L'espérance d'une variable aléatoire
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Soit Ω l’univers, X une variable définie sur Ω, a1 ; a2 ; … ; an les valeurs prises par X, et P1 ; P2 ; … ; Pn les probabilités associées aux événements « X = a1 » ; « X = a2 » ; … ; « X = an ».
- L’espérance se calcule de la façon
suivante :
- Elle peut s'interpréter comme la valeur moyenne prise par X lors de l'expérience aléatoire.
Variable aléatoire et loi de probabilité
Plaçons 6 boules indiscernables dans une
urne. Parmi elle, il y a une boule rouge, 2 boules
bleues et 3 boules noires. On tire une boule au
hasard.
Si la boule tirée est rouge, nous gagnons
3 €.
Si la boule tirée est bleue, nous gagnons
2 €.
Si la boule tirée est noire, nous perdons
1 €.
Avant de jouer à un jeu d’argent, il est légitime pour le joueur de déterminer si le jeu va être profitable pour lui sur le long terme, c’est à dire si le joueur va gagner de l’argent en jouant un très grand nombre de fois.
On note X la variable aléatoire à laquelle
on associe le gain ou la perte (on appelle cela le gain
algébrique).
Définissons sa loi de probabilité (nous
laissons volontairement les probabilités sous le
même dénominateur) :
| ai | –1 | 2 | 3 |
| P(X = ai) |
|
|
|
Ω est l’univers de notre expérience aléatoire. Soit X une variable définie sur Ω et a1 ; a2 ; … ; an des nombres réels qui représentent toutes les valeurs prises par X et enfin : P1 ; P2 ; … ; Pn les probabilités associées aux événements « X = a1 » ; « X = a2 » ; … ; « X = an».
La loi de probabilité de X se résume comme ceci :
| ai | –1 | 2 | 3 |
| P(X = ai) |
|
|
|
Le signe
signifie la somme de
« i = 0 »
à « i = n ».Par exemple :
= 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100
L’espérance peut s’interpréter comme la valeur moyenne prise par X lors de notre expérience aléatoire.
Dans notre expérience, on a :
L’espérance du jeu est de
. Elle est donc positive. Cela
signifie que le jeu est gagnant pour le joueur, qui
gagnera en moyenne 
€ par partie.
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