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La fonction inverse

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Objectif

Connaitre la définition et la courbe représentative de la fonction inverse.
Connaitre la parité de la fonction inverse.
Connaitre le sens de variation de la fonction inverse.
Pour deux nombres et donnés et la fonction inverse , comparer et graphiquement.

Points clés

On appelle fonction inverse la fonction qui, à tout nombre réel non nul, associe son inverse . Pour tout , on note .
La fonction inverse est définie sur la réunion d’intervalles .
La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole.
La fonction inverse est strictement décroissante sur l'intervalle et strictement décroissante sur l'intervalle .
La fonction inverse est impaire, donc sa courbe représentative est symétrique par rapport au point O, origine du repère.
Comme la fonction inverse est strictement décroissante sur l'intervalle et sur l'intervalle :
- si et sont deux réels strictement négatifs, alors équivaut à (l’inégalité change de sens) ;
- si et sont deux réels strictement positifs, alors équivaut à (l’inégalité change de sens).

Pour bien comprendre

Fonction
Parité d'une fonction
Représentation graphique et tableau de variation

1. Définition

On appelle fonction inverse la fonction

qui, à tout nombre réel

non nul, associe son inverse

.
Pour tout

, on note

.
La fonction inverse est définie sur la réunion d’intervalles

2. Sens de variation et représentation graphique

a. Sens de variation

La fonction inverse est strictement décroissante sur l'intervalle

et strictement décroissante sur l'intervalle

Attention : on ne peut pas dire que la fonction inverse décroissante sur

car

n'est pas un intervalle continu.

b. Parité de la fonction inverse

Lorsque l’ensemble de définition d’une fonction est symétrique par rapport à 0 et que pour tout , , on dit que la fonction est impaire.

Pour tout

d'où

. La fonction inverse est donc impaire.

c. Courbe représentative

Pour tracer la courbe représentative de la fonction inverse, on utilise son tableau de variation et on détermine les coordonnées de quelques points de la courbe. On peut rassembler les résultats dans un tableau.

	–2	–1	–0,5	0,5	1	2	4
	–0,5	–1	–2	2	1	0,5	0,25

On obtient ainsi la représentation graphique suivante :

Remarque
L'hyperbole passe en particulier par les points :

, , ;
, et .

Les points A et A' sont symétriques par rapport au centre de symétrie O. Il en est de même des points B et B', et C et C'. O est le milieu des segments [AA'], [BB'] et [CC'].

La courbe représentative de la fonction inverse dans un repère (O, I, J) s’appelle une hyperbole.
Comme la fonction inverse est impaire, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine O du repère. Pour tout , les points et appartenant à l'hyperbole sont donc symétriques par rapport au centre de symétrie O. L'origine du repère O est le milieu de [MM'].

d. Comparaison graphique de deux images

On considère la fonction inverse et sa courbe représentative.

Soit , , et quatre points de la courbe tels que :

et négatifs et ;
et positifs et .

L’objectif est de comparer et d’une part ; et d’autre part.

Comme la fonction inverse est strictement décroissante sur l'intervalle et sur l'intervalle :

si et sont deux réels strictement négatifs, alors équivaut à (l’inégalité change de sens) ;
si et sont deux réels strictement positifs, alors équivaut à (l’inégalité change de sens).

Exemple 1
Comparer

.
2 et 3 sont deux réels positifs. On commence par comparer 2 et 3, puis on applique la fonction inverse :

. L’inégalité change de sens car la fonction inverse est strictement décroissante sur

Exemple 2
À quel intervalle appartient

lorsque appartient à

appartient à

; or la fonction inverse est strictement décroissante sur l’intervalle

.
Donc

,
donc

Exemple 3
Donner un encadrement de

sachant que

appartient à

.
Ici, l’intervalle contient une partie négative

et une partie positive

. Il faut étudier les deux parties séparément.

Sur , la fonction inverse est strictement décroissante donc l’inégalité change de sens :
donc .
Sur , la fonction inverse est strictement décroissante donc l’inégalité change de sens :
donc .