Distance entre deux points et coordonnées du milieu d'un segment
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- Connaitre les caractéristiques vectorielles du milieu d'un segment.
- S’initier à la démonstration en utilisant une caractéristique vectorielle du milieu d’un segment.
- Utiliser les caractéristiques vectorielles pour calculer les coordonnées du milieu d’un segment.
- Calculer la longueur d’un segment connaissant les coordonnées de ses extrémités.
- Trois formules à retenir
pour I, milieu
du segment [AB] :
- Une formule à retenir pour la longueur
d’un segment [AB] :
- Égalité de deux vecteurs
- Opérations sur les vecteurs
- Coordonnées d’un vecteur
- Opérations sur les coordonnées
- Théorème de Pythagore
- Règle vectorielle du parallélogramme
- Relation de Chasles
On peut caractériser le milieu d’un segment de deux manières différentes, à partir des vecteurs.
.
Soit ABCD un parallélogramme de centre O, E un point du plan.
1. Construire les points F et G, tels que AEFB et AEDG soient des parallélogrammes.
2. Montrer que le point O est le milieu du segment [FG].
Réponse
1. On construit la figure suivante :
2. Pour montrer que
O est milieu du
segment [FG],
on essaie de montrer que 
.On a :
(relation de Chasles).Or,
(règle du
parallélogramme AEDG) et 
(O est le milieu du
segment [DB]).Donc
.Or,
(règle du
parallélogramme AEFB).Donc
Donc O est le milieu du segment [GF].
.
D'où 
.
Soit ABC un triangle, I le milieu du segment [BC] et le point D, tel que
. Montrer que I est le milieu du segment
[AD].On a :
.
, or 
, car I est le milieu du
segment [BC].
Donc I est le milieu du segment [AD].
du plan, soient deux
points 
et 
.Les coordonnées du milieu I du segment [AB] sont
.
I est milieu du
segment [AB].
D'où 
et 
.
Les coordonnées du milieu d'un segment sont les moyennes des coordonnées des extrémités de ce segment.
Dans un repère du plan, on considère les points
et 
.Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [AB].
On a :
Le milieu I du segment [AB] a donc pour coordonnées
.
, soient deux points
et .La longueur du segment [AB] est
.
ABC est un triangle
rectangle en C,
donc d’après le théorème de
Pythagore, on a : 
.
D’où 
, avec 
et 
.
On considère dans un repère orthonormé les points A(1 ; 3) et B(4 ; –1). Calculer la longueur AB.
On a :
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