Modéliser un problème par une inéquation du premier degré à une inconnue - Maxicours

Modéliser un problème par une inéquation du premier degré à une inconnue

Objectif

Modéliser un problème par une inéquation du premier degré. 

Points clés
  • On se place dans le cas des inéquations du premier degré à une inconnue. 
    Modéliser un problème par une inéquation, c'est transformer les données d'un problème en une inégalité mathématique du type ax + b < cx + d (a, b, c et d étant des nombres réels donnés). Cela permettra ensuite de résoudre l'inégalité pour trouver la solution du problème.
  • Pour mettre en inéquation un problème, il faut procéder par étapes :
    1. analyser et choisir l'inconnue
      Pour cela, identifier les objets (grandeurs, valeurs) de l’énoncé. Il y a d'une part les objets connus, et d'autre part les objets à déterminer (c'est-à-dire les inconnues du problème). On désigne les inconnues par des lettres (x, y, V, L, t, etc.) ;
    2. mettre en inéquation le problème
      Pour cela, identifier les relations entre les objets connus et inconnus de l’énoncé, pour déterminer la ou les opérations mises en jeu (addition, soustraction, multiplication, division).
      Déterminer le sens de l’inégalité d’après l’énoncé (< ; > ; ≤ ou ≥).
Pour bien comprendre

Inéquation du premier degré à une inconnue

1. Définition et méthode

Pour résoudre un problème, il est souvent plus facile de le traduire en une égalité (ou une inégalité) mathématique.
Résoudre cette égalité (ou cette inégalité) permettra ensuite de trouver la solution du problème.

Si l'énoncé demande d'indiquer un maximum, de comparer deux formules, de dire « quelle formule est la plus avantageuse » ou de dire « à partir de quelle valeur », cela doit mettre la puce à l'oreille.
Cela signifie souvent que le problème peut être modélisé par une inéquation.

On se place dans le cas des inéquations du premier degré à une inconnue. 
Modéliser un problème par une inéquation, c'est transformer les données d'un problème en une inégalité mathématique du type ax + b < cx + d (a, b, c et d étant des nombres réels donnés). Cela permettra ensuite de résoudre l'inégalité pour trouver la solution du problème.
Remarque
Le signe < peut être remplacé par les autres signes mathématiques traduisant des inégalités : ≤, > ou ≥.
Exemple
On donne le problème suivant : « Un kilogramme de pommes coute 3 €. Stéphane veut acheter des pommes et dispose de 9 €. Il doit toutefois dépenser 1 € pour son trajet aller-retour en bus. Combien de kilogrammes de pommes Stéphane peut-il acheter au maximum ? »
→ Ce problème demande une quantité maximale, il peut être modélisé par une inéquation.
Méthode

Pour mettre en inéquation un problème, il faut procéder par étapes :

  1. analyser et choisir l'inconnue
    Pour cela, identifier les objets (grandeurs, valeurs) de l’énoncé. Il y a d'une part les objets connus, et d'autre part les objets à déterminer (c'est-à-dire les inconnues du problème). On désigne les inconnues par des lettres (x, y, V, L, t, etc.) ;
  2. mettre en inéquation le problème
    Pour cela, identifier les relations entre les objets connus et inconnus de l’énoncé, pour déterminer la ou les opérations mises en jeu (addition, soustraction, multiplication, division).
    Déterminer le sens de l’inégalité d’après l’énoncé (< ; > ; ≤ ou ≥).

Une fois le problème mis en inéquation, on pourra résoudre l'inéquation pour trouver la solution du problème. 

Remarque
La méthode est la même pour la mise en équation d'un problème.
2. Application
On reprend le problème précédent : « Un kilogramme de pommes coute 3 €. Stéphane veut acheter des pommes et dispose de 9 €. Il doit toutefois dépenser 1 € pour son trajet aller-retour en bus. Combien de kilogrammes de pommes Stéphane peut-il acheter au maximum ? »
On a identifié au paragraphe précédent que ce problème demandait une quantité maximale, il peut donc être modélisé par une inéquation.

Transformons les données de ce problème en une inéquation.

  1. On analyse et on choisit l'inconnue. Les objets de l'énoncé sont :
    • 3 € : prix du kilogramme de pommes ;
    • 9 € : montant total à ne pas dépasser ;
    • 1 € : frais de transport ;
    • objet cherché : nombre de kilogrammes de pommes à acheter.
    On souhaite déterminer le nombre de kilogrammes de pommes à acheter. 
    On définit donc x le nombre de kilogrammes de pommes à acheter.
     
  2. On met en inéquation le problème. 
    D’après l’énoncé, on souhaite savoir combien de kilogrammes de pommes on peut acheter avant d’atteindre le montant total de 9 €, en comptant 1 € de transport. Cela revient à effectuer une multiplication puis une addition.
    Le prix que va payer Stéphane pour les pommes correspond à :

    La dépense totale sera donc 3x + 1 euros.
    D’après l’énoncé, la dépense totale doit être inférieure à 9 €, il faut donc utiliser le symbole . L’inéquation qui correspond au problème est : 3x + 1 ≤  9.
3. Pour aller plus loin : résolution d'une inéquation et conclusion

Une fois le problème modélisé par une inéquation, on peut le résoudre en respectant les règles de calcul dans une inégalité.

Exemple
On reprend le problème précédent. Résoudre l’inéquation 3x + 1 ≤ 9 et trouver la solution du problème.
 (on divise par 3 qui est positif, donc l’inégalité ne change pas de sens).
Conclusion : comme x est un nombre de kilogrammes, et que Stéphane souhaite acquérir des pommes, ce nombre est strictement positif. Donc le nombre x doit appartenir à l’intervalle ]0 ; ].
Pour aller plus loin

Résolution d'une inéquation du premier degré à une inconnue 

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