Les suites arithmétiques
- Reconnaître une suite arithmétique.
- Calculer la moyenne arithmétique de deux nombres.
- Exprimer le terme général d'une suite arithmétique en fonction de n et l’utiliser pour calculer un terme donné.
- Modéliser un phénomène discret à croissance linéaire par une suite arithmétique.
- Une suite arithmétique est une suite
récurrente définie par
où r est un réel appelé raison de la suite.
- On appelle moyenne arithmétique de deux nombres
réels a
et b le
nombre
.
- Pour tout
,
ou
avec
un entier.
- Notion de suite et de terme général d'une suite
- Notion de suite définie par récurrence
- Fonctions affines





Dans une suite arithmétique, on passe d’un
terme à son suivant en ajoutant
toujours le même
nombre
.
La suite des entiers naturels est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme

La suite des entiers naturels impairs est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme







Les réels








Soit une suite arithmétique de
raison
et de premier terme
.
Alors pour tout , on a les relations suivantes.
![]() et ![]() |
avec :
|
Pour obtenir :
- en partant de
: on ajoute
fois la raison ;
- en partant de
(lorsque
) on ajoute
fois la raison.

Ainsi : ;
;
Ces formules permettent de passer de la définition
par récurrence à la formule explicite.
Soit


Alors on peut dire que


Ainsi, par exemple,

Une suite arithmétique étant de terme
général , on peut l'écrire
où
est la fonction affine
de coefficient
directeur
et d'ordonnée à
l'origine
.
Par conséquent, la représentation graphique d'une suite arithmétique est une série de points alignés.
Une suite arithmétique est donc l'expression discrète d'une fonction affine.


Les points successifs de gauche à droite
correspondent à ,
, … ,
: on observe qu'ils sont
alignés sur la droite représentant la
fonction affine
.
Un retraité ayant placé
24 000 € sur un compte d'épargne se
fait verser chaque mois 250 € depuis ce compte,
sans le recréditer. On note le montant restant sur son compte
d'épargne au bout de
mois.
-
est le terme général d'une suite arithmétique de premier terme
et de raison −250 puisque
.
- On peut donc écrire le terme
général :
.
- Ainsi, on peut répondre à une question
du type « au bout de combien de temps son
compte d'épargne aura-t-il diminué de
moitié ? » en résolvant
l'équation
et en trouvant
.
On considère un carré de côté 1. On
note
le polygone qui permet de
compléter
de sorte à obtenir un
carré de côté 2 :

On complète alors la figure avec le polygone
de sorte à obtenir un
carré de côté 3, et ainsi de
suite.
|
|
On s'intéresse alors à la suite des aires des figures
.
En calculant les premiers termes de , on trouve
;
;
;
…
La suite semble arithmétique de raison 2 et de
premier terme . C'est bien le cas puisque, pour
passer de la figure
à la
figure
, on a besoin d'un carré
identique à
supplémentaire pour la
partie verticale, et d'un deuxième carré
identique supplémentaire pour la partie
horizontale.
On a bien : la suite est
arithmétique.

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