Les suites arithmétiques
- Reconnaître une suite arithmétique.
- Calculer la moyenne arithmétique de deux nombres.
- Exprimer le terme général d'une suite arithmétique en fonction de n et l’utiliser pour calculer un terme donné.
- Modéliser un phénomène discret à croissance linéaire par une suite arithmétique.
- Une suite arithmétique est une suite
récurrente définie par
où r est un réel
appelé raison de la suite.
- On appelle moyenne arithmétique de deux nombres
réels a
et b le
nombre
.
- Pour tout
, 
ou 
avec 
un entier.
- Notion de suite et de terme général d'une suite
- Notion de suite définie par récurrence
- Fonctions affines
est dite arithmétique s'il
existe un réel 
tel que pour
tout 
. Le réel est appelé raison de
la suite.
Dans une suite arithmétique, on passe d’un
terme à son suivant en ajoutant
toujours le même
nombre .
La suite des entiers naturels est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme
.La suite des entiers naturels impairs est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme
.
et 
le nombre 
.
, et 
trois nombres réels
rangés dans l’ordre croissant ou
décroissant.Les réels
, et sont des termes
consécutifs d’une suite
arithmétique si la moyenne arithmétique
de et est égale
à : 
.
Soit 
une suite arithmétique de
raison 
et de premier terme 
.
Alors pour tout 
, on a les relations suivantes.
 et 
|
avec :
|
le premier terme
de la suite
un terme de rang
un terme de rang
un nombre entier
naturel
un nombre entier
naturel
un nombre
réel
Pour obtenir 
:
- en partant de
: on ajoute
fois la raison ;
- en partant de
(lorsque 
) on ajoute 
fois la raison.
Ainsi : 
; 
; 
Ces formules permettent de passer de la définition
par récurrence à la formule explicite.
Soit
une suite arithmétique de
raison 6 et de premier terme 
.Alors on peut dire que
pour tout 
.Ainsi, par exemple,
.
Une suite arithmétique étant de terme
général 
, on peut l'écrire
où 
est la fonction affine 
de coefficient
directeur 
et d'ordonnée à
l'origine 
.
Par conséquent, la représentation graphique d'une suite arithmétique est une série de points alignés.
Une suite arithmétique est donc l'expression discrète d'une fonction affine.
Les points successifs de gauche à droite
correspondent à 
, 
, … , 
: on observe qu'ils sont
alignés sur la droite représentant la
fonction affine 
.
Un retraité ayant placé
24 000 € sur un compte d'épargne se
fait verser chaque mois 250 € depuis ce compte,
sans le recréditer. On note 
le montant restant sur son compte
d'épargne au bout de 
mois.
-
est le terme
général d'une suite arithmétique
de premier terme 
et de
raison −250 puisque 
.
- On peut donc écrire le terme
général :
.
- Ainsi, on peut répondre à une question
du type « au bout de combien de temps son
compte d'épargne aura-t-il diminué de
moitié ? » en résolvant
l'équation
et en
trouvant 
.
On considère un carré 
de côté 1. On
note 
le polygone qui permet de
compléter 
de sorte à obtenir un
carré de côté 2 :
On complète alors la figure avec le polygone
de sorte à obtenir un
carré de côté 3, et ainsi de
suite.
|
|
|
On s'intéresse alors à la suite 
des aires des figures 
.
En calculant les premiers termes de 
, on trouve 
; 
; 
; 
…
La suite semble arithmétique de raison 2 et de
premier terme 
. C'est bien le cas puisque, pour
passer de la figure 
à la
figure 
, on a besoin d'un carré
identique à 
supplémentaire pour la
partie verticale, et d'un deuxième carré
identique supplémentaire pour la partie
horizontale.
On a bien 
: la suite est
arithmétique.
Vous avez déjà mis une note à ce cours.
Découvrez les autres cours offerts par Maxicours !
Découvrez MaxicoursComment as-tu trouvé ce cours ?
Évalue ce cours !
Fiches de cours les plus recherchées
Découvrir le reste du programme
Des profs en ligne
- 6 j/7 de 17 h à 20 h
- Par chat, audio, vidéo
- Sur les matières principales
Des ressources riches
- Fiches, vidéos de cours
- Exercices & corrigés
- Modules de révisions Bac et Brevet
Des outils ludiques
- Coach virtuel
- Quiz interactifs
- Planning de révision
Des tableaux de bord
- Suivi de la progression
- Score d’assiduité
- Un compte Parent
Message envoyé
