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Les propriétés de la moyenne d'une série statistique

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Objectifs

Calculer la moyenne de la somme de deux séries.
Calculer la moyenne d'une série où toutes les valeurs sont multipliées par un nombre.
Calculer la moyenne de la combinaison linéaire de deux séries.

Points clés

La moyenne est un indicateur d’une série statistique.
Si on note , la moyenne d’une série statistique dont l’effectif total est noté et , la moyenne d’une série statistique dont l’effectif est noté , alors la moyenne de la somme de ces deux séries statistiques s’obtient par le calcul : .
Si on note la moyenne d’une série statistique et si on multiplie toutes les valeurs de la série par un même nombre , alors la moyenne de cette série est égale à .
Si la série a pour moyenne et pour effectif et la série a pour moyenne et pour effectif , alors la moyenne de la série statistique s’obtient par le calcul :
.

Pour bien comprendre

Indicateurs d’une série statistique

1. Moyenne de la somme de deux séries statistiques

a. Somme de deux séries statistiques

Si deux séries statistiques ont le même caractère, on peut définir la somme de ces deux séries statistiques en rassemblant leurs valeurs.

Exemple
Une classe est constituée de deux groupes : un groupe de 10 élèves et un autre de 20 élèves.
Le groupe de 10 élèves a obtenu les notes suivantes à un contrôle.

Notes	8	10	11	12
Effectif	2	3	3	3

Le groupe de 20 élèves a obtenu les notes suivantes au même contrôle.

Notes	6	10	12	13
Effectif	7	2	6	5

On peut ainsi construire la somme de ces deux séries statistiques en rassemblant les deux tableaux précédents. Cette nouvelle série représente les notes obtenues au contrôle par l’ensemble des deux groupes, c’est-à-dire la classe entière.

Notes	6	8	10	11	12	13
Effectif	7	2	5	2	9	5

On a alors la propriété suivante de la moyenne.

b. Moyenne d'une somme

Propriété
Si on note

la moyenne d’une série statistique, dont l’effectif total est noté

, et

la moyenne d’une série statistique, dont l’effectif est noté

, alors la moyenne de la somme de ces deux séries statistiques s’obtient par le calcul :

Exemple
En reprenant la situation précédente :

la moyenne du premier groupe de 10 élèves à ce contrôle est de ;
la moyenne du second groupe de 20 élèves au même contrôle est de
.

Ainsi, la moyenne de la classe entière à ce contrôle est donnée par le calcul suivant :
Moyenne de la classe .

Remarque
En calculant la moyenne à l’aide du tableau obtenu en rassemblant les deux groupes, on obtient évidemment la même valeur :

2. Moyenne d'une série où toutes les valeurs sont multipliées par un nombre

Propriété
Si on note

la moyenne d’une série statistique, et si on multiplie toutes les valeurs de la série par un même nombre

, alors la moyenne de cette série est égale à

Exemple
Un commerçant liste les prix des articles vendus dans un rayon de son magasin :

Prix (euros)	2	7	10	12
Effectif	5	9	5	1

Le prix moyen des articles de ce rayon est donc
.

Pour augmenter ses bénéfices, il décide d’augmenter le prix de tous les articles du rayon par 1,5.
Ainsi la nouvelle moyenne des prix est donnée par le calcul : .
Le prix moyen des articles de ce rayon après augmentation est donc de €.

3. Moyenne de la combinaison linéaire de deux séries statistiques

On peut généraliser les deux paragraphes précédents de la manière suivante :

Propriété
On considère deux séries statistiques

, avec

deux nombres réels.
Si la série

a pour moyenne

et pour effectif

et la série

a pour moyenne

et pour effectif

, alors la moyenne de la série statistique

s’obtient par le calcul :

Exemple
Une classe est divisée en deux groupes : un groupe de 15 élèves et un groupe de 20 élèves.
Au même contrôle, le groupe de 15 élèves a une moyenne de

et le groupe de 20 élèves une moyenne de

.
Le professeur souhaite relever les notes et calculer la nouvelle moyenne de la classe. Il décide de multiplier les notes du premier groupe par 1,5 et les notes du deuxième groupe par 1,8.
Il obtient la nouvelle moyenne de la classe par le calcul suivant :