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Equations de droites

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Objectif

La notion de droite va s'étoffer en passant du cadre géométrique à une caractérisation algébrique : son équation.

Comment définit-on une droite par son équation ? Comment tracer une droite à partir de son équation ? Comment déterminer l'équation d'une droite à partir d'une représentation graphique ? Comment déterminer l'équation d'une droite à partir des coordonnées de 2 points distincts ?

Dans toute cette fiche de cours, le plan est muni d'un repère (O, I, J).

1. Equations de droites

a. Définitions

Une équation de droite est de la forme :
1) x = c où c est un nombre réel, si elle est parallèle à l'axe de ordonnées
2) y = px + d où p et d sont des nombres réels, si elle n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées

Remarque : On rencontrera parfois des équations du type ay + bx + c = 0 avec a ≠ 0. On pourra alors les transformer en une équation du type y = px + d que l’on appelle équation réduite de la droite.

Exemples :
a) y = 3x + 2 est l’équation d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées

b) x = 3 est l’équation d’une droite parallèle à l’axe des ordonnées

c) 2y - 2x + 4 = 0 est aussi une équation de droite, en effet

b. Coefficients

Toute droite du plan non parallèle à l’axe des ordonnées a une unique équation réduite de la forme y = px + d, et est la représentation graphique de la fonction affine f définie par f(x) = px + d.

p est le coefficient directeur de la droite ;
d est l’ordonnée à l’origine de la droite.

Exemples :
a) y= 3x + 2 est la droite de coefficient directeur 3 et d’ordonnée à l’origine 2 ;

b) y = x - 2 est la droite de coefficient directeur 1 et d’ordonnée à l’origine -2.

c. Tracé d'une droite

* Cas où x = c

Il s’agit de la droite parallèle à l’axe des ordonnées passant par le point A(c ;0).

Exemples :

* Cas y = px + d à partir des coefficients

D’après ce qui précède :
* d est l’ordonnée à l’origine de la droite, c’est donc l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées. Le point de coordonées (0 ;d) appartient à cette droite.
* p est le coefficient directeur de la droite, c'est-à-dire qu’il donne l’accroissement de y pour un accroissement de x valant 1.

Remarque : si p > 0, la droite « monte » et si p < 0, la droite « descend ».

Exemples : Tracer les droites suivantes à partir de leurs équations :
1) y = 3x + 2. L’ordonnée à l’origine est 2. Le point A(0 ;2) appartient à la droite.
Le coefficient directeur est 3. Donc « si on avance de 1 en abscisse, on monte de 3 en ordonnée ».

2) y= -x + 1. L’ordonnée à l’origine est 1. Le point (0 ;1) appartient à la droite.
Le coefficient directeur est -1. Donc si on « avance de 1 en abscisse », on « descend de 1 en ordonnée ».

* Cas y = px + d. A partir de deux valeurs distinctes de x.

On choisit deux valeurs différentes pour x. Pour faciliter les calculs, on prend souvent
x = 0 et x = 1. On obtient donc les coordonnées de 2 points distincts de la droite, il ne reste plus qu’à tracer la droite les reliant.

Exemples :

1) y = 3x + 2.

Valeurs de x	0	1
y = 3x + 2

Les points A(0 ;2) et B(1 ;5) appartiennent à la droite. On trace donc la droite passant par ces 2 points.

2) y = - x + 1

Valeurs de x	0	1
y = - x + 1	- 0 + 1 = 1	- 1 + 1 = 0

Les points A(0 ;1) et B(1 ;0) appartiennent à la droite. On trace donc la droite passant par ces 2 points.

2. Déterminer l'équation d'une droite à partir d'une représentation graphique

La droite a pour équation y = px + d.

appartiennent à cette droite.

But : trouver les coefficients p et d.
Détermination du coefficient directeur de la droite :

Détermination de l’ordonnée à l’origine : Il suffit de lire l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées.

Exemples : Déterminer les équations des droites suivantes
1)

L’équation est de la forme y = px + d.
La droite passe par les points A(2 ;-3) et B(-1 ;3)

L’ordonnée à l’origine est 1. Donc d = 1.

L’équation de la droite est : y = -2x + 1.

2)

L’équation est de la forme y = px + d

La droite passe par les points A(3 ;1) et B(-1 ;-3)

L’ordonnée à l’origine est -2. Donc d=-2.
L’équation de la droite est : y = x - 2.

3. Déterminer l'équation d'une droite à partir des coordonnées de 2 points distincts

La droite a pour équation y = px + d.

appartiennent à cette droite.

But : trouver les coefficients p et d.
Détermination du coefficient directeur de la droite :

Détermination de l’ordonnée à l’origine : Le point A appartient à la droite, ses coordonnées vérifient l’équation y = px + d. D’où l’obtention de d par la résolution d’une équation.

Exemples : Déterminer les équations suivantes
1) Equation de la droite passant par A(2 ;-3) et B(-1 ;3) :
Elle est de la forme y = px + d

Calcul de

A(2 ;-3) appartient à la droite,

donc

L’équation de la droite est : y = -2x + 1

2) Equation de la droite passant par A(3 ;1) et B(-1 ;-3)
Elle est de la forme y= px + d

Calcul de