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La fonction inverse

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Objectif

Connaitre la définition et la courbe représentative de la fonction inverse.
Connaitre la fonction dérivée de la fonction inverse.
Connaitre le sens de variation de la fonction inverse.
Pour deux nombres et donnés et la fonction inverse , comparer et graphiquement.

Points clés

On appelle fonction inverse la fonction qui, à tout nombre réel non nul, associe son inverse . Pour tout , on note .
La fonction inverse est définie sur la réunion d’intervalles .
La dérivée de la fonction inverse est définie sur la réunion d’intervalles et vaut .
La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole. Elle est symétrique par rapport au point O, origine du repère. Elle adment les axes du repère comme asymptotes en 0 et en l'infini.
La fonction inverse est strictement décroissante sur l'intervalle et strictement décroissante sur l'intervalle .
Comme la fonction inverse est strictement décroissante sur l'intervalle et sur l'intervalle :
- si et sont deux réels strictement négatifs, alors équivaut à (l’inégalité change de sens) ;
- si et sont deux réels strictement positifs, alors équivaut à (l’inégalité change de sens).

Pour bien comprendre

Fonction
Nombre dérivé d'une fonction
Représentation graphique et tableau de variation

1. Définition

On appelle fonction inverse la fonction

qui, à tout nombre réel

non nul, associe son inverse

.
Pour tout

, on note

La fonction inverse est définie sur la réunion d’intervalles

2. Sens de variation et dérivée

a. Sens de variation

La fonction inverse est strictement décroissante sur l'intervalle

et strictement décroissante sur l'intervalle

Attention : on ne peut pas dire que la fonction inverse décroissante sur

car

n'est pas un intervalle continu.

b. Dérivée de la fonction inverse

La fonction dérivée de la fonction inverse est la fonction définie sur

par

3. Représentation graphique, asymptotes, comparaison

a. Courbe représentative

Pour tracer la courbe représentative de la fonction inverse, on utilise son tableau de variation et on détermine les coordonnées de quelques points de la courbe. On peut rassembler les résultats dans un tableau.

	–2	–1	–0,5	0,5	1	2	4
	–0,5	–1	–2	2	1	0,5	0,25

On obtient ainsi la représentation graphique suivante :

La courbe représentative de la fonction inverse dans un repère (O, I, J) s’appelle une hyperbole.
Cette courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine O du repère. Pour tout , les points et appartenant à l'hyperbole sont donc symétriques par rapport au centre de symétrie O. L'origine du repère O est le milieu de [MM'].

Remarque
L'hyperbole passe en particulier par les points :

, , ;
, et .

Les points A et A' sont symétriques par rapport au centre de symétrie O. Il en est de même des points B et B', et C et C'. O est le milieu des segments [AA'], [BB'] et [CC'].##2

b. Asymptotes

On observe que lorsque x tend vers l'infini, la courbe de la fonction inverse s'approche sans cesse davantage de l'axe des abscisses. On dit alors que la courbe représentative de la fonction inverse admet l'axe des abscisses pour asymptote en + ∞ et en - ∞.

De même quand x tend vers 0, que ce soit par valeurs positives ou bien par valeurs négatives, on observe que la courbe de la fonction inverse s'approche sans cesse davantage de l'axe des ordonnées. On dit alors que la courbe représentative de la fonction inverse admet l'axe des ordonnées pour asymptote en 0.

c. Comparaison graphique de deux images

On considère la fonction inverse et sa courbe représentative.

Soit , , et quatre points de la courbe tels que :

et négatifs et ;
et positifs et .

L’objectif est de comparer et d’une part ; et d’autre part.

Comme la fonction inverse est strictement décroissante sur l'intervalle et sur l'intervalle :

si et sont deux réels strictement négatifs, alors équivaut à (l’inégalité change de sens) ;
si et sont deux réels strictement positifs, alors équivaut à (l’inégalité change de sens).

Exemple 1
Comparer

.
2 et 3 sont deux réels positifs. On commence par comparer 2 et 3, puis on applique la fonction inverse :

. L’inégalité change de sens car la fonction inverse est strictement décroissante sur

Exemple 2
À quel intervalle appartient

lorsque appartient à

appartient à

; or la fonction inverse est strictement décroissante sur l’intervalle

.
Donc

,
donc

Exemple 3
Donner un encadrement de

sachant que

appartient à

.
Ici, l’intervalle contient une partie négative

et une partie positive

. Il faut étudier les deux parties séparément.

Sur , la fonction inverse est strictement décroissante donc l’inégalité change de sens :
donc .
Sur , la fonction inverse est strictement décroissante donc l’inégalité change de sens :
donc .