faces 4 ou 6 sortent on gagne 6 € enfin, si le 5 sort on perd 5 €.
On a défini une variable aléatoire notée xi prenant les valeurs –5 ; –2 ; 1 ; 6.
L’événement x = −2 est constitué des événements élémentaires « sortie du 2 » et « sortie du 3 ».
On dit que la variable est discrète (ou ponctuelle) car elle ne prend que certaines valeurs (pour une variable on a une valeur), et non plusieurs (une variable, un intervalle de valeurs).
Présentation
Les résultats sont généralement
regroupés dans un tableau :
Valeur de X | x1 | x2 | x3 | ... | xn |
p(X = xi) | p1 | p2 | p3 | ... |
pn |
Dans le cas du jeu de dé précédent :
xi | –5 | –2 | 1 | 6 |
p(X = xi) |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Cela correspond tout simplement à la moyenne de l’ensemble des valeurs d’une variable aléatoire (avec

L’espérance de la variable X est définie par :

Pour le jeu défini précédemment,

On peut interpréter l’espérance mathématique de la variable comme le gain moyen que l’on peut espérer d’un jeu si l’on joue un très grand nombre de fois. C’est le « gain moyen ».
Si E(x) = 0 le jeu est dit équitable, si E(x) > 0 le jeu et dit favorable (au joueur) et si E(x) < 0 le jeu et dit défavorable (au joueur).
Dans l’exemple précédent, on peut
interpréter l’espérance
mathématique E(x) = comme le
gain que l’on devrait obtenir pour un grand nombre
de parties.

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