L'espérance d'une variable aléatoire

Plaçons 6 boules indiscernables dans une urne. Parmi elle, il y a une boule rouge, 2 boules bleues et 3 boules noires. On tire une boule au hasard.
Si la boule tirée est rouge, nous gagnons 3 €.
Si la boule tirée est bleue, nous gagnons 2 €.
Si la boule tirée est noire, nous perdons 1 €.

Avant de jouer à un jeu d’argent, il est légitime pour le joueur de déterminer si le jeu va être profitable pour lui sur le long terme, c’est à dire si le joueur va gagner de l’argent en jouant un très grand nombre de fois.

On note X la variable aléatoire à laquelle on associe le gain ou la perte (on appelle cela le gain algébrique).
Définissons sa loi de probabilité (nous laissons volontairement les probabilités sous le même dénominateur) :

ai	–1	2	3
P(X = ai)

Ω est l’univers de notre expérience aléatoire. Soit X une variable définie sur Ω et a₁ ; a₂ ; … ; a_n des nombres réels qui représentent toutes les valeurs prises par X et enfin : P₁ ; P₂ ; … ; P_n les probabilités associées aux événements « X = a₁ » ; « X = a₂ » ; … ; « X = a_n».

La loi de probabilité de X se résume comme ceci :

ai	–1	2	3
P(X = ai)

Remarque
Le signe  signifie la somme de « i = 0 » à « i = n ».
Par exemple :  = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100

L’espérance peut s’interpréter comme la valeur moyenne prise par X lors de notre expérience aléatoire.

Exemple
Dans notre expérience, on a :

L’espérance du jeu est de . Elle est donc positive. Cela signifie que le jeu est gagnant pour le joueur, qui gagnera en moyenne  € par partie.