Racines et signe d'une fonction polynôme de degré 2
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- Savoir ce qu’est une racine de fonction polynôme.
- Factoriser, dans des cas simples, une expression du second degré connaissant au moins une de ses racines.
- Utiliser la forme factorisée (en produit de facteurs du premier degré) d’un polynôme de degré 2 pour trouver ses racines et étudier son signe.
- Résoudre une équation de la forme x2 = k, avec k > 0.
- Une racine d’un polynôme est une valeur de
qui annule le polynôme.
- Un polynôme du second degré admettant deux
racines distinctes peut s’écrire sous la forme
factorisée
.
- Pour étudier le signe d’un polynôme, on a besoin de connaitre les valeurs de ses racines éventuelles. Le polynôme change de signe entre ses racines.
- Soit k un
réel positif ou nul.
L’équation
admet dans 
:
- deux solutions,
et 
, si 
;
- une seule solution qui vaut 0,
si
.
- deux solutions,
- Connaitre la fonction de référence
- Savoir ce qu’est la solution d’une équation
- Savoir développer une expression du second degré
- Savoir ce qu’est le tableau de signe d’une fonction
est racine
d’une fonction polynôme 
d’expression 
lorsqu’on a 
, c’est à dire
lorsque 
.
3 est une racine de
avec 
car 
.
Une fonction polynôme peut admettre
sur 
, 0, 1 ou 2 racines
suivant les valeurs de 
, 
et 
.
définie
par 
admet 2 racines distinctes :
–2 et 3.
définie
par 
admet 1 seule racine : 4.
Les racines d’une fonction polynôme de degré 2 correspondent aux abscisses des points où la parabole coupe l’axe des abscisses.
En vert,
possède
2 racines : 0 et 4.En bleu,
possède
1 racine : –2.En orange,
ne possède aucune
racine.
d’expression
admet
2 racines 
et 
, alors son expression
factorisée est 
.
Si
avec comme racines –2 et
3, alors 
.Si
avec comme racine double 4,
alors 
.Si
avec commes
racines –2 et 3, alors 
.
Lorsqu’une fonction
polynôme 
d’expression
admet
1 racine 
, alors son expression
factorisée est 
.
Une fonction polynôme de degré deux
d’expression 
change de signe entre ses
racines 
et 
.
Il existe 2 possibilités en fonction du signe
de 
:
Si 
:
Si 
:
Résoudre l’équation (où k est un réel positif
ou nul) revient à chercher le(s) nombre(s)
x tel(s) que
x 
x =
k.
admet dans :
- deux solutions, et , si ;
- une seule solution qui vaut 0,
si .
En effet, pour tout réel k, la droite d'équation y = k :
- coupe deux fois la courbe représentative de la
fonction si k est strictement positif ;
- coupe une seule fois la courbe représentative
de la fonction si k est nul.
-
ou 
-
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