Les fonctions polynômes de degré 3 : définition et représentation - Maxicours

Les fonctions polynômes de degré 3 : définition et représentation

Objectifs
  • Connaitre l’expression algébrique d’une fonction polynôme du troisième degré.
  • Connaitre la représentation graphique des fonctions : x → ax3 et x → ax3 + b.
Points clés
  • Une fonction polynôme de degré 3 est une fonction f définie sur par f(x) = ax3 + bx² + cx + d.
  • La courbe représentative d’une fonction du type x → ax3 est symétrique par rapport à l’origine.
  • La courbe représentative d’une fonction du type x → ax3 + b est la même que celle de x → ax3, mais « décalée » vers le haut ou vers le bas en fonction de la valeur de b.
  • Les fonctions polynômes de degré 3 du type x → ax3 et x → ax3 + b sont croissantes si a > 0 et décroissantes si a < 0.
Pour bien comprendre
  • Fonction impaire
  • Images, antécédents
  • Fonction cube
  • Représentation graphique d'une fonction

Nous allons ici étudier un type de fonctions liées à la fonction cube.

1. Fonction polynôme de degré 3
Une fonction (polynôme) de degré 3 est une fonction qui peut s'écrire sous la forme f(x) = ax3 + bx² + cx + d avec a un réel non nul, b, c et d trois réels.
Exemples
  • La fonction f définie par f(x) = –2x3 + 3x² – 5x + 1 est une fonction du troisième degré. On identifie les coefficients : a = –2 ; b = 3 ; c = –5 ; d = 1.
  • La fonction g définie par g(x) = 3x3 –2  est une fonction du troisième degré. On identifie les coefficients : a = 3 ; b = 0 ; c = 0 ; d = –2.
Remarques
  • f(x) = ax3 + bx² + cx + d est la forme développée de f.
  • Dans cette fiche, nous nous intéresserons uniquement aux fonctions polynômes de degré 3 du type x → ax3 et x → ax3, où a est un réel non nul et b un réel.
2. Représentation graphique
a. Cas où b = 0, c = 0 et d = 0

On considère les fonctions du type x → ax3.

Pour tout réel x, on a f(–x) = a(–x)3 = –ax3 = –f(x).
La fonction f est donc impaire.

Par conséquent, la courbe représentative d’une fonction polynôme du type x → ax3 est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Exemple
Soit f(x) = 0,2x3. On peut dresser un tableau de valeurs de f :
x –3 –2 –1 0 1 2 3
f(x) –5,4 –1,6 –0,2 0 0,2 1,6 5,4

Puis, on place les points de coordonnées (x ; f(x)) dans un repère, et on trace la courbe passant par ces points :

b. Cas où c = 0 et d = 0

On considère les fonctions du type x → ax3 + b.

La courbe représentative d’une fonction du type x → ax3 + b est la même que celle de x → ax3, mais « décalée » vers le haut ou vers le bas en fonction de la valeur de b.
Exemple
Reprenons la fonction f : x → 0,2x3 de l’exemple précédent, et considérons les fonctions g et h définies par g(x) = 0,2x3 + 2 et h(x) = 0,2x3 – 3.
Visualisons leur représentation graphique dans un même repère :

On remarque que, par rapport à la courbe de f, la courbe de g est « décalée » de 2 vers le haut (b = 2) et que celle de h est « décalée » de 3 vers le bas (b = –3).
3. Sens de variation
Rappel
La fonction x → x3 est croissante sur . Ce qui signifie que si x < y, alors x3 < y3.

Soit la fonction f(x) = ax3 + b, avec a et b deux réels (a ≠ 0).
Prenons deux réels x et y, tels que x < y.
On a : f(y) – f(x) = (ay3 + b) – (ax3 + b) = ay3 + b – ax3 – b = ay3 – ax3 = a(y3 – x3).
Comme x < y, alors x3 < y3 et donc y3 – x3>0.
Donc :

  • Si a > 0, f(y) – f(x) > 0, c’est-à-dire f(x) < f(y) ;
  • Si a < 0f(y) – f(x) < 0, c’est-à-dire f(x) > f(y).

Ce qui signifie que :

Une fonction polynôme de type x → ax3 ou x → ax3 + b est :
  • croissante si a > 0.
  • décroissante si a < 0.
Exemples
Ci-dessous, les représentations graphiques des fonctions f : x → 2x3, g : x → 0,5x3 – 3, h : x → –0,2x3 et j : x → –x3 + 2.

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