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Racines et signe d'une fonction polynôme de degré 2

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Objectifs
  • Savoir ce qu’est une racine de fonction polynôme.
  • Factoriser, dans des cas simples, une expression du second degré connaissant au moins une de ses racines.
  • Utiliser la forme factorisée (en produit de facteurs du premier degré) d’un polynôme de degré 2 pour trouver ses racines et étudier son signe.
  • Résoudre une équation de la forme x2 = k, avec k > 0.
Points clés
  • Une racine d’un polynôme est une valeur de qui annule le polynôme.
  • Un polynôme du second degré admettant deux racines distinctes peut s’écrire sous la forme factorisée .
  • Pour étudier le signe d’un polynôme, on a besoin de connaitre les valeurs de ses racines éventuelles. Le polynôme change de signe entre ses racines.
  • Soit k un réel positif ou nul. L’équation  admet dans  :
    • deux solutions,  et , si  ;
    • une seule solution qui vaut 0, si  .
Pour bien comprendre
  • Connaitre la fonction de référence
  • Savoir ce qu’est la solution d’une équation
  • Savoir développer une expression du second degré
  • Savoir ce qu’est le tableau de signe d’une fonction
1. Racine(s) d'une fonction polynôme
a. Notion de racine
On dit qu’un réel   est racine d’une fonction polynôme d’expression lorsqu’on a , c’est à dire lorsque .
Exemple
3 est une racine de  avec  car .
b. Nombre de racines

Une fonction polynôme peut admettre sur , 0, 1 ou 2 racines suivant les valeurs de , et .

Exemples
définie par  admet 2 racines distinctes : –2 et 3.
définie par  admet 1 seule racine : 4.
c. Lien avec la représentation graphique

Les racines d’une fonction polynôme de degré 2 correspondent aux abscisses des points où la parabole coupe l’axe des abscisses.

Exemples
En vert, possède 2 racines : 0 et 4.
En bleu, possède 1 racine : –2.
En orange, ne possède aucune racine.

2. Forme factorisée d'une fonction polynôme de degré 2
a. Cas d'une fonction polynôme admettant deux racines distinctes
Lorsqu’une fonction polynôme  d’expression admet 2 racines  et , alors son expression factorisée est .
Exemples
Si avec comme racines –2 et 3, alors .
Si avec comme racine double 4, alors .
Si avec commes racines –2 et 3, alors .
b. Cas d'une fonction polynôme admettant une seule racine

Lorsqu’une fonction polynôme  d’expression admet 1 racine , alors son expression factorisée est .

3. Signe d'une fonction polynôme de degré 2

Une fonction polynôme de degré deux d’expression change de signe entre ses racines  et .

Il existe 2 possibilités en fonction du signe de  :

Si  :

Si  :

4. Résolution d'une équation avec la fonction carré

Résoudre l’équation (où k est un réel positif ou nul) revient à chercher le(s) nombre(s) x tel(s) que  x = k.

Soit k un réel positif ou nul. L’équation  admet dans  :
  • deux solutions,  et , si  ;
  • une seule solution qui vaut 0, si  .

En effet, pour tout réel k, la droite d'équation y = k :

  • coupe deux fois la courbe représentative de la fonction  si k est strictement positif ;
  • coupe une seule fois la courbe représentative de la fonction  si k est nul.

Exemples
  •  ou 

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