Exploiter la relation y = f(x) d'une fonction- Seconde- Mathématiques - Maxicours

Exploiter la relation y = f(x) d'une fonction

Objectifs
  • Étudier l'appartenance d’un point à la courbe représentative de la fonction .
  • Connaitre les coordonnées d’un point de la courbe représentative de .
  • Calculer les coordonnées d’un point de la courbe représentative d’une fonction .
Points clés
  • Dire que le point M de coordonnées appartient à la courbe  d’une fonction signifie que .
  • Pour étudier l’appartenance d’un point M à une courbe , il faut :
    • étape 1 : remplacer  par  dans l’expression de la fonction  ;
    • étape 2 : calculer  ;
    • étape 3 : comparer le résultat obtenu avec  : s’il y a égalité, le point M appartient à  ; s’il n’y a pas égalité, le point M n’appartient pas à .
  • Pour calculer à partir de , remplacer  par sa valeur dans l’expression algébrique de la fonction. On obtient .
  • Pour calculer à partir de , remplacer  par sa valeur dans l’expression algébrique de la fonction. Puis, isoler  d’un côté du signe égal. Cela revient à résoudre une équation d’inconnue .
Pour bien comprendre

Image, antécédents d’une fonction

1. Appartenance d'un point à une courbe

Soit une fonction définie sur un intervalle I, ayant pour représentation graphique une courbe .

Dire que le point M de coordonnées  appartient à la courbe  signifie que .
Méthode

Pour étudier l’appartenance d’un point M à une courbe , il faut :

  1. remplacer par  dans l’expression de la fonction  ;
  2. calculer  ;
  3. comparer le résultat obtenu avec  : s’il y a égalité, le point M appartient à  ; s’il n’y a pas égalité, le point M n’appartient pas à .
Exemple 1
Soit la fonction définie sur l’intervalle [–4 ; 3] par . On veut vérifier que le point A de coordonnées (2 ; 4) appartient à la courbe représentative de la fonction .
  1. Le résultat obtenu est bien égal à . Donc le point A appartient à la courbe représentative de la fonction .
Exemple 2
Soit la fonction définie sur l’intervalle [–2 ; 7] par .
On veut étudier l’appartenance du point B de coordonnées (3 ; 6) à la courbe représentative de la fonction .
  1. Le résultat obtenu est différent de . Donc le point B n’appartient pas à la courbe représentative de la fonction .
2. Calcul de coordonnées

Un point M de la courbe a pour coordonnées . Dans certains exercices, il est demandé de calculer une coordonnée d’un point M connaissant l’autre coordonnée. On peut connaître  et calculer , ou connaitre  et calculer .

a. Calcul de y à partir de x

C’est le calcul le plus simple à faire puisqu’il consiste en un calcul d’image. Il permet notamment de tracer la courbe représentative d’une fonction, à partir des abscisses de plusieurs points.

Méthode

Pour calculer  à partir de , remplacer  par sa valeur dans l’expression algébrique de la fonction. On obtient .

Exemple 1
Soit la fonction définie sur  par .
On veut calculer les images des abscisses –2 et 5.
On remplace par –2 dans l’expression de  : . Donc –2 a pour image .
On remplace par 5 dans l’expression de  : . Donc 5 a pour image .
Exemple 2
Soit la fonction définie sur l’intervalle [–2 ; 4] par .
On veut tracer la courbe représentative de la fonction .
  1. On choisit plusieurs valeurs de  que l’on indique dans le tableau de valeurs suivant.
    –2 –1 0 1 2 3 4
                 
  2. Pour compléter la première colonne, on calcule l’image de –2 par la fonction  :

    De la même manière, il faut calculer l’image de –1 par la fonction  :

    Il ne reste plus qu’à faire de même pour la suite du tableau. Les résultats obtenus sont les suivants :
    –2 –1 0 1 2 3 4
    11 4 –1 –4 –5 –4 –1
    Ce tableau indique les coordonnées de plusieurs points de la courbe : A(–2 ; 11), B(–1 ; 4), C(0 ; –1), D(1 ; –4),
    E(2 ; –5), F(3 ; –4) et G(4 ; –1).
  3. On place les points sur le graphique et on obtient alors la représentation graphique de la fonction .

Remarque
Plus il y a de points déterminés, plus le tracé de la courbe est aisé.
b. Calcul de x à partir de y

Ce calcul se fait par la résolution d’une équation. En effet, il faut déterminer les valeurs de  de l’ensemble de définition qui vérifient la relation .

Méthode

Pour calculer  à partir de , il faut : 

  1. remplacer  par sa valeur dans l’expression algébrique de la fonction ;
  2. isoler  d’un côté du signe égal. Cela revient à résoudre une équation d’inconnue .
Exemple
Soit la fonction affine définie sur  par . Le point A( ; 10) appartient à la courbe de la fonction .
On souhaite déterminer l’abscisse  du point A.
  1. Le nombre est tel que , c’est-à-dire que .
  2. On va donc résoudre cette équation du premier degré :
    Donc le point A a pour coordonnées (–2 ; 10).

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