Intersection, réunion, contraire
Objectifs :
Dans ce cours, nous allons compléter nos connaissances
sur les probabilités. Que représente
l’intersection ou la réunion de deux
évènements ? Que signifie évènement
contraire ? Voilà les trois sujets que nous allons
aborder dans cette fiche.
1. Intersection de deux évènements
Si A et B sont deux évènements, l’évènement (A et
B) est l’évènement qui se
réalise lorsque A et B ont lieu tous les deux
simultanément.
L’évènement (A et B) se note aussi (A
B)
et on parle de l’intersection de A et de B.
L’évènement (A et B) se note aussi (A
B)
et on parle de l’intersection de A et de B.
Exemple
Lors du lancer d’un dé à six faces non truqué, on appelle A l’évènement « obtenir un nombre impair » et B l’évènement « obtenir un nombre strictement plus grand que 2 ».
L’évènement A est réalisé si on obtient l’une des faces 1 , 3 , 5. On note A={1 ;3 ;5}
L’évènement B est réalisé si on obtient l’une des faces 3, 4, 5, 6. On note B= {3 ;4 ;5 ;6}
L’évènement (A
B) est
réalisé si on obtient soit la face 3 soit la face
5. On notera alors (A
B) = {3
;5}.
2. Réunion de deux évènements
Si A et B sont deux évènements, l’évènement (A ou
B) est l’évènement qui se
réalise lorsque l’un au moins des deux
évènements a lieu.
L’évènement (A ou B) se note aussi (A
B)
et on parle alors de la réunion de A et de B.
L’évènement (A ou B) se note aussi (A
B)
et on parle alors de la réunion de A et de B.
Exemple
Si on reprend l’expérience du lancer d’un dé à six faces non truqué avec A l’évènement « obtenir un nombre impair » et B l’évènement « obtenir un nombre strictement plus grand que 2 » alors l’évènement (A
B) sera
réalisé si on obtient l’une des faces 1, 3,
4 ,5 ,6. On notera alors ce résultat (A
B) = {1 ;3
;4 ;5 ;6} .
Propriété
Si A et B sont deux évènements on a la relation suivante :
p(A
B) =
p(A) + p(B) – p(A
B).
Si A et B sont deux évènements on a la relation suivante :
p(A
B) =
p(A) + p(B) – p(AB).
Sur l’exemple du dé à six faces non truqué avec A l’évènement « obtenir un nombre impair » et B l’évènement « obtenir un nombre strictement plus grand que 2 », on peut vérifier cette relation.
Nous sommes dans une situation d’équiprobabilité.
(A
B) = {1 ;3
;4 ;5 ;6} donc p(A
B) =
A= {1 ;3 ;5} donc p(A) =
B={3 ;4 ;5 ;6} donc p(B) =
(A
B) = {3
;5} donc p(A
B) =
p(A) + p(B) –p(A
B) =
ce
qui est bien la valeur de p(A
B).Cas particulier : On dit que deux évènements A et B sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Dans ce cas on a p(A
B) = p(A)
+ p(B)Exemple: Lors du lancer d’un dé à six faces non truqué on appelle A l’évènement « obtenir la face 5 » et B l’évènement « obtenir un nombre pair ». Ces deux évènements ne peuvent pas se produire en même temps, ils sont donc incompatibles.
3. Evènement contraire
L’évènement
contraire de l’évènement A est
celui qui se réalise lorsque A ne se réalise
pas. On le note 
.
.
Exemple
Une urne contient une boule Blanche, une boule Verte et une boule Marron. On considère l’expérience qui consiste un prélever au hasard une boule de l’urne.
On considère l’évènement A « tirer la boule marron ». Son évènement contraire est « tirer la boule blanche ou la boule verte ».
Propriété
La somme de la probabilité d’un évènement A et de la probabilité de son contraire est égale à 1. On a donc P(A) + p(
)
= 1.
La somme de la probabilité d’un évènement A et de la probabilité de son contraire est égale à 1. On a donc P(A) + p(
)
= 1.
On peut donc calculer la probabilité de
à
partir de celle de A par la formule : p(
)= 1 -
p(A)Dans l’exemple précédent nous sommes en équiprobabilité on a : A= {Marron}
d’où p(A)=
D’où p(
)=
1- p(A) = 1 - =
.Vous avez déjà mis une note à ce cours.
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