Indépendance de deux évènements- Terminale- Mathématiques
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Définir l'indépendance de deux évènements.
- Interpréter l'indépendance de deux évènements en terme de probabilités.
- Représenter la répétition de deux expériences indépendantes par un arbre pondéré ou un tableau à double entrée.
- Deux évènements A et B sont
indépendants si
- Si A et B sont indépendants, alors
et B le sont aussi.
- Si deux évènements A et B sont
indépendants de probabilités non nulles,
alors la probabilité de B ne dépend pas de la
réalisation ou non de A :
.
- On peut représenter une succession de deux épreuves indépendantes par un arbre dont les probabilités ne sont pas conditionnelles car les évènements sont indépendants.
- On peut représenter une succession de deux épreuves indépendantes dans un tableau à double entrée où par exemple la première ligne contient les résultats de la première épreuve, et la première colonne ceux de la deuxième (ou inversement).
Dans le langage courant, on dit que deux événements sont indépendants quand la réalisation de l’un ne dépend pas de celle de l’autre. On va donner une définition mathématique de cette notion.
Deux évènements A et B sont dits indépendants si P(A
B) = P(A) × P(B).
Attention !
« Incompatibles » est différent de
« indépendants ». En effet, si A et
B sont deux évènements incompatibles de
probabilités non nulles, on a P(A 
B) = 0 avec P(A) × P(B)
≠ 0.
On tire une carte au hasard dans un jeu classique de 32 cartes. On considère les évènements : A = "obtenir une figure (valet, dame ou roi)" et B = "obtenir un carreau".
On a alors A
B = "obtenir un valet de carreau ou une dame de
carreau ou un roi de carreau".On a P( A
B ) = 
.De même P(A) =
= 
et P(B) = 
.On a P(A) × P(B) = P(A
B), les
évènements sont donc indépendants.
Si A et B sont deux évènements indépendants, alors
et B le sont aussi.
On a :
Donc
or A et B sont indépendants,donc
d'où 
, les évènements 
et B sont donc
indépendants.
Conséquence
Soient A et B deux évènements
indépendants de probabilités non nulles.
On a donc : 
.
En divisant par P(A) les deux membres de cette
égalité on obtient : 
, c'est-à-dire
. En utilisant la
propriété ci-dessus, 
et B sont eux aussi indépendants, on a
donc aussi 
.
On a donc la propriété suivante :
Si deux évènements A et B sont indépendants de probabilités non nulles, alors la probabilité de B ne dépend pas de la réalisation ou non de A :
.
Si une expérience aléatoire est la répétition de 2 épreuves identiques et indépendantes, elle peut être représentée par un arbre pondéré (à deux niveaux de branches) ou un tableau à double entrée. Une issue est alors une liste ordonnée de résultats.
On peut représenter une succession de deux épreuves indépendantes par un arbre dont les probabilités ne sont pas conditionnelles car les évènements sont indépendants.
Ainsi : P(A
B) = P(A)
× P(B)
Une épreuve consiste à lancer un dé normal à six faces, non truqué (équiprobabilité) deux fois de suite.
On s’intéresse aux évènements suivants :
A : « le résultat est un 1 ou un 6
» ;
B : « le résultat est 2, 3 ou 5 »
;
C : «le résultat est 4 ».
On peut construire l’arbre
pondéré associée à
l’expérience :
Ainsi :
Comme les deux épreuves successives sont
indépendantes, on a : 
donc 
On peut représenter une succession de deux épreuves indépendantes dans un tableau à double entrée où par exemple la première ligne contient les résultats de la première épreuve, et la première colonne ceux de la deuxième (ou inversement).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
On peut représenter la succession d'épreuves précédente dans un tableau à double entrée, en indiquant les résultats de la première épreuve dans la première colonne et les résultats de la deuxième épreuve dans la première ligne.
| A | B | C | |
| A |
|
|
|
| B |
|
|
|
| C |
|
|
|
Les résultats sont laissés sous forme
de fraction dans la totalité des cas (on
pourrait passer en fractions irréductibles).
Évalue ce cours !
Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.
Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer
Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !
Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.
Des quiz pour une évaluation en direct
Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.
myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.
Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment
Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.
Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !
Des podcasts pour les révisions
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.
Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.
Des vidéos de cours pour comprendre en image
Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !
Fiches de cours les plus recherchées
Mathématiques
Variable aléatoire et loi de probabilité (rappels)
Mathématiques
Espérance d'une variable aléatoire discrète
Mathématiques
Loi binomiale
Mathématiques
Définitions et notations ensemblistes- Terminale techno - Mathématiques
Mathématiques
Le vocabulaire de la logique- Terminale techno - Mathématiques
Mathématiques
Listes en Python : création et manipulation- Terminale techno - Mathématiques
Mathématiques
Liste en Python : application aux ensembles- Terminale- Mathématiques
Mathématiques
Proportions et pourcentages- Terminale- Mathématiques
Mathématiques
Taux d'évolution et coefficient multiplicateur- Terminale- Mathématiques
Mathématiques
Les indices en base 100- Terminale- Mathématiques
Fermer
Accédez gratuitement à
