Multiplication d'un vecteur par un réel, colinéarité
Objectif(s)
Multiplication d'un vecteur par un réel -
Vecteurs colinéaires -
Relation liant les coordonnées de deux vecteurs colinéaires
Vecteurs colinéaires -
Relation liant les coordonnées de deux vecteurs colinéaires
1. Multiplication d'un vecteur par un réel
Définition
désigne un vecteur et k est un
réel.
Le produit du vecteur
par le réel k est un
vecteur noté k tel que :
• si=
où k = 0, alors
k=
;
• si
et k > 0, alors
et
kont la même direction, le
même sens et 
;
• si
et k < 0, alors
et
kont la même direction, des sens
opposés et 
.
désigne un vecteur et k est un
réel.Le produit du vecteur
par le réel k est un
vecteur noté k tel que :• si
=où k = 0, alors
k= ;• si
et k > 0, alors
et
kont la même direction, le
même sens et ;• si
et k < 0, alors
et
kont la même direction, des sens
opposés et .
Exemple
est
un vecteur donné. Les points A, B, C, D, E et F sont
tels que :
; 
; 
.
, 3et -2ont la même direction (celle du
vecteur).(AB), (CD) et (EF) sont parallèles.
et -2sont de sens opposés.
et 
sont de sens opposés.
; CD = 3AB.
; EF = 2AB.
Propriétés
Quels que soient les vecteurs
et 
et les réels k et k' :
•
équivaut à k = 0 ou
;
•
;
•
;
•
.
Quels que soient les vecteurs
et et les réels k et k' :•
équivaut à k = 0 ou
;•
;•
;•
.
2. Vecteurs colinéaires
a. Définition
et 
sont colinéaires
signifie que l'un est de produit de l'autre par un
réel k.Conséquences immédiates
• Le vecteur nul
est colinéaire
à tout vecteur 
, car quel que soit , 
;•
et 
sont colinéaires
signifie que l'un est le produit de l'autre par un
nombre réel 
.Ainsi, deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction.
b. Applications
Vecteurs
colinéaires et
parallélisme
et 
sont colinéaires
équivaut à :
et ont la même direction
équivaut à :
(AB) // (CD).
et sont colinéaires
équivaut à :et ont la même direction
équivaut à :(AB) // (CD).
Exemple 1
ABC est un triangle. M et N sont tels que :
et
.On en déduit que (MN) et (BC) sont parallèles.
En effet,
.On en déduit que
et 
sont colinéaires,
donc les droites (MN) et (BC) sont parallèles.Exemple 2
ABCD est un trapèze et (EF) est parallèle aux bases.
Les droites (AB), (FE) et (CD) sont parallèles, donc :
•
et 
sont colinéaires
;•
et 
sont colinéaires
;•
et 
sont
colinéaires.
Déductions possibles :
• Il existe un réel a tel que
,
et
sont de même sens donc a > 0 et 
;• Il existe un réel b tel que
,
et
sont de même sens donc b < 0 et 
.
Vecteurs colinéaires et
alignement
et 
sont colinéaires
équivaut à :
et 
ont la même direction
équivaut à :
(AB) // (AC) équivaut à :
A, B et C sont alignés.
et sont colinéaires
équivaut à :et ont la même direction
équivaut à :(AB) // (AC) équivaut à :
A, B et C sont alignés.
Exemple 1
Si M, N sont 2 points donnés, comment placer le point R tel que
?
est le produit de 
par 
donc par définition,
et 
sont colinéaires.On en déduit que :
• M, N et R sont alignés ;
•
donc 
et 
sont de sens opposés ;•
.
Exemple 2
O et I sont deux points donnés.
Quel que soit
, il existe un réel a tel
que 
.
3. Relation liant les coordonnées de deux
vecteurs colinéaires
Le plan étant muni d'un repère 
,
deux vecteurs 
et 
sont colinéaires si et seulement si
.
,
deux vecteurs
et sont colinéaires si et seulement si
.
Exemple 1
Soit dans un repère du plan les vecteurs
et
.
et
sont
colinéaires car 
.Exemple 2
Soit dans un repère du plan les points A(-2 ; 1) et B (1 ; 2).
M(x ; y) ∈ (AB) si et seulement si
.En effet, M ∈ (AB) si et seulement si
et 
sont colinéaires.
et
sont
colinéaires si et seulement si 
ou
.
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