Equations de droites
Objectif
La notion de droite va s'étoffer en passant du cadre
géométrique à une caractérisation
algébrique : son équation.
Comment définit-on une droite par son équation ? Comment tracer une droite à partir de son équation ? Comment déterminer l'équation d'une droite à partir d'une représentation graphique ? Comment déterminer l'équation d'une droite à partir des coordonnées de 2 points distincts ?
Comment définit-on une droite par son équation ? Comment tracer une droite à partir de son équation ? Comment déterminer l'équation d'une droite à partir d'une représentation graphique ? Comment déterminer l'équation d'une droite à partir des coordonnées de 2 points distincts ?
Dans toute cette fiche de cours, le plan est muni d'un
repère (O, I, J).
1. Equations de droites
a. Définitions
Une équation de droite est de la forme
:
1) x = c où c est un nombre réel, si elle est parallèle à l'axe de ordonnées
2) y = px + d où p et d sont des nombres réels, si elle n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées
1) x = c où c est un nombre réel, si elle est parallèle à l'axe de ordonnées
2) y = px + d où p et d sont des nombres réels, si elle n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées
Remarque : On rencontrera parfois des équations du type ay + bx + c = 0 avec a ≠ 0. On pourra alors les transformer en une équation du type y = px + d que l’on appelle équation réduite de la droite.
Exemples :
a) y = 3x + 2 est l’équation d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées
b) x = 3 est l’équation d’une droite parallèle à l’axe des ordonnées
c) 2y - 2x + 4 = 0 est aussi une équation de droite, en effet
b. Coefficients
Toute droite du plan non parallèle à
l’axe des ordonnées a une unique
équation réduite de la forme
y = px + d, et est la
représentation graphique de la fonction
affine f définie par f(x) = px
+ d.
p est le coefficient directeur de la droite ;
d est l’ordonnée à l’origine de la droite.
p est le coefficient directeur de la droite ;
d est l’ordonnée à l’origine de la droite.
Exemples :
a) y= 3x + 2 est la droite de coefficient directeur 3 et d’ordonnée à l’origine 2 ;
b) y = x - 2 est la droite de coefficient directeur 1 et d’ordonnée à l’origine -2.
c. Tracé d'une droite
* Cas où x = c
Il s’agit de la droite parallèle à l’axe des ordonnées passant par le point A(c ;0).
Exemples :
* Cas y = px + d à partir des coefficients
D’après ce qui précède :
* d est l’ordonnée à l’origine de la droite, c’est donc l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées. Le point de coordonées (0 ;d) appartient à cette droite.
* p est le coefficient directeur de la droite, c'est-à-dire qu’il donne l’accroissement de y pour un accroissement de x valant 1.
Remarque : si p > 0, la droite « monte » et si p < 0, la droite « descend ».
Exemples : Tracer les droites suivantes à partir de leurs équations :
1) y = 3x + 2. L’ordonnée à l’origine est 2. Le point A(0 ;2) appartient à la droite.
Le coefficient directeur est 3. Donc « si on avance de 1 en abscisse, on monte de 3 en ordonnée ».
2) y= -x + 1. L’ordonnée à l’origine est 1. Le point (0 ;1) appartient à la droite.
Le coefficient directeur est -1. Donc si on « avance de 1 en abscisse », on « descend de 1 en ordonnée ».
* Cas y = px + d. A partir de deux valeurs distinctes de x.
On choisit deux valeurs différentes pour x. Pour faciliter les calculs, on prend souvent
x = 0 et x = 1. On obtient donc les coordonnées de 2 points distincts de la droite, il ne reste plus qu’à tracer la droite les reliant.
Exemples :
1) y = 3x + 2.
| Valeurs de x | 0 | 1 |
| y = 3x + 2 |
|
|
Les points A(0 ;2) et B(1 ;5) appartiennent à la droite. On trace donc la droite passant par ces 2 points.
2) y = - x + 1
| Valeurs de x | 0 | 1 |
| y = - x + 1 | - 0 + 1 = 1 | - 1 + 1 = 0 |
Les points A(0 ;1) et B(1 ;0) appartiennent à la droite. On trace donc la droite passant par ces 2 points.
2. Déterminer l'équation d'une droite
à partir d'une représentation graphique
La droite a pour équation y = px + d.
et 
appartiennent à
cette droite.
But : trouver les coefficients p et d.
Détermination du coefficient directeur de la droite :
Détermination de l’ordonnée à l’origine : Il suffit de lire l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées.
Exemples : Déterminer les équations des droites suivantes
1)
L’équation est de la forme y = px +
d.
La droite passe par les points A(2 ;-3) et B(-1 ;3)
L’ordonnée à l’origine est 1. Donc d = 1.
L’équation de la droite est : y = -2x + 1.
2)
L’ordonnée à l’origine est -2. Donc d=-2.
L’équation de la droite est : y = x - 2.
et appartiennent à
cette droite.
But : trouver les coefficients p et d.
Détermination du coefficient directeur de la droite :
Détermination de l’ordonnée à l’origine : Il suffit de lire l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées.
Exemples : Déterminer les équations des droites suivantes
1)
La droite passe par les points A(2 ;-3) et B(-1 ;3)
L’ordonnée à l’origine est 1. Donc d = 1.
L’équation de la droite est : y = -2x + 1.
2)
L’équation est de la forme y = px + d
La droite passe par les points A(3 ;1) et B(-1
;-3)L’ordonnée à l’origine est -2. Donc d=-2.
L’équation de la droite est : y = x - 2.
3. Déterminer l'équation d'une droite
à partir des coordonnées de 2 points distincts
La droite a pour équation y = px + d.
et appartiennent à
cette droite.
But : trouver les coefficients p et d.
Détermination du coefficient directeur de la droite :
Détermination de l’ordonnée à l’origine : Le point A appartient à la droite, ses coordonnées vérifient l’équation y = px + d. D’où l’obtention de d par la résolution d’une équation.
Exemples : Déterminer les équations suivantes
1) Equation de la droite passant par A(2 ;-3) et B(-1 ;3) :
Elle est de la forme y = px + d
Calcul de
A(2 ;-3) appartient à la droite,
donc
L’équation de la droite est : y = -2x + 1
2) Equation de la droite passant par A(3 ;1) et B(-1 ;-3)
Elle est de la forme y= px + d
Calcul de
A(3 ;1) appartient à la droite,
Donc
.
L’équation de la droite est : y = x - 2
et appartiennent à
cette droite.
But : trouver les coefficients p et d.
Détermination du coefficient directeur de la droite :
Détermination de l’ordonnée à l’origine : Le point A appartient à la droite, ses coordonnées vérifient l’équation y = px + d. D’où l’obtention de d par la résolution d’une équation.
Exemples : Déterminer les équations suivantes
1) Equation de la droite passant par A(2 ;-3) et B(-1 ;3) :
Elle est de la forme y = px + d
Calcul de
A(2 ;-3) appartient à la droite,
donc
L’équation de la droite est : y = -2x + 1
2) Equation de la droite passant par A(3 ;1) et B(-1 ;-3)
Elle est de la forme y= px + d
Calcul de
A(3 ;1) appartient à la droite,
Donc
.L’équation de la droite est : y = x - 2
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