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Fonctions : définition et vocabulaire

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Objectif

Les fonctions sont des outils très puissants des mathématiques et qui interviennent dans de nombreux domaines de la vie courante. Elles permettent, par exemple, de généraliser des situations ou de résoudre des problèmes d’optimisation.

Qu’est-ce-qu’une fonction ? Comment noter et représenter graphiquement une fonction ? Qu'est ce que l'ensemble de définition d'une fonction ? Comment détermine t-on les images et les antécédents d’une fonction par calculs et graphiques ?

1. Notion de fonction

Une fonction est un procédé qui permet d’associer à un nombre, un unique autre nombre appelé image. Si on appelle

cette fonction, l’image de x par f sera notée

Exemples :

est une fonction

est l'image de

par la fonction

est une fonction

est l'image de

par la fonction

Contre-exemple :
La correspondance qui à tout nombre positif fait correspondre les deux nombres dont il est le carré n’est pas une fonction. En effet, il n’y a pas unicité. Par exemple 4 est le carré de 2 et - 2.

Notations : Les écritures suivantes sont équivalentes :

a. Domaine de définition

L'ensemble de définition d'une fonction est l'ensemble des nombres réels pour lesquels on peut calculer une unique image. On le note parfois

Exemples :

. Pour tout x réel, on peut calculer x², donc l’ensemble de définition est

. . La racine carrée d’un nombre existe si et seulement si x ≥ 0, donc l’ensemble de définition est

On ne peut calculer l’image de x que si le dénominateur est non nul, c’est à dire si x ≠ -1. L’ensemble de définition est

b. Images et antécédents

Soient f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I.
Si f(a)= b, alors on dira que b est l’image de a par f et que a est un antécédent de b par f.

Exemples :

:
L’image de 1 par f vaut 1² = 1, soit f(1 )= 1.
L’image de -1 par f vaut (-1)² = 1, soit f(-1)=1.
Les antécédents de 1 sont toutes les valeurs a pour lesquelles f(a)=1, c'est à dire 1 et - 1.

:
L’image de 0 par f est 0 + 3 = 3, soit f(0) = 3. L’antécédent de 3 par f est 0.

:
L’image de 25 est

, soit f(25) = 5. L’antécédent de 5 par f est 25.

2. Utilisation de graphiques

a. Représentation graphique d'une fonction f

Dans un repère (O, I, J) donné.

La représentation graphique de f est l’ensemble de tous les points de coordonnées
(x ; f(x)) en faisant prendre à x toutes les valeurs de l’ensemble de définition.

Remarque : on utilisera parfois le mot courbe à la place de représentation graphique.

Exemple : Considérons la représentation graphique d'une fonction f sur [-3 ; 3]

Si M a pour abscisse x, alors son ordonnée est f(x).

A a pour coordonnées (2 ; 2), donc f(2)=2
donc l’image de 2 par f est 2.

B a pour coordonnées (-2 ; 2), donc f(-2)=2
donc l’image de -2 par f est 2.

Les antécédents de 2 par la fonction f sont -2 et 2.

b. Utilisation d'une courbe pour obtenir une image

Pour obtenir l’image d’un nombre a par une fonction f, on lit graphiquement l’ordonnée du point de la courbe de f ayant pour abscisse a.

Exemple 1 : Voici la représentation graphique d’une fonction f :

Pour déterminer l’image de 1 par f, on doit partir de l’abscisse 1, puis on lit l’ordonnée du point de la courbe correspondant.

Par lecture, on obtient 4.

Donc l’image de 1 par f est 4.

Exemple 2 : Voici la représentation graphique d’une fonction f :

Pour déterminer l’image de 2 par f, on doit partir de l’abscisse 2, puis on lit l’ordonnée du point de la courbe correspondant.
Par lecture, on obtient -3,5.

Donc l’image de 2 par f est -3,5.

c. Utilisation d'une courbe pour obtenir des antécedents

Pour obtenir les antécédents d’un nombre b, on lit les abscisses des points de la courbe ayant pour ordonnée b.

Exemple 1 : Voici la représentation graphique d’une fonction f :

Pour déterminer les antécédents de 3, on lit les abscisses des points de la courbe d’ordonnée 3.

Par lecture graphique, -1 et 3 sont les antécédents de 3 par f.

Exemple 2 : Voici la représentation graphique d’une fonction f :

Pour déterminer les antécédents de 1 par f, on lit les abscisses des points de la courbe d’ordonnée 1.

Par lecture graphique, 3 est l'antécédent de 1 par f.