Distance entre deux points et coordonnées du milieu d'un segment - Maxicours

Distance entre deux points et coordonnées du milieu d'un segment

Objectifs
  • Connaitre les caractéristiques vectorielles du milieu d'un segment.
  • S’initier à la démonstration en utilisant une caractéristique vectorielle du milieu d’un segment.
  • Utiliser les caractéristiques vectorielles pour calculer les coordonnées du milieu d’un segment.
  • Calculer la longueur d’un segment connaissant les coordonnées de ses extrémités.
Points clés
  • Trois formules à retenir pour I, milieu du segment [AB] :


  • Une formule à retenir pour la longueur d’un segment [AB] :
Pour bien comprendre
  • Égalité de deux vecteurs
  • Opérations sur les vecteurs
  • Coordonnées d’un vecteur
  • Opérations sur les coordonnées
  • Théorème de Pythagore
  • Règle vectorielle du parallélogramme
  • Relation de Chasles
1. Deux caractérisations vectorielles du milieu d'un segment

On peut caractériser le milieu d’un segment de deux manières différentes, à partir des vecteurs.

a. Première caractérisation
I est milieu du segment [AB] si et seulement si .
Exemple
Soit ABCD un parallélogramme de centre O, E un point du plan.
1. Construire les points F et G, tels que AEFB et AEDG soient des parallélogrammes.
2. Montrer que le point O est le milieu du segment [FG].

Réponse
1. On construit la figure suivante :
2. Pour montrer que O est milieu du segment [FG], on essaie de montrer que .
On a : (relation de Chasles).
Or, (règle du parallélogramme AEDG) et  (O est le milieu du segment [DB]).
Donc .
Or, (règle du parallélogramme AEFB).
Donc


Donc O est le milieu du segment [GF].
b. Deuxième caractérisation
I est milieu du segment [AB] si et seulement si .
Preuve





D'où .

Exemple
Soit ABC un triangle, I le milieu du segment [BC] et le point D, tel que . Montrer que I est le milieu du segment [AD].

On a : .
, or , car I est le milieu du segment [BC].




Donc I est le milieu du segment [AD].
2. Coordonnées du milieu d'un segment
Dans un repère  du plan, soient deux points et .
Les coordonnées du milieu I du segment [AB] sont .
Preuve

I est milieu du segment [AB].



D'où et .

Remarque
Les coordonnées du milieu d'un segment sont les moyennes des coordonnées des extrémités de ce segment.
Exemple
Dans un repère du plan, on considère les points et .
Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [AB].
On a :





Le milieu I du segment [AB] a donc pour coordonnées .
3. Longueur d'un segment
Dans un repère , soient deux points et .
La longueur du segment [AB] est .
Preuve

ABC est un triangle rectangle en C, donc d’après le théorème de Pythagore, on a : .
D’où , avec et .

Exemple
On considère dans un repère orthonormé les points A(1 ; 3) et B(4 ; –1). Calculer la longueur AB.
On a :


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