Les probabilités conditionnelles
Objectifs
- Calculer des probabilités conditionnelles lorsque les événements sont présentés sous forme de tableau croisé d’effectifs.
- Connaitre la notation
.
Points clés
- On appelle cardinal de l’évènement A, noté Card(A), le nombre d’issues réalisant A.
- On note
la probabilité que
l’évènement B soit réalisé
sachant que
l’évènement A est réalisé. On
l’appelle probabilité conditionnelle
de B
sachant A et on a
.
Pour bien comprendre
- Vocabulaire des probabilités : population, évènement, issue...
1. Cardinal d'un évènement
On choisit au hasard un individu dans une population.
On appelle cardinal de
l’évènement A, noté
Card(A), le nombre
d’issues réalisant A.
Exemple
On donne la répartition des 550 élèves d’un collège selon leur sexe et le fait qu’ils portent des lunettes ou non.
On choisit un élève au hasard et on
considère les évènements suivants :
On donne la répartition des 550 élèves d’un collège selon leur sexe et le fait qu’ils portent des lunettes ou non.
| Garçons | Filles | Total | |
| Portant des lunettes | 185 | 200 | 385 |
| Ne portant pas de lunettes | 93 | 72 | 165 |
| Total | 278 | 272 | 550 |
- A : « l’élève est une fille » ;
- B : « l’élève porte des lunettes ».
- Card(A) = 272. D’après le tableau, il y a 272 filles dans ce collège.
- Card(B) = 385. D’après le tableau, il y a 385 élève portant des lunettes dans ce collège.
-
Card(
) = 200.
D’après le tableau, il y a 200 filles
portant des lunettes dans ce collège.
-
Card (
) = 457.
D’après le tableau, 457
élèves sont soit des filles, soit un(e)
élève portant des lunettes.
2. Probabilité conditionnelle
On choisit au hasard un individu dans une population.
Soient A et B deux évènements avec Card(A) ≠ 0.
On note 
la probabilité que
l’évènement B soit réalisé
sachant que
l’évènement A est réalisé. On
l’appelle probabilité conditionnelle de
B sachant
A et on a
.
la probabilité que
l’évènement B soit réalisé
sachant que
l’évènement A est réalisé. On
l’appelle probabilité conditionnelle de
B sachant
A et on a
.
Exemple
Reprenons l’exemple précédent :
On choisit un élève au hasard et on
reprend les évènements suivants :
est la probabilité que
l’élève soit une fille sachant que
l’élève porte des lunettes.
On a
.
est la probabilité que
l’élève porte des lunettes sachant
que c’est une fille. On a 
.
Reprenons l’exemple précédent :
| Garçons | Filles | Total | |
| Portant des lunettes | 185 | 200 | 385 |
| Ne portant pas de lunettes | 93 | 72 | 165 |
| Total | 278 | 272 | 550 |
- A : « l’élève est une fille » ;
- B : « l’élève porte des lunettes ».
est la probabilité que
l’élève soit une fille sachant que
l’élève porte des lunettes.On a
. est la probabilité que
l’élève porte des lunettes sachant
que c’est une fille. On a .
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