Exploiter la relation y = f(x) d'une fonction- Seconde- Mathématiques
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- Étudier l'appartenance d’un point à
la courbe représentative de la
fonction
.
- Connaitre les coordonnées d’un point de la
courbe représentative de .
- Calculer les coordonnées d’un point de la
courbe représentative d’une
fonction .
- Dire que le point M de coordonnées
appartient à la
courbe 
d’une fonction 
signifie que 
.
- Pour étudier l’appartenance d’un
point M à une courbe
, il faut :
- étape 1 : remplacer
par 
dans l’expression de
la fonction 
;
- étape 2 : calculer
;
- étape 3 : comparer le résultat obtenu
avec
: s’il y a
égalité, le point M appartient
à 
; s’il
n’y a pas égalité, le
point M n’appartient pas
à 
.
- étape 1 : remplacer
- Pour calculer
à partir
de 
, remplacer 
par sa valeur dans
l’expression algébrique de la fonction. On
obtient 
.
- Pour calculer
à partir
de 
, remplacer 
par sa valeur dans
l’expression algébrique de la fonction.
Puis, isoler 
d’un côté
du signe égal. Cela revient à
résoudre une équation
d’inconnue 
.
Image, antécédents d’une fonction
Soit 
une fonction définie sur un
intervalle I, ayant pour représentation
graphique une courbe 
.
appartient à la
courbe 
signifie que 
.
Pour étudier l’appartenance d’un
point M à une courbe 
, il faut :
- remplacer
par 
dans l’expression de la
fonction 
;
- calculer
;
- comparer le résultat obtenu
avec
: s’il y a
égalité, le point M appartient
à 
; s’il n’y a pas
égalité, le point M n’appartient
pas à 
.
Soit
la fonction définie sur
l’intervalle [–4 ; 3]
par 
.
On veut vérifier que le point A de
coordonnées (2 ; 4) appartient à
la courbe représentative de la
fonction 
.
-
-
- Le résultat obtenu est bien égal
à
. Donc le point A
appartient à la courbe représentative
de la fonction 
.
Soit
la fonction définie sur
l’intervalle [–2 ; 7]
par 
.On veut étudier l’appartenance du point B de coordonnées (3 ; 6) à la courbe représentative de la fonction
.
-
-
- Le résultat obtenu est différent
de
. Donc le point B
n’appartient pas à la courbe
représentative de la fonction 
.
Un point M de la courbe a pour coordonnées
. Dans certains exercices, il est
demandé de calculer une coordonnée
d’un point M connaissant l’autre
coordonnée. On peut
connaître 
et calculer 
, ou connaitre 
et calculer 
.
C’est le calcul le plus simple à faire puisqu’il consiste en un calcul d’image. Il permet notamment de tracer la courbe représentative d’une fonction, à partir des abscisses de plusieurs points.
Pour calculer 
à partir
de 
, remplacer 
par sa valeur dans
l’expression algébrique de la fonction. On
obtient 
.
Soit
la fonction définie
sur 
par 
.On veut calculer les images des abscisses –2 et 5.
On remplace
par –2 dans
l’expression de 
: 
. Donc –2 a pour image 
.On remplace
par 5 dans
l’expression de 
: 
. Donc 5 a pour image 
.
Soit
la fonction définie sur
l’intervalle [–2 ; 4]
par 
.On veut tracer la courbe représentative de la fonction
.
- On choisit plusieurs valeurs
de
que l’on indique
dans le tableau de valeurs suivant.
–2 –1 0 1 2 3 4 
- Pour compléter la première colonne,
on calcule l’image de –2 par la
fonction
:
De la même manière, il faut calculer l’image de –1 par la fonction
:
Il ne reste plus qu’à faire de même pour la suite du tableau. Les résultats obtenus sont les suivants :
Ce tableau indique les coordonnées de plusieurs points de la courbe : A(–2 ; 11), B(–1 ; 4), C(0 ; –1), D(1 ; –4),
–2 –1 0 1 2 3 4
11 4 –1 –4 –5 –4 –1
E(2 ; –5), F(3 ; –4) et G(4 ; –1). - On place les points sur le graphique et on
obtient alors la représentation graphique de
la fonction
.
Plus il y a de points déterminés, plus le tracé de la courbe est aisé.
Ce calcul se fait par la résolution d’une
équation. En effet, il faut déterminer
les valeurs de 
de l’ensemble de
définition qui vérifient la
relation 
.
Pour calculer 
à partir
de 
, il faut :
- remplacer par sa valeur dans
l’expression algébrique de la fonction ;
- isoler d’un
côté du signe égal. Cela revient
à résoudre une équation
d’inconnue
.
Soit
la fonction affine
définie sur 
par 
. Le point A(
; 10) appartient
à la courbe de la fonction 
.On souhaite déterminer l’abscisse
du point A.
- Le nombre
est tel
que 
, c’est-à-dire
que 
.
- On va donc résoudre cette équation
du premier degré :
Donc le point A a pour coordonnées (–2 ; 10).
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