Distance entre deux points et coordonnées du milieu d'un segment
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Objectifs
- Connaitre les caractéristiques vectorielles du milieu d'un segment.
- S’initier à la démonstration en utilisant une caractéristique vectorielle du milieu d’un segment.
- Utiliser les caractéristiques vectorielles pour calculer les coordonnées du milieu d’un segment.
- Calculer la longueur d’un segment connaissant les coordonnées de ses extrémités.
Points clés
- Trois formules à retenir
pour I, milieu
du segment [AB] :
- Une formule à retenir pour la longueur
d’un segment [AB] :
Pour bien comprendre
- Égalité de deux vecteurs
- Opérations sur les vecteurs
- Coordonnées d’un vecteur
- Opérations sur les coordonnées
- Théorème de Pythagore
- Règle vectorielle du parallélogramme
- Relation de Chasles
1. Deux caractérisations vectorielles du milieu
d'un segment
On peut caractériser le milieu d’un segment de deux manières différentes, à partir des vecteurs.
a. Première caractérisation

I est milieu du
segment [AB] si et seulement
si
.

Exemple
Soit ABCD un parallélogramme de centre O, E un point du plan.
1. Construire les points F et G, tels que AEFB et AEDG soient des parallélogrammes.
2. Montrer que le point O est le milieu du segment [FG].
Réponse
1. On construit la figure suivante :
2. Pour montrer que
O est milieu du
segment [FG],
on essaie de montrer que
.
On a :
(relation de Chasles).
Or,
(règle du
parallélogramme AEDG) et
(O est le milieu du
segment [DB]).
Donc
.
Or,
(règle du
parallélogramme AEFB).
Donc


Donc O est le milieu du segment [GF].
Soit ABCD un parallélogramme de centre O, E un point du plan.
1. Construire les points F et G, tels que AEFB et AEDG soient des parallélogrammes.
2. Montrer que le point O est le milieu du segment [FG].
Réponse
1. On construit la figure suivante :


On a :

Or,


Donc

Or,

Donc



Donc O est le milieu du segment [GF].
b. Deuxième caractérisation
I est milieu du
segment [AB] si et seulement
si
.

Preuve
D'où .
Exemple
Soit ABC un triangle, I le milieu du segment [BC] et le point D, tel que
. Montrer que I est le milieu du segment
[AD].
On a :
.
, or
, car I est le milieu du
segment [BC].





Donc I est le milieu du segment [AD].
Soit ABC un triangle, I le milieu du segment [BC] et le point D, tel que

On a :








Donc I est le milieu du segment [AD].
2. Coordonnées du milieu d'un segment
Dans un repère
du plan, soient deux
points
et
.
Les coordonnées du milieu I du segment [AB] sont
.



Les coordonnées du milieu I du segment [AB] sont

Preuve
I est milieu du
segment [AB].
D'où et
.
Remarque
Les coordonnées du milieu d'un segment sont les moyennes des coordonnées des extrémités de ce segment.
Les coordonnées du milieu d'un segment sont les moyennes des coordonnées des extrémités de ce segment.
Exemple
Dans un repère du plan, on considère les points
et
.
Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [AB].
On a :





Le milieu I du segment [AB] a donc pour coordonnées
.
Dans un repère du plan, on considère les points


Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [AB].
On a :






Le milieu I du segment [AB] a donc pour coordonnées

3. Longueur d'un segment
Dans un repère
, soient deux points
et
.
La longueur du segment [AB] est
.



La longueur du segment [AB] est


Preuve
ABC est un triangle
rectangle en C,
donc d’après le théorème de
Pythagore, on a : .
D’où , avec
et
.
Exemple
On considère dans un repère orthonormé les points A(1 ; 3) et B(4 ; –1). Calculer la longueur AB.
On a :


On considère dans un repère orthonormé les points A(1 ; 3) et B(4 ; –1). Calculer la longueur AB.
On a :




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