Les suites arithmétiques
- Fiche de cours
- Quiz
- Profs en ligne
- Videos
- Application mobile
- Reconnaître une suite arithmétique.
- Calculer la moyenne arithmétique de deux nombres.
- Exprimer le terme général d'une suite arithmétique en fonction de n et l’utiliser pour calculer un terme donné.
- Modéliser un phénomène discret à croissance linéaire par une suite arithmétique.
- Une suite arithmétique est une suite récurrente définie par où r est un réel appelé raison de la suite.
- On appelle moyenne arithmétique de deux nombres réels a et b le nombre .
- Pour tout , ou avec un entier.
- Notion de suite et de terme général d'une suite
- Notion de suite définie par récurrence
- Fonctions affines
Dans une suite arithmétique, on passe d’un terme à son suivant en ajoutant toujours le même nombre .
La suite des entiers naturels est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme .
La suite des entiers naturels impairs est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme .
Les réels , et sont des termes consécutifs d’une suite arithmétique si la moyenne arithmétique de et est égale à : .
Soit une suite arithmétique de
raison et de premier terme .
Alors pour tout , on a les relations suivantes.
et |
avec :
|
Pour obtenir :
- en partant de : on ajoute fois la raison ;
- en partant de (lorsque ) on ajoute fois la raison.
Ainsi : ; ;
Ces formules permettent de passer de la définition
par récurrence à la formule explicite.
Soit une suite arithmétique de raison 6 et de premier terme .
Alors on peut dire que pour tout .
Ainsi, par exemple, .
Une suite arithmétique étant de terme général , on peut l'écrire où est la fonction affine de coefficient directeur et d'ordonnée à l'origine .
Par conséquent, la représentation graphique d'une suite arithmétique est une série de points alignés.
Une suite arithmétique est donc l'expression discrète d'une fonction affine.
Les points successifs de gauche à droite correspondent à , , … , : on observe qu'ils sont alignés sur la droite représentant la fonction affine .
Un retraité ayant placé 24 000 € sur un compte d'épargne se fait verser chaque mois 250 € depuis ce compte, sans le recréditer. On note le montant restant sur son compte d'épargne au bout de mois.
- est le terme général d'une suite arithmétique de premier terme et de raison −250 puisque .
- On peut donc écrire le terme général : .
- Ainsi, on peut répondre à une question du type « au bout de combien de temps son compte d'épargne aura-t-il diminué de moitié ? » en résolvant l'équation et en trouvant .
On considère un carré de côté 1. On note le polygone qui permet de compléter de sorte à obtenir un carré de côté 2 :
On complète alors la figure avec le polygone de sorte à obtenir un carré de côté 3, et ainsi de suite.
|
|
On s'intéresse alors à la suite des aires des figures .
En calculant les premiers termes de , on trouve ; ; ; …
La suite semble arithmétique de raison 2 et de
premier terme . C'est bien le cas puisque, pour
passer de la figure à la
figure , on a besoin d'un carré
identique à supplémentaire pour la
partie verticale, et d'un deuxième carré
identique supplémentaire pour la partie
horizontale.
On a bien : la suite est
arithmétique.
Vous avez obtenu75%de bonnes réponses !