Fonctions : définition et vocabulaire
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Objectif
Les fonctions sont des outils très puissants des
mathématiques et qui interviennent dans de nombreux
domaines de la vie courante. Elles permettent, par exemple,
de généraliser des situations ou de
résoudre des problèmes
d’optimisation.
Qu’est-ce-qu’une fonction ? Comment noter et représenter graphiquement une fonction ? Qu'est ce que l'ensemble de définition d'une fonction ? Comment détermine t-on les images et les antécédents d’une fonction par calculs et graphiques ?
Qu’est-ce-qu’une fonction ? Comment noter et représenter graphiquement une fonction ? Qu'est ce que l'ensemble de définition d'une fonction ? Comment détermine t-on les images et les antécédents d’une fonction par calculs et graphiques ?
1. Notion de fonction
Une fonction est un procédé qui
permet d’associer à un nombre, un unique
autre nombre appelé image. Si on appelle
cette fonction, l’image
de x par f sera notée 
.
cette fonction, l’image
de x par f sera notée .
Exemples :
est une fonction 
et 
est l'image de 
par la fonction 
.
est une fonction 
et
est l'image de 
par la fonction 
Contre-exemple :
La correspondance qui à tout nombre positif fait correspondre les deux nombres dont il est le carré n’est pas une fonction. En effet, il n’y a pas unicité. Par exemple 4 est le carré de 2 et - 2.
Notations : Les écritures suivantes sont équivalentes :
a. Domaine de définition
L'ensemble de définition d'une fonction
est l'ensemble des nombres réels pour lesquels
on peut calculer une unique image. On le note parfois
.
.
Exemples :
. Pour tout x réel, on peut calculer
x², donc l’ensemble de
définition est 
.
. . La racine carrée
d’un nombre existe si et seulement si x ≥
0, donc l’ensemble de définition est
.
On ne peut calculer
l’image de x que si le dénominateur
est non nul, c’est à dire si x ≠
-1. L’ensemble de définition est 
b. Images et antécédents
Soient f une fonction définie sur un
intervalle I et a ∈ I.
Si f(a)= b, alors on dira que b est l’image de a par f et que a est un antécédent de b par f.
Si f(a)= b, alors on dira que b est l’image de a par f et que a est un antécédent de b par f.
Exemples :
: L’image de 1 par f vaut 1² = 1, soit f(1 )= 1.
L’image de -1 par f vaut (-1)² = 1, soit f(-1)=1.
Les antécédents de 1 sont toutes les valeurs a pour lesquelles f(a)=1, c'est à dire 1 et - 1.
: L’image de 0 par f est 0 + 3 = 3, soit f(0) = 3. L’antécédent de 3 par f est 0.
: L’image de 25 est
, soit f(25) = 5.
L’antécédent de 5 par f est
25.
2. Utilisation de graphiques
a. Représentation graphique d'une fonction f
Dans un repère (O, I, J) donné.
La représentation graphique de f est l’ensemble de tous les points de coordonnées
(x ; f(x)) en faisant prendre à x toutes les valeurs de l’ensemble de définition.Remarque : on utilisera parfois le mot
courbe à la place de représentation
graphique.
Exemple : Considérons la représentation graphique d'une fonction f sur [-3 ; 3]
La représentation graphique de f est l’ensemble de tous les points de coordonnées
(x ; f(x)) en faisant prendre à x toutes les valeurs de l’ensemble de définition.
Exemple : Considérons la représentation graphique d'une fonction f sur [-3 ; 3]
|
Si M a pour abscisse x, alors son
ordonnée est f(x). A a pour coordonnées (2 ; 2), donc f(2)=2 donc l’image de 2 par f est 2. B a pour coordonnées (-2 ; 2), donc f(-2)=2 donc l’image de -2 par f est 2. Les antécédents de 2 par la fonction f sont -2 et 2. |
b. Utilisation d'une courbe pour obtenir une image
Pour obtenir l’image d’un nombre a
par une fonction f, on lit graphiquement
l’ordonnée du point de la courbe de
f ayant pour abscisse a.
Exemple 1 : Voici la représentation graphique d’une fonction f :
|
Pour déterminer l’image de 1 par
f, on doit partir de l’abscisse 1,
puis on lit l’ordonnée du point de
la courbe correspondant. Par lecture, on obtient 4. Donc l’image de 1 par f est 4. |
Exemple 2 : Voici la représentation graphique d’une fonction f :
|
Pour déterminer l’image de 2 par
f, on doit partir de l’abscisse 2,
puis on lit l’ordonnée du point de
la courbe correspondant. Par lecture, on obtient -3,5. Donc l’image de 2 par f est -3,5. |
c. Utilisation d'une courbe pour obtenir des
antécedents
Pour obtenir les antécédents
d’un nombre b, on lit les
abscisses des points de la courbe ayant pour
ordonnée b.
Exemple 1 : Voici la représentation graphique d’une fonction f :
|
Pour déterminer les
antécédents de 3, on lit les
abscisses des points de la courbe
d’ordonnée 3. Par lecture graphique, -1 et 3 sont les antécédents de 3 par f. |
|
Pour déterminer les
antécédents de 1 par f, on lit les
abscisses des points de la courbe
d’ordonnée 1. Par lecture graphique, 3 est l'antécédent de 1 par f. |
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