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Définitions et notations ensemblistes

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Objectifs

Connaitre le vocabulaire des ensembles : ensemble, sous-ensemble, élément, appartenance, couple, inclusion, intersection, réunion, complémentaire.
Savoir utiliser ce vocabulaire sur des exemples pris de différentes situations : intervalles, évènements en probabilités.

Points clés

Un ensemble est une collection d’objets. On le note par une lettre majuscule, par exemple A.
Un élément est le nom donné à un objet appartenant à un ensemble, il est noté avec une lettre minuscule, par exemple a. On dit que a appartient à A et on note a ∈ A si a est un élément de A. Sinon, on dit que a n’appartient pas à A et on note a ∉ A.
On dit qu’un ensemble A est inclus dans un ensemble B et on note A ⊂ B, si tous les éléments de A sont des éléments de B. On dit aussi que A est un sous-ensemble de B ou une partie de B.
On définit l’intersection de A et de B et on note A ∩ B l’ensemble qui contient les éléments communs à A et à B.
On définit la réunion de A et de B et on note A U B l’ensemble qui contient tous les éléments de A et tous ceux de B.
Soient E un ensemble et A un sous-ensemble de E. On appelle « complémentaire de A dans E » l’ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans A. On le note Ā ou encore EA.
En mathématiques, un couple est la donnée de 2 objets dans un ordre déterminé et on le note avec des parenthèses (a ; b).

Pour bien comprendre

Probabilités simples
Intervalles
Notion d’ensemble

1. Ensembles et relation d'appartenance

a. Ensemble et élément

Un ensemble est une collection d’objets. On le note par une lettre majuscule, par exemple A.
Un élément est le nom donné à un objet appartenant à un ensemble, il est noté avec une lettre minuscule, par exemple a.

On peut désigner un ensemble de 3 façons :

en extension : on liste ses éléments entre 2 accolades (quand cela est possible) ;
en compréhension : on donne une propriété caractérisant ses éléments : par exemple « les entiers naturels inférieurs à 10 » ;
par un diagramme : on met à l’intérieur les éléments de l’ensemble.

Exemples
E = {0 ; 1 ; 2 ; 3} E est un ensemble donné en extension (dans les accolades, l’ordre n’a pas d’importance). Ses éléments sont 0, 1, 2, et 3.

L’ensemble des réels strictement positifs est l’intervalle ]0 ; +[. C’est un ensemble donné en compréhension : on a donné une propriété de ses éléments.

L’ensemble représenté ci-dessous est désigné par un cercle à l’intérieur duquel on a mis les éléments.

b. Appartenance

On dit que a appartient à A et on note a ∈ A si a est un élément de A. Sinon, on dit que a n’appartient pas à A et on note a ∉ A.

Exemple : E = {0 ; 1 ; 2 ; 3}
1 ∈ E mais 4 ∉ E.

c. Ensembles particuliers

Singleton : un ensemble formé d’un seul élément est un singleton ;
Paire : un ensemble formé de 2 éléments ;
Ensemble vide : un ensemble qui n’a pas d’éléments et on le note Ø.

Exemples
A = {a} est un singleton.
B ensemble des diviseurs de 7 est une paire car B = {1 ; 7}.

2. Relation entre 2 ensembles

a. Inclusion

On dit qu’un ensemble A est inclus dans un ensemble B et on note A ⊂ B, si tous les éléments de A sont des éléments de B. On dit aussi que A est un sous-ensemble de B ou une partie de B.

Exemple
Dans le cas des ensembles de nombres, on a

.
Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs et sont des réels.

b. Intersection

On définit l’intersection de A et de B et on note A ∩ B l’ensemble qui contient les éléments communs à A et à B.

L’ensemble hachuré est A ∩ B.

Remarque
Lorsque A ∩ B est vide, on dit que les ensembles sont disjoints.

Exemple
Soient A l’ensemble des diviseurs de 4 et B l’ensemble des diviseurs de 6.
On a A = {1 ; 2 ; 4} et B = {1 ; 2 ; 3 ; 6}.
Alors les éléments communs à A et à B sont 1 et 2 donc A ∩ B = {1 ; 2}.

c. Réunion

On définit la réunion de A et de B et on note A U B l’ensemble qui contient tous les éléments de A et tous ceux de B.

Tout ce qui est coloré est l’ensemble A U B.

Exemple
Reprenons les ensembles A et B précédents : on a A U B = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6}.

d. Ensemble complémentaire

Soient E un ensemble et A un sous-ensemble de E.
On appelle « complémentaire de A dans E » l’ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans A. On le note Ā ou encore EA.

Tout ce qui est coloré est Ā.

3. Couple

En mathématiques, un couple est la donnée de 2 objets dans un ordre déterminé et on le note avec des parenthèses (a ; b).

Exemples
(3 ; 4) est différent du couple (4 ; 3).
On utilise cette notation pour les coordonnées d’un point ou d’un vecteur et pour les solutions d’un système S = {(2 ; 1) ; (3 ; 4)}.

Attention
(1 ; 2) n’est pas la paire E = {1 ; 2} et n’est pas non plus l’intervalle [1 ; 2].
Les parenthèses, les crochets et les accolades ont des significations différentes, il faut bien réfléchir quand on les utilise.

4. Application aux intervalles

On peut appliquer les définitions précédentes aux cas particuliers des intervalles de .

Exemple
Soient I = [4 ; 6] et J = [5 ; +∞[.
On peut trouver I ∩ J = [5 ; 6] : ce sont les réels qui appartiennent à I et à J.
De même, I U J = [4 ; +∞[ est la réunion de I et de J.
I et J ne sont pas disjoints car leur intersection n’est pas vide.
Le complémentaire de J dans

est l’intervalle ]–∞ ; 5[.

5. Application aux événements en probabilité

On peut appliquer les définitions précédentes aux cas particuliers des évènements en probabilité.

Exemple
Soit l’expérience aléatoire du lancer de dé, soit Ω l’ensemble des issues possibles de l’expérience. On a Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
On définit les évènements I = « obtenir un multiple de 3 » et J = « obtenir un nombre impair ». On a I = {3 ; 6} et J = {1 ; 3 ; 5}.

I ∩ J = {3}. Ce sont les issues qui appartiennent à I et à J.
I U J = {1 ; 3 ; 5 ; 6}. C’est la réunion de I et de J.
I et J ne sont pas disjoints car leur intersection n’est pas vide.
Le complémentaire de J dans Ω est l’ensemble J = {2 ; 4 ; 6}.
I et J ne forment pas une partition de Ω.

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