Lycée > Seconde > Mathématiques > Equations de droites

Equations de droites

Fiche de cours Vidéos Quiz Profs en ligne Télécharger le pdf

Fiche de cours Vidéos Quiz Profs en ligne Télécharger
le pdf

Objectif

La notion de droite va s'étoffer en passant du cadre géométrique à une caractérisation algébrique : son équation.

Comment définit-on une droite par son équation ? Comment tracer une droite à partir de son équation ? Comment déterminer l'équation d'une droite à partir d'une représentation graphique ? Comment déterminer l'équation d'une droite à partir des coordonnées de 2 points distincts ?

Dans toute cette fiche de cours, le plan est muni d'un repère (O, I, J).

1. Equations de droites

a. Définitions

Une équation de droite est de la forme :
1) x = c où c est un nombre réel, si elle est parallèle à l'axe de ordonnées
2) y = px + d où p et d sont des nombres réels, si elle n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées

Remarque : On rencontrera parfois des équations du type ay + bx + c = 0 avec a ≠ 0. On pourra alors les transformer en une équation du type y = px + d que l’on appelle équation réduite de la droite.

Exemples :
a) y = 3x + 2 est l’équation d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées

b) x = 3 est l’équation d’une droite parallèle à l’axe des ordonnées

c) 2y - 2x + 4 = 0 est aussi une équation de droite, en effet

b. Coefficients

Toute droite du plan non parallèle à l’axe des ordonnées a une unique équation réduite de la forme y = px + d, et est la représentation graphique de la fonction affine f définie par f(x) = px + d.

p est le coefficient directeur de la droite ;
d est l’ordonnée à l’origine de la droite.

Exemples :
a) y= 3x + 2 est la droite de coefficient directeur 3 et d’ordonnée à l’origine 2 ;

b) y = x - 2 est la droite de coefficient directeur 1 et d’ordonnée à l’origine -2.

c. Tracé d'une droite

* Cas où x = c

Il s’agit de la droite parallèle à l’axe des ordonnées passant par le point A(c ;0).

Exemples :

* Cas y = px + d à partir des coefficients

D’après ce qui précède :
* d est l’ordonnée à l’origine de la droite, c’est donc l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées. Le point de coordonées (0 ;d) appartient à cette droite.
* p est le coefficient directeur de la droite, c'est-à-dire qu’il donne l’accroissement de y pour un accroissement de x valant 1.

Remarque : si p > 0, la droite « monte » et si p < 0, la droite « descend ».

Exemples : Tracer les droites suivantes à partir de leurs équations :
1) y = 3x + 2. L’ordonnée à l’origine est 2. Le point A(0 ;2) appartient à la droite.
Le coefficient directeur est 3. Donc « si on avance de 1 en abscisse, on monte de 3 en ordonnée ».

2) y= -x + 1. L’ordonnée à l’origine est 1. Le point (0 ;1) appartient à la droite.
Le coefficient directeur est -1. Donc si on « avance de 1 en abscisse », on « descend de 1 en ordonnée ».

* Cas y = px + d. A partir de deux valeurs distinctes de x.

On choisit deux valeurs différentes pour x. Pour faciliter les calculs, on prend souvent
x = 0 et x = 1. On obtient donc les coordonnées de 2 points distincts de la droite, il ne reste plus qu’à tracer la droite les reliant.

Exemples :

1) y = 3x + 2.

Valeurs de x	0	1
y = 3x + 2

Les points A(0 ;2) et B(1 ;5) appartiennent à la droite. On trace donc la droite passant par ces 2 points.

2) y = - x + 1

Valeurs de x	0	1
y = - x + 1	- 0 + 1 = 1	- 1 + 1 = 0

Les points A(0 ;1) et B(1 ;0) appartiennent à la droite. On trace donc la droite passant par ces 2 points.

2. Déterminer l'équation d'une droite à partir d'une représentation graphique

La droite a pour équation y = px + d.

appartiennent à cette droite.

But : trouver les coefficients p et d.
Détermination du coefficient directeur de la droite :

Détermination de l’ordonnée à l’origine : Il suffit de lire l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées.

Exemples : Déterminer les équations des droites suivantes
1)

L’équation est de la forme y = px + d.
La droite passe par les points A(2 ;-3) et B(-1 ;3)

L’ordonnée à l’origine est 1. Donc d = 1.

L’équation de la droite est : y = -2x + 1.

2)

L’équation est de la forme y = px + d

La droite passe par les points A(3 ;1) et B(-1 ;-3)

L’ordonnée à l’origine est -2. Donc d=-2.
L’équation de la droite est : y = x - 2.

3. Déterminer l'équation d'une droite à partir des coordonnées de 2 points distincts

La droite a pour équation y = px + d.

appartiennent à cette droite.

But : trouver les coefficients p et d.
Détermination du coefficient directeur de la droite :

Détermination de l’ordonnée à l’origine : Le point A appartient à la droite, ses coordonnées vérifient l’équation y = px + d. D’où l’obtention de d par la résolution d’une équation.

Exemples : Déterminer les équations suivantes
1) Equation de la droite passant par A(2 ;-3) et B(-1 ;3) :
Elle est de la forme y = px + d

Calcul de

A(2 ;-3) appartient à la droite,

donc

L’équation de la droite est : y = -2x + 1

2) Equation de la droite passant par A(3 ;1) et B(-1 ;-3)
Elle est de la forme y= px + d

Calcul de