Intersection, réunion, contraire - Maxicours

Intersection, réunion, contraire

Objectifs :
Dans ce cours, nous allons compléter nos connaissances sur les probabilités. Que représente l’intersection ou la réunion de deux évènements ? Que signifie évènement contraire ? Voilà les trois sujets que nous allons aborder dans cette fiche.
1. Intersection de deux évènements
Si A et B sont deux évènements, l’évènement (A et B) est l’évènement qui se réalise lorsque A et B ont lieu tous les deux simultanément.

L’évènement (A et B) se note aussi (AB) et on parle de l’intersection de A et de B.

Exemple

Lors du lancer d’un dé à six faces non truqué, on appelle A l’évènement « obtenir un nombre impair » et B l’évènement « obtenir un nombre strictement plus grand que 2 ».
L’évènement A est réalisé si on obtient l’une des faces 1 , 3 , 5. On note A={1 ;3 ;5}
L’évènement B est réalisé si on obtient l’une des faces 3, 4, 5, 6. On note B= {3 ;4 ;5 ;6}
L’évènement (AB) est réalisé si on obtient soit la face 3 soit la face 5. On notera alors (AB) = {3 ;5}.

2. Réunion de deux évènements
Si A et B sont deux évènements, l’évènement (A ou B) est l’évènement qui se réalise lorsque l’un au moins des deux évènements a lieu.

L’évènement (A ou B) se note aussi (AB) et on parle alors de la réunion de A et de B.

Exemple
Si on reprend l’expérience du lancer d’un dé à six faces non truqué avec A l’évènement « obtenir un nombre impair » et B l’évènement « obtenir un nombre strictement plus grand que 2 » alors l’évènement (AB) sera réalisé si on obtient l’une des faces 1, 3, 4 ,5 ,6. On notera alors ce résultat (AB) = {1 ;3 ;4 ;5 ;6} .

Propriété
Si A et B sont deux évènements on a la relation suivante :
p(AB) = p(A) + p(B) – p(AB).

Sur l’exemple du dé à six faces non truqué avec A l’évènement « obtenir un nombre impair » et B l’évènement « obtenir un nombre strictement plus grand que 2 », on peut vérifier cette relation.
Nous sommes dans une situation d’équiprobabilité.

(AB) = {1 ;3 ;4 ;5 ;6} donc p(AB) =
A= {1 ;3 ;5} donc p(A) =   
B={3 ;4 ;5 ;6} donc p(B) =
(AB) = {3 ;5} donc p(AB) =
p(A) + p(B) –p(AB) = ce qui est bien la valeur de p(AB).

Cas particulier : On dit que deux évènements A et B sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Dans ce cas on a p(AB) = p(A) + p(B)

Exemple: Lors du lancer d’un dé à six faces non truqué on appelle A l’évènement « obtenir la face 5 » et B l’évènement « obtenir un nombre pair ». Ces deux évènements ne peuvent pas se produire en même temps, ils sont donc incompatibles.

3. Evènement contraire
L’évènement contraire de l’évènement A est celui qui se réalise lorsque A ne se réalise pas. On le note .

Exemple
Une urne contient une boule Blanche, une boule Verte et une boule Marron. On considère l’expérience qui consiste un prélever au hasard une boule de l’urne.
On considère l’évènement A « tirer la boule marron ». Son évènement contraire est « tirer la boule blanche ou la boule verte ».

Propriété
La somme de la probabilité d’un évènement A et de la probabilité de son contraire est égale à 1. On a donc P(A) + p() = 1.

On peut donc calculer la probabilité de à partir de celle de A par la formule : p()= 1 - p(A)
Dans l’exemple précédent nous sommes en équiprobabilité on a : A= {Marron}
d’où p(A)=
D’où p()= 1- p(A) = 1 - = .

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