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Simulation et fluctuation

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Objectif :

Simuler une expérience, c’est la remplacer par une autre beaucoup plus simple à organiser et qui permet d’obtenir des résultats semblables. L’outil informatique peut largement nous aider dans cette démarche. Nous allons voir comment.

1. Simulations

On dit qu’une expérience est aléatoire si ses issues possibles ne sont dues qu’au hasard.

• Exemple
Lorsqu’on lance une pièce de monnaie bien équilibrée, on ne peut pas connaître par avance la face qui va apparaître.
Lorsque l’on lance un dé à 6 faces bien équilibré, on ne peut pas prédire le numéro qui va apparaitre.

Il n’est pas toujours facile d’organiser une expérience aléatoire. Par exemple jouer à la roulette nécessite de se déplacer dans un casino ou d’acheter un matériel couteux. Cependant il est possible de simuler une expérience aléatoire à l’aide d’une calculatrice ou d’un tableur.

• Exemple
Avec un tableur on peut facilement simuler le lancer d’un dé à 6 faces.
Dans un tableur la fonction qui donne au hasard un nombre compris entre 0 et 1 exclus est : ALEA()
Pour avoir un nombre au hasard compris entre 0 et 6 exclus il suffit d’utiliser : 6*ALEA()
Pour avoir la partie entière d'un nombre on utilise la fonction ENT() du tableur
Pour avoir un nombre entier au hasard compris entre 1 et 6 on tapera dans le tableur : =ENT(6*ALEA())+1

2. Fluctuation d'échantillonnage

a. Définition

• La série statistique dont les valeurs sont les résultats obtenus lorsque l’on répète n fois une expérience aléatoire dans les mêmes conditions s’appelle un échantillon de taille n.

• Des échantillons de la même expérience aléatoire peuvent donner des résultats très différents. C’est ce que l’on appelle la fluctuation de l’échantillonnage.

Exemple : Voici présenté sous forme de tableau la distribution des fréquences de deux échantillons de taille 30 correspondant à la simulation du lancer d’un dé à six faces.

Echantillon 1

Face	1	2	3	4	5	6
Nombre d'apparitions	4	7	3	5	6	5
Fréquence	0,13	0,23	0,1	0,17	0,2	0,17

Echantillon 2

Face	1	2	3	4	5	6
Nombre d'apparitions	2	9	4	8	3	4
Fréquence	0,07	0,3	0,13	0,27	0,1	0,13

Sous forme graphique :

On constate des différences de résultats entre ces deux simulations. Par contre si l’on refait la même simulation avec un échantillon de taille 1000, on observe que l’ampleur des fluctuations des fréquences diminue et que les fréquences tendent à se stabiliser autour de la valeur 0,16.

b. Intervalle de fluctuation au seuil de 95 %

On vient de voir sur l'exemple que plus l'échantillon est de grande taille, plus les fluctuations des fréquences sont faibles.

Il existe une loi qui permet d'estimer l'intervalle dans lequel varie ces fréquences.

Propriété : on a 95% de chance de trouver la fréquence (expérimentale) f d'un caractère dans un échantillon dans un intervalle centré sur p, la proportion (théorique) du caractère dans la population et de largeur

.

Mais ceci n'est vrai que pour des échantillons de taille n supérieure à 25 et pour une proportion p comprise entre 0,2 et 0,8.
On appelle l'intervalle

l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%.

Revenons à notre exemple : on a bien n > 25 mais

(chaque face a une chance théorique sur 6 d'apparaître) donc p < 0,2.
On ne peut pas appliquer la relation précédente.

Prenons un autre exemple :
un joueur tire une carte dans un jeu de cartes, qu'il remet dans le paquet.
Il gagne s'il tire un cœur. Il renouvelle cette expérience n fois.
La probabilité de gagner est donc de

.
• Si n = 100, dans 95% des cas, la fréquence d’apparition d’un cœur fluctue dans l’intervalle [ 0,15 ; 0,35 ],
• Si n = 10000, dans 95% des cas, la fréquence d’apparition d’un cœur fluctue dans l’intervalle [ 0,24 ; 0,26 ].

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