La fonction inverse
- Connaitre la définition et la courbe représentative de la fonction inverse.
- Connaitre la parité de la fonction inverse.
- Connaitre le sens de variation de la fonction inverse.
- Pour deux nombres
et
donnés et la fonction inverse
, comparer
et
graphiquement.
- On appelle fonction inverse la fonction
qui, à tout nombre réel
non nul, associe son inverse
. Pour tout
, on note
.
- La fonction inverse est définie sur la
réunion d’intervalles
.
- La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole.
- La fonction inverse est strictement décroissante
sur l'intervalle
et strictement décroissante sur l'intervalle
.
- La fonction inverse est impaire, donc sa courbe représentative est symétrique par rapport au point O, origine du repère.
- Comme la fonction inverse est strictement
décroissante sur l'intervalle
et sur l'intervalle
:
- si
et
sont deux réels strictement négatifs, alors
équivaut à
(l’inégalité change de sens) ;
- si
et
sont deux réels strictement positifs, alors
équivaut à
(l’inégalité change de sens).
- si
- Fonction
- Parité d'une fonction
- Représentation graphique et tableau de variation



Pour tout


La fonction inverse est définie sur la réunion d’intervalles





Lorsque l’ensemble de définition
d’une fonction
est symétrique par
rapport à 0 et que pour tout
,
, on dit que la fonction est
impaire.



Pour tracer la courbe représentative de la fonction inverse, on utilise son tableau de variation et on détermine les coordonnées de quelques points de la courbe. On peut rassembler les résultats dans un tableau.
![]() |
–2 | –1 | –0,5 | 0,5 | 1 | 2 | 4 |
![]() |
–0,5 | –1 | –2 | 2 | 1 | 0,5 | 0,25 |
On obtient ainsi la représentation graphique suivante :
L'hyperbole passe en particulier par les points :
-
,
,
;
-
,
et
.
- La courbe représentative de la fonction inverse dans un repère (O, I, J) s’appelle une hyperbole.
- Comme la fonction inverse est impaire, sa courbe
représentative est symétrique par
rapport à l'origine O du repère. Pour
tout
, les points
et
appartenant à l'hyperbole sont donc symétriques par rapport au centre de symétrie O. L'origine du repère O est le milieu de [MM'].
On considère la fonction inverse et sa courbe représentative.
Soit ,
,
et
quatre points de la courbe tels
que :
-
et
négatifs et
;
-
et
positifs et
.
L’objectif est de comparer et
d’une part ;
et
d’autre part.
Comme la fonction inverse est strictement
décroissante sur l'intervalle et sur
l'intervalle
:
- si
et
sont deux réels strictement négatifs, alors
équivaut à
(l’inégalité change de sens) ;
- si
et
sont deux réels strictement positifs, alors
équivaut à
(l’inégalité change de sens).
Comparer


2 et 3 sont deux réels positifs. On commence par comparer 2 et 3, puis on applique la fonction inverse :


À quel intervalle appartient






Donc

donc

Donner un encadrement de



Ici, l’intervalle contient une partie négative


- Sur
, la fonction inverse est strictement décroissante donc l’inégalité change de sens :
donc
.
- Sur
, la fonction inverse est strictement décroissante donc l’inégalité change de sens :
donc
.



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