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Les calculs de probabilités dans un arbre et dans un tableau

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ObjectifS

Représenter une expérience aléatoire par un arbre des possibles.
Représenter une expérience aléatoire par un tableau.
Exploiter un arbre ou un tableau pour calculer des probabilités.

Points clés

Un arbre des possibles permet de représenter toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire. Il est particulièrement utile lorsque l’expérience est composée de plusieurs épreuves successives.
Pour calculer des probabilités à partir d’un arbre des possibles, on peut pondérer chacun de ses segments par la probabilité associée. On parle alors d’arbre pondéré.
Dans un arbre pondéré, la probabilité d’une issue est égale au produit des probabilités rencontrées le long du chemin correspondant.
Un tableau à double entrée permet de représenter toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire à deux épreuves successives. On ne peut l’utiliser que lorsqu’il y a équiprobabilité, c’est-à-dire que toutes les issues possibles d’une expérience ont la même probabilité.

Pour bien comprendre

Vocabulaire des probabilités

1. L'arbre des possibles

a. Représentation d'une expérience aléatoire

Un arbre des possibles permet de représenter toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire. Il est particulièrement utile lorsque l’expérience est composée de plusieurs épreuves successives.

Exemple
Une urne contient une boule rouge, une boule noire et une boule verte. Un sac contient une boule blanche et une boule jaune.
L’expérience consiste à tirer au hasard une boule de l’urne (1^re épreuve) puis à tirer une boule du sac (2^e épreuve). Indiquer à l’aide d’un arbre des possibles tous les issues réalisables dans cette expérience aléatoire.
Par la suite, on désignera par R la boule rouge, par N la boule noire, par V la boule verte, par B la boule blanche et par J la boule jaune. On obtient l’arbre suivant :

Chaque chemin de l’arbre (constituée de deux segments ici, de la gauche vers la droite) correspond à l’une des issues de l’expérience aléatoire. Par exemple, en tirant une boule rouge de l’urne (1^re épreuve) puis une boule blanche du sac (2^e épreuve), on obtient l’issue « une boule rouge puis une boule blanche » (notée ici « R puis B »).
On observe qu’il y a en tout 6 issues possibles à cette expérience.

Méthode pour une expérience à deux épreuves

Pour construire l’arbre des possibles d’une expérience aléatoire à deux épreuves, il faut suivre quelques règles pour que l’arbre soit bien lisible :

partir d’un point situé à gauche de la feuille ;
à droite de ce point, placer verticalement les issues de la 1^re épreuve les unes en dessous des autres ;
relier le point de départ aux différentes issues de la 1^re épreuve par des segments ;
à droite de la 1^re épreuve, placer les issues de la 2^e épreuve, les unes en dessous des autres ;
relier ces issues à celles de la 1^re épreuve par des segments.

Conseil
Il faut réfléchir à la place nécessaire pour construire l’arbre avant de le commencer !

Remarque
Si l’expérience aléatoire est constituée de plus de deux épreuves, il faut répéter les étapes 4 et 5 de la méthode autant de fois qu’il y a d’épreuves.

b. Calcul de probabilités

Pour calculer des probabilités à partir d’un arbre des possibles, on peut pondérer chacun de ses segments par la probabilité associée. On parle alors d’arbre pondéré.

Propriété
Dans un arbre pondéré, la probabilité d’une issue est égale au produit des probabilités rencontrées le long du chemin correspondant.

Exemple
Une expérience consiste à :

tourner d’abord la roue 1 non truquée : on obtient alors la couleur rouge ou la couleur bleue ;
tourner ensuite la roue 2 non truquée : on obtient alors la couleur grise, la couleur jaune ou la couleur verte.

Déterminer la probabilité de chacune des issues possibles de cette expérience.
Pour cela, on peut construire l’arbre des possibles et le compléter avec les probabilités associées.

Sur la première roue, il y a deux issues possibles : « rouge » ou « bleu ». La probabilité de tomber sur la zone rouge vaut et la probabilité de tomber sur la zone bleue vaut .
Sur la deuxième roue, il y a trois issues possibles : « jaune », « gris » ou « vert ». La probabilité de tomber sur la zone jaune vaut ; celle de tomber sur la zone grise vaut ; celle de tomber sur la zone verte vaut .

Ainsi, on obtient l’arbre pondéré ci-dessous :

À partir de l’arbre, on calcule par exemple la probabilité d’obtenir (« R puis G ») : .

2. Le tableau

a. Représentation d'une expérience aléatoire

Un tableau à double entrée permet de représenter toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire à deux épreuves successives. On ne peut l’utiliser que lorsqu’il y a équiprobabilité, c’est-à-dire que toutes les issues possibles d’une expérience ont la même probabilité.

Exemple
On lance deux dés équilibrés et on relève les résultats. Le tableau suivant permet de représenter les issues de cette expérience aléatoire.

Dé1/dé2	1	2	3	4	5	6
1	(1 ; 1)	(1 ; 2)	(1 ; 3)	(1 ; 4)	(1 ; 5)	(1 ; 6)
2	(2 ; 1)	(2 ; 2)	(2 ; 3)	(2 ; 4)	(2 ; 5)	(2 ; 6)
3	(3 ; 1)	(3 ; 2)	(3 ; 3)	(3 ; 4)	(3 ; 5)	(3 ; 6)
4	(4 ; 1)	(4 ; 2)	(4 ; 3)	(4 ; 4)	(4 ; 5)	(4 ; 6)
5	(5 ; 1)	(5 ; 2)	(5 ; 3)	(5 ; 4)	(5 ; 5)	(5 ; 6)
6	(6 ; 1)	(6 ; 2)	(6 ; 3)	(6 ; 4)	(6 ; 5)	(6 ; 6)

On constate que cette expériences aléatoire comporte 36 issues.
Chaque case blanche du tableau représente une de ces issues.

b. Calcul de probabilités

Exemple
Reprenons l’exemple précédent du lancer de deux dés équilibrés.
On a déjà constaté que cette expérience comportait 36 issues.
Comme les dés sont équilibrés, on est en situation d’équiprobabilité et la probabilité d’une issue vaut

.
Pour connaitre la probabilité de l’évènement « une des deux faces obtenues porte le nombre 1 », on compte le nombre d’issues qui contiennent 1. Il y en a 11, la probabilité cherchée vaut donc