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Les probabilités conditionnelles

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Objectifs
  • Calculer des probabilités conditionnelles lorsque les événements sont présentés sous forme de tableau croisé d’effectifs.
  • Connaitre la notation .
Points clés
  • On appelle cardinal de l’évènement A, noté Card(A), le nombre d’issues réalisant A.
  • On note la probabilité que l’évènement B soit réalisé sachant que l’évènement A est réalisé. On l’appelle probabilité conditionnelle de B sachant A et on a .
Pour bien comprendre
  • Vocabulaire des probabilités : population, évènement, issue...
1. Cardinal d'un évènement

On choisit au hasard un individu dans une population.

On appelle cardinal de l’évènement A, noté Card(A), le nombre d’issues réalisant A.
Exemple
On donne la répartition des 550 élèves d’un collège selon leur sexe et le fait qu’ils portent des lunettes ou non.
  Garçons Filles Total
Portant des lunettes 185 200 385 
Ne portant pas de lunettes 93 72 165
Total 278 272 550
On choisit un élève au hasard et on considère les évènements suivants :
  • A : « l’élève est une fille » ;
  • B : « l’élève porte des lunettes ».
On a :
  • Card(A) = 272. D’après le tableau, il y a 272 filles dans ce collège.
  • Card(B) = 385. D’après le tableau, il y a 385 élève portant des lunettes dans ce collège.
  • Card() = 200. D’après le tableau, il y a 200 filles portant des lunettes dans ce collège.
  • Card () = 457. D’après le tableau, 457 élèves sont soit des filles, soit un(e) élève portant des lunettes.
2. Probabilité conditionnelle

On choisit au hasard un individu dans une population.

Soient A et B deux évènements avec Card(A) ≠ 0.

On note la probabilité que l’évènement B soit réalisé sachant que l’évènement A est réalisé. On l’appelle probabilité conditionnelle de B sachant A et on a .
Exemple
Reprenons l’exemple précédent :
  Garçons Filles Total
Portant des lunettes 185 200 385
Ne portant pas de lunettes 93 72 165
Total 278 272 550
On choisit un élève au hasard et on reprend les évènements suivants :
  • A : « l’élève est une fille » ;
  • B : « l’élève porte des lunettes ».
  est la probabilité que l’élève soit une fille sachant que l’élève porte des lunettes.
On a .
  est la probabilité que l’élève porte des lunettes sachant que c’est une fille. On a .

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