Variation absolue et taux d'évolution - Maxicours

Variation absolue et taux d'évolution

Objectifs
  • Calculer et interpréter une variation absolue.
  • Calculer et interpréter un taux d’évolution (une variation relative).
  • Exploiter un taux d’évolution.
Points clés
  • La variation absolue de deux valeurs est obtenue en faisant la différence de ces deux valeurs :
    variation absolue = valeur finale – valeur initiale.
  • La variation absolue renseigne sur l’évolution d’une quantité.
    Cependant, pour mesurer l’importance de cette évolution, il faut la comparer à sa valeur de départ. On parle alors de taux d’évolution (ou de variation relative).
  • Le taux d’évolution n’est pas exprimé dans une unité. Souvent, il est donné en pourcentage.
    Dans ce cas : ,
    Te étant le taux d’évolution en pourcentage.
  • Le cœfficient multiplicateur CM est le nombre par lequel il faut multiplier la valeur initiale pour obtenir la valeur finale
  • On a la relation : .
  • Le cœfficient multiplicateur CM et le taux d’évolution sont reliés par une formule : ,
    étant le taux d’évolution en pourcentage. Il est positif s’il représente une augmentation, négatif s’il représente une diminution.
  • En pratique : on parle beaucoup du taux d’évolution dans le langage courant, mais le coefficient multiplicateur est nécessaire pour les calculs. On commence par calculer le coefficient multiplicateur à l’aide du taux d’évolution ; puis, suivant la question, on calcule la valeur initiale ou la valeur finale.
Pour bien comprendre
  • Produit en croix
  • Calcul de pourcentage
1. Variation absolue entre deux valeurs successives
a. Définition
La variation absolue de deux valeurs est obtenue en faisant la différence de ces deux valeurs. On a la relation suivante :
Variation absolue = valeur finale – valeur initiale.
Remarque
La variation absolue est exprimée dans la même unité que la valeur finale et la valeur initiale.
Exemple
Dans un lycée, à la rentrée 2018, il y avait 563 élèves en seconde.
À la rentrée 2019, dans le même lycée, il y avait 583 élèves en seconde.
La variation absolue est de : 583 – 563 = 20 élèves.
b. Interprétation

Trois cas peuvent se présenter :

  • si la variation absolue est positive, on a une augmentation ;
  • si la variation absolue est négative, on a une diminution ;
  • si la variation absolue est nulle, il n’y a ni augmentation, ni diminution.
Démonstration

Repartons de la définition de la variation absolue :
Variation absolue = valeur finale – valeur initiale.

  • Si variation absolue > 0,
    alors valeur finale – valeur initiale > 0
    donc valeur finale > valeur initiale, il s’agit bien d’une augmentation.
  • Si variation absolue < 0,
    alors valeur finale – valeur initiale < 0
    donc valeur finale < valeur initiale, il s’agit bien d’une diminution.
  • Si variation absolue = 0, alors valeur finale – valeur initiale = 0
    donc valeur finale = valeur initiale, il n’y a ni augmentation ni diminution.
Exemple
On considère la variation absolue de 20 élèves calculée dans l’exemple précédent.
Elle est positive. Donc, dans ce lycée, il y a eu une augmentation de 20 élèves entre la rentrée 2018 et la rentrée 2019.
2. Taux d'évolution entre deux valeurs successives
a. Définition

La variation absolue renseigne sur l’évolution d’une quantité.
Cependant, pour mesurer l’importance de cette évolution, il faut la comparer à sa valeur de départ. On parle alors de taux d’évolution (ou de variation relative).

Le taux d’évolution s’obtient en faisant le rapport entre la variation absolue et la valeur initiale. On a la formule suivante :
taux d'évolution = .
Remarque
Le taux d’évolution n’est pas exprimé dans une unité. Souvent, il est donné en pourcentage.
Dans ce cas : ,
Te étant le taux d’évolution en pourcentage.
Exemple
Un objet coutait 2,13 € en 2018. Le même objet est vendu 2,33 € en 2019.
On a donc un taux d’évolution en pourcentage  (arrondi au dixième). Le prix de l'objet a donc augmenté de 9,4 % entre 2018 et 2019.
b. Interprétation

Comme pour la variation absolue, trois cas peuvent se présenter :

  • si le taux d’évolution est positif, on a une augmentation ;
  • si le taux d’évolution est négatif, on a une diminution ;
  • si le taux d’évolution est nul, il n’y a ni augmentation, ni diminution.
Démonstration

Repartons de la définition du taux d’évolution et transformons l’expression :
taux d'évolution =
 

  • Si taux d'évolution > 0, alors
    donc et (en supposant que la valeur initiale est positive). Il s’agit donc bien d’une augmentation.
  • Si taux d'évolution < 0, alors
    donc et (en supposant que la valeur initiale est positive). Il s’agit donc bien d’une diminution.
  • Si taux d'évolution = 0, alors
    donc et . Il n’y a donc ni augmentation ni diminution.
Exemple
On reprend l’exemple précédent. Le taux d’évolution de 9,4 % est positif, ce qui signifie que le prix de l’objet a augmenté de 9,4 % entre 2018 et 2019.
c. Relation entre le coefficient multiplicateur et le taux d'évolution
Le cœfficient multiplicateur CM est le nombre par lequel il faut multiplier la valeur initiale pour obtenir la valeur finale .
On a la relation : .
Le cœfficient multiplicateur CM et le taux d’évolution sont reliés par une formule :
est le taux d’évolution exprimé en pourcentage. Il est positif s’il représente une augmentation, négatif s’il représente une diminution.

En pratique : on parle beaucoup du taux d’évolution dans le langage courant, mais le coefficient multiplicateur est nécessaire pour les calculs. On commence par calculer le coefficient multiplicateur à l’aide du taux d’évolution ; puis, suivant la question, on calcule la valeur initiale ou la valeur finale.

Exemple
Un objet coute 145 €. Son prix diminue de 10 %. Quel est son nouveau prix ?
Attention, le nouveau prix n’est pas égal à !
On cherche à calculer la valeur finale d’un objet à partir de sa valeur initiale et du taux d’évolution.
On utilise la formule : .

.
Son nouveau prix est donc de 130,5 €.

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