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Factoriser une expression

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Objectifs
  • Reconnaitre la forme factorisée d'une expression.
  • Factoriser une expression avec un facteur commun.
  • Factoriser une expression avec des identités remarquables.
Points clés
  • Factoriser une expression numérique ou littérale, c’est l’écrire sous la forme d’un produit.
  • On a :
    k × a + k × b = k × (a + b)
    k × a – k × b = k × (a – b)

    avec k, a et b trois nombres quelconques.
  • Les identités remarquables rencontrées lors des développements vont aussi nous permettre de factoriser des expressions. Pour cela, il suffit d’inverser ces formules de développement. On obtient les formules suivantes :             
     
1. Factorisation d'une expression
Factoriser une expression numérique ou littérale, c’est l’écrire sous la forme d’un produit.
Exemple d'expression factorisée

L'expression (3x – 7)(2x + 4) est factorisée car elle n'est composée que d'un seul terme qui comporte deux facteurs.
Exemples d'expressions non factorisées

Les expressions possèdent deux termes (séparés par un + ou un – ) comportant chacun deux facteurs.
2. Factorisation par facteur commun
Rappel                         
k
 × a + k × b = k × (a + b)
k × a – k × b = k × (a – b)
avec k, a et b trois nombres quelconques.

On dit que l’on a factorisé par k. On dit aussi que k est un facteur commun.

a. Facteur commun « évident »

Dans certains cas, on peut appliquer directement le rappel précédent.

Exemple 1 
Factoriser l’expression .

On a factorisé par (2x + 3) l’expression E en un produit de 2 facteurs.
Exemple 2 
Factoriser l’expression .

On a factorisé par 2 l’expression F en un produit de 2 facteurs, dont un à 3 termes.
b. Facteur commun « caché »

Parfois, le facteur commun n’est pas apparent. La première étape de calcul va alors consister à le faire apparaitre.

Exemple 1
Factoriser l’expression .
On remarque que . On peut donc réécrire l’expression sous la forme

Le facteur (x – 2) est commun aux deux termes ;

par conséquent :  
Exemple 2
Factoriser l’expression
On remarque que . On peut donc réécrire l’expression sous la forme .

Le facteur (3x + 5) est commun aux deux termes ;

par conséquent :  
3. Factorisation par identités remarquables
Les identités remarquables rencontrées lors des développements vont aussi nous permettre de factoriser des expressions. Pour cela, il suffit d’inverser ces formules de développement.
On obtient les formules suivantes :                
Exemple 1
Factoriser .
On reconnaît la deuxième identité remarquable en posant : a = x et b = 3.
Exemple 2
Factoriser .
On remarque que 81 = 92 ; on peut donc utiliser la première identité remarquable en posant :
a = 2x – 1 et b = 9.
Exemple 3
Factoriser .
On remarque que   et on utilise la première identité remarquable en posant :
a = 2 – 3x et b = .
Remarques 
• Le plus souvent, on factorise avec un facteur commun ou l'identité remarquable .
• Factoriser une expression est très utile pour résoudre des équations-produits.

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Question 1/5

La médiane de 6 notes est 13. Cela signifie que :

Question 2/5

On a obtenu la série statistique suivante :

Combien vaut la médiane ?

Question 3/5

On a obtenu la série ci-dessous :

Quelle est la médiane de cette série ?

Question 4/5

On a relevé les tailles en cm des élèves d’une classe :

 

Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

Question 5/5

Les notes en français de deux classes littéraires sont données dans le tableau suivant :

Quelle est la note médiane ?

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