Distance entre deux points et coordonnées du milieu d'un segment
- Connaitre les caractéristiques vectorielles du milieu d'un segment.
- S’initier à la démonstration en utilisant une caractéristique vectorielle du milieu d’un segment.
- Utiliser les caractéristiques vectorielles pour calculer les coordonnées du milieu d’un segment.
- Calculer la longueur d’un segment connaissant les coordonnées de ses extrémités.
- Trois formules à retenir
pour I, milieu
du segment [AB] :
- Une formule à retenir pour la longueur
d’un segment [AB] :
- Égalité de deux vecteurs
- Opérations sur les vecteurs
- Coordonnées d’un vecteur
- Opérations sur les coordonnées
- Théorème de Pythagore
- Règle vectorielle du parallélogramme
- Relation de Chasles
On peut caractériser le milieu d’un segment de deux manières différentes, à partir des vecteurs.


Soit ABCD un parallélogramme de centre O, E un point du plan.
1. Construire les points F et G, tels que AEFB et AEDG soient des parallélogrammes.
2. Montrer que le point O est le milieu du segment [FG].
Réponse
1. On construit la figure suivante :


On a :

Or,


Donc

Or,

Donc



Donc O est le milieu du segment [GF].

D'où .
Soit ABC un triangle, I le milieu du segment [BC] et le point D, tel que

On a :








Donc I est le milieu du segment [AD].



Les coordonnées du milieu I du segment [AB] sont

I est milieu du
segment [AB].
D'où et
.
Les coordonnées du milieu d'un segment sont les moyennes des coordonnées des extrémités de ce segment.
Dans un repère du plan, on considère les points


Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [AB].
On a :






Le milieu I du segment [AB] a donc pour coordonnées




La longueur du segment [AB] est


ABC est un triangle
rectangle en C,
donc d’après le théorème de
Pythagore, on a : .
D’où , avec
et
.
On considère dans un repère orthonormé les points A(1 ; 3) et B(4 ; –1). Calculer la longueur AB.
On a :





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