Les fonctions polynômes de degré 3 : définition et représentation
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- Connaitre l’expression algébrique d’une fonction polynôme du troisième degré.
- Connaitre la représentation graphique des fonctions : x → ax3 et x → ax3 + b.
- Une fonction polynôme de degré 3 est
une fonction f
définie sur
par f(x) = ax3 + bx² + cx + d.
- La courbe représentative d’une fonction du type x → ax3 est symétrique par rapport à l’origine.
- La courbe représentative d’une fonction du type x → ax3 + b est la même que celle de x → ax3, mais « décalée » vers le haut ou vers le bas en fonction de la valeur de b.
- Les fonctions polynômes de degré 3 du type x → ax3 et x → ax3 + b sont croissantes si a > 0 et décroissantes si a < 0.
- Fonction impaire
- Images, antécédents
- Fonction cube
- Représentation graphique d'une fonction
Nous allons ici étudier un type de fonctions liées à la fonction cube.
- La fonction f définie par f(x) = –2x3 + 3x² – 5x + 1 est une fonction du troisième degré. On identifie les coefficients : a = –2 ; b = 3 ; c = –5 ; d = 1.
- La fonction g définie par g(x) = 3x3 –2 est une fonction du troisième degré. On identifie les coefficients : a = 3 ; b = 0 ; c = 0 ; d = –2.
- f(x) = ax3 + bx² + cx + d est la forme développée de f.
- Dans cette fiche, nous nous intéresserons uniquement aux fonctions polynômes de degré 3 du type x → ax3 et x → ax3, où a est un réel non nul et b un réel.
On considère les fonctions du type x → ax3.
Pour tout réel x, on a f(–x) = a(–x)3 = –ax3 = –f(x).
La fonction f est donc impaire.
Soit f(x) = 0,2x3. On peut dresser un tableau de valeurs de f :
| x | –3 | –2 | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| f(x) | –5,4 | –1,6 | –0,2 | 0 | 0,2 | 1,6 | 5,4 |
Puis, on place les points de coordonnées
(x ; f(x))
dans un repère, et on trace la courbe passant
par ces points :
On considère les fonctions du type x → ax3 + b.
Reprenons la fonction f : x → 0,2x3 de l’exemple précédent, et considérons les fonctions g et h définies par g(x) = 0,2x3 + 2 et h(x) = 0,2x3 – 3.
Visualisons leur représentation graphique dans un même repère :
On remarque que, par rapport à la courbe de f, la courbe de g est « décalée » de 2 vers le haut (b = 2) et que celle de h est « décalée » de 3 vers le bas (b = –3).
La fonction x → x3 est croissante sur
. Ce qui signifie que si
x < y,
alors x3 < y3.
Soit la fonction f(x) = ax3 + b,
avec a et
b deux
réels (a ≠ 0).
Prenons deux réels x et y, tels que x < y.
On a : f(y) – f(x) = (ay3 + b) – (ax3 + b) = ay3 + b – ax3 – b = ay3 – ax3 = a(y3 – x3).
Comme x < y,
alors x3 < y3
et donc y3 – x3>0.
Donc :
- Si a > 0, f(y) – f(x) > 0, c’est-à-dire f(x) < f(y) ;
- Si a < 0, f(y) – f(x) < 0, c’est-à-dire f(x) > f(y).
Ce qui signifie que :
- croissante si a > 0.
- décroissante si a < 0.
Ci-dessous, les représentations graphiques des fonctions f : x → 2x3, g : x → 0,5x3 – 3, h : x → –0,2x3 et j : x → –x3 + 2.
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