Fonctions : définition et vocabulaire
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Qu’est-ce-qu’une fonction ? Comment noter et représenter graphiquement une fonction ? Qu'est ce que l'ensemble de définition d'une fonction ? Comment détermine t-on les images et les antécédents d’une fonction par calculs et graphiques ?
cette fonction, l’image
de x par f sera notée 
.
Exemples :
est une fonction 
et 
est l'image de 
par la fonction 
.
est une fonction 
et
est l'image de 
par la fonction 
Contre-exemple :
La correspondance qui à tout nombre positif fait correspondre les deux nombres dont il est le carré n’est pas une fonction. En effet, il n’y a pas unicité. Par exemple 4 est le carré de 2 et - 2.
Notations : Les écritures suivantes sont équivalentes :
.
Exemples :
. Pour tout x réel, on peut calculer
x², donc l’ensemble de
définition est 
.
. . La racine carrée
d’un nombre existe si et seulement si x ≥
0, donc l’ensemble de définition est
.
On ne peut calculer
l’image de x que si le dénominateur
est non nul, c’est à dire si x ≠
-1. L’ensemble de définition est 
Si f(a)= b, alors on dira que b est l’image de a par f et que a est un antécédent de b par f.
Exemples :
: L’image de 1 par f vaut 1² = 1, soit f(1 )= 1.
L’image de -1 par f vaut (-1)² = 1, soit f(-1)=1.
Les antécédents de 1 sont toutes les valeurs a pour lesquelles f(a)=1, c'est à dire 1 et - 1.
: L’image de 0 par f est 0 + 3 = 3, soit f(0) = 3. L’antécédent de 3 par f est 0.
: L’image de 25 est
, soit f(25) = 5.
L’antécédent de 5 par f est
25.La représentation graphique de f est l’ensemble de tous les points de coordonnées
(x ; f(x)) en faisant prendre à x toutes les valeurs de l’ensemble de définition.
Exemple : Considérons la représentation graphique d'une fonction f sur [-3 ; 3]
|
Si M a pour abscisse x, alors son
ordonnée est f(x). A a pour coordonnées (2 ; 2), donc f(2)=2 donc l’image de 2 par f est 2. B a pour coordonnées (-2 ; 2), donc f(-2)=2 donc l’image de -2 par f est 2. Les antécédents de 2 par la fonction f sont -2 et 2. |
Exemple 1 : Voici la représentation graphique d’une fonction f :
|
Pour déterminer l’image de 1 par
f, on doit partir de l’abscisse 1,
puis on lit l’ordonnée du point de
la courbe correspondant. Par lecture, on obtient 4. Donc l’image de 1 par f est 4. |
Exemple 2 : Voici la représentation graphique d’une fonction f :
|
Pour déterminer l’image de 2 par
f, on doit partir de l’abscisse 2,
puis on lit l’ordonnée du point de
la courbe correspondant. Par lecture, on obtient -3,5. Donc l’image de 2 par f est -3,5. |
Exemple 1 : Voici la représentation graphique d’une fonction f :
|
Pour déterminer les
antécédents de 3, on lit les
abscisses des points de la courbe
d’ordonnée 3. Par lecture graphique, -1 et 3 sont les antécédents de 3 par f. |
|
Pour déterminer les
antécédents de 1 par f, on lit les
abscisses des points de la courbe
d’ordonnée 1. Par lecture graphique, 3 est l'antécédent de 1 par f. |
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