Exploiter la relation y = f(x) d'une fonction
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- Étudier l'appartenance d’un point à la courbe représentative de la fonction .
- Connaitre les coordonnées d’un point de la courbe représentative de .
- Calculer les coordonnées d’un point de la courbe représentative d’une fonction .
- Dire que le point M de coordonnées appartient à la courbe d’une fonction signifie que .
- Pour étudier l’appartenance d’un
point M à une courbe , il faut :
- étape 1 : remplacer par dans l’expression de la fonction ;
- étape 2 : calculer ;
- étape 3 : comparer le résultat obtenu avec : s’il y a égalité, le point M appartient à ; s’il n’y a pas égalité, le point M n’appartient pas à .
- Pour calculer à partir de , remplacer par sa valeur dans l’expression algébrique de la fonction. On obtient .
- Pour calculer à partir de , remplacer par sa valeur dans l’expression algébrique de la fonction. Puis, isoler d’un côté du signe égal. Cela revient à résoudre une équation d’inconnue .
Image, antécédents d’une fonction
Soit une fonction définie sur un intervalle I, ayant pour représentation graphique une courbe .
Pour étudier l’appartenance d’un point M à une courbe , il faut :
- remplacer par dans l’expression de la fonction ;
- calculer ;
- comparer le résultat obtenu avec : s’il y a égalité, le point M appartient à ; s’il n’y a pas égalité, le point M n’appartient pas à .
Soit la fonction définie sur l’intervalle [–4 ; 3] par . On veut vérifier que le point A de coordonnées (2 ; 4) appartient à la courbe représentative de la fonction .
- Le résultat obtenu est bien égal à . Donc le point A appartient à la courbe représentative de la fonction .
Soit la fonction définie sur l’intervalle [–2 ; 7] par .
On veut étudier l’appartenance du point B de coordonnées (3 ; 6) à la courbe représentative de la fonction .
- Le résultat obtenu est différent de . Donc le point B n’appartient pas à la courbe représentative de la fonction .
Un point M de la courbe a pour coordonnées . Dans certains exercices, il est demandé de calculer une coordonnée d’un point M connaissant l’autre coordonnée. On peut connaître et calculer , ou connaitre et calculer .
C’est le calcul le plus simple à faire puisqu’il consiste en un calcul d’image. Il permet notamment de tracer la courbe représentative d’une fonction, à partir des abscisses de plusieurs points.
Pour calculer à partir de , remplacer par sa valeur dans l’expression algébrique de la fonction. On obtient .
Soit la fonction définie sur par .
On veut calculer les images des abscisses –2 et 5.
On remplace par –2 dans l’expression de : . Donc –2 a pour image .
On remplace par 5 dans l’expression de : . Donc 5 a pour image .
Soit la fonction définie sur l’intervalle [–2 ; 4] par .
On veut tracer la courbe représentative de la fonction .
- On choisit plusieurs valeurs
de que l’on indique
dans le tableau de valeurs suivant.
–2 –1 0 1 2 3 4 - Pour compléter la première colonne,
on calcule l’image de –2 par la
fonction :
De la même manière, il faut calculer l’image de –1 par la fonction :
Il ne reste plus qu’à faire de même pour la suite du tableau. Les résultats obtenus sont les suivants :
–2 –1 0 1 2 3 4 11 4 –1 –4 –5 –4 –1
E(2 ; –5), F(3 ; –4) et G(4 ; –1). - On place les points sur le graphique et on obtient alors la représentation graphique de la fonction .
Plus il y a de points déterminés, plus le tracé de la courbe est aisé.
Ce calcul se fait par la résolution d’une équation. En effet, il faut déterminer les valeurs de de l’ensemble de définition qui vérifient la relation .
Pour calculer à partir de , il faut :
- remplacer par sa valeur dans l’expression algébrique de la fonction ;
- isoler d’un côté du signe égal. Cela revient à résoudre une équation d’inconnue .
Soit la fonction affine définie sur par . Le point A( ; 10) appartient à la courbe de la fonction .
On souhaite déterminer l’abscisse du point A.
- Le nombre est tel que , c’est-à-dire que .
- On va donc résoudre cette équation
du premier degré :
Donc le point A a pour coordonnées (–2 ; 10).
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