Les suites arithmétiques- Terminale- Mathématiques - Maxicours

Les suites arithmétiques

Objectifs
  • Reconnaître une suite arithmétique.
  • Calculer la moyenne arithmétique de deux nombres.
  • Exprimer le terme général d'une suite arithmétique en fonction de n et l’utiliser pour calculer un terme donné.
  • Modéliser un phénomène discret à croissance linéaire par une suite arithmétique.

 

Points clés
  • Une suite arithmétique est une suite récurrente définie par  où r est un réel appelé raison de la suite.
  • On appelle moyenne arithmétique de deux nombres réels a et b le nombre .
  • Pour tout , ou avec  un entier.
Pour bien comprendre
  • Notion de suite et de terme général d'une suite
  • Notion de suite définie par récurrence
  • Fonctions affines
1. Définition et propriété
Une suite  est dite arithmétique s'il existe un réel  tel que  pour tout . Le réel  est appelé raison de la suite.

Dans une suite arithmétique, on passe d’un terme à son suivant en ajoutant toujours le même nombre .

Exemples
La suite des entiers naturels est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme .
La suite des entiers naturels impairs est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme .
2. Moyenne arithmétique de deux nombres
a. Définition
Soient a et b deux nombres réels. On appelle moyenne arithmétique de  et  le nombre .
Exemple : la moyenne arithmétique des nombres 15 et 30 est :

b. Application aux suites arithmétiques
Soient ,  et  trois nombres réels rangés dans l’ordre croissant ou décroissant.
Les réels ,  et   sont des termes consécutifs d’une suite arithmétique si la moyenne arithmétique de  et   est égale à  : .
Exemple : Les nombres 52 ; 67 ; 82 sont des termes consécutifs d’une suite arithmétique car la moyenne arithmétique de 52 et 82 est :
3. Formule explicite

Soit une suite arithmétique de raison et de premier terme .
Alors pour tout , on a les relations suivantes.


et
avec :
  • le premier terme de la suite
  • un terme de rang
  • un terme de rang
  • un nombre entier naturel
  • un nombre entier naturel
  • un nombre réel

 

Pour obtenir  :

  • en partant de  : on ajoute  fois la raison ;
  • en partant de (lorsque ) on ajoute  fois la raison.

Ainsi :  ;  ;
Ces formules permettent de passer de la définition par récurrence à la formule explicite.

Exemple
Soit une suite arithmétique de raison 6 et de premier terme .
Alors on peut dire que pour tout .
Ainsi, par exemple, .
4. Lien avec les fonctions affines

Une suite arithmétique étant de terme général , on peut l'écrire où  est la fonction affine de coefficient directeur  et d'ordonnée à l'origine .

Par conséquent, la représentation graphique d'une suite arithmétique est une série de points alignés.

Une suite arithmétique est donc l'expression discrète d'une fonction affine.

Exemple avec

Les points successifs de gauche à droite correspondent à , … ,  : on observe qu'ils sont alignés sur la droite représentant la fonction affine .

5. Modéliser une situation par une suite arithmétique
Situation n°1

Un retraité ayant placé 24 000 € sur un compte d'épargne se fait verser chaque mois 250 € depuis ce compte, sans le recréditer. On note  le montant restant sur son compte d'épargne au bout de  mois.

  • est le terme général d'une suite arithmétique de premier terme et de raison −250 puisque .
  • On peut donc écrire le terme général : .
  • Ainsi, on peut répondre à une question du type « au bout de combien de temps son compte d'épargne aura-t-il diminué de moitié ? » en résolvant l'équation et en trouvant .
Situation n°2

On considère un carré de côté 1. On note  le polygone qui permet de compléter  de sorte à obtenir un carré de côté 2 :

On complète alors la figure avec le polygone de sorte à obtenir un carré de côté 3, et ainsi de suite.

On s'intéresse alors à la suite des aires des figures .
En calculant les premiers termes de , on trouve  ; ;  ;
La suite semble arithmétique de raison 2 et de premier terme . C'est bien le cas puisque, pour passer de la figure  à la figure , on a besoin d'un carré identique à  supplémentaire pour la partie verticale, et d'un deuxième carré identique supplémentaire pour la partie horizontale.
On a bien  : la suite est arithmétique.

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