Les indicateurs d'une série statistique - Maxicours

Les indicateurs d'une série statistique

Objectifs
  • Calculer une moyenne pondérée.
  • Déterminer une médiane.
  • Déterminer les quartiles et l’écart interquartile d’une série statistique.
  • Déterminer une étendue.
  • Déterminer un écart-type.
Points clés
  • La moyenne pondérée d’une série statistique s’obtient en faisant le calcul suivant : .
  • La médiane d’une série statistique est le nombre qui partage cette série en deux groupes de même effectif :
    • le groupe constitué des valeurs inférieures ou égales à la médiane ;
    • le groupe constitué des valeurs supérieures ou égales à la médiane.
  • Les valeurs d’une série statistique étant rangées par ordre croissant :
    • le premier quartile, généralement noté Q1, est la plus petite valeur de la série pour laquelle au moins un quart des valeurs lui sont inférieures ou égales ;
    • le troisième quartile, généralement noté Q3, est la plus petite valeur de la série pour laquelle au moins trois-quarts des valeurs lui sont inférieures ou égales.
  • L’étendue d’une série statistique est l’écart entre la plus grande et la plus petite valeur du caractère.
  • L’écart interquartile est égal à Q3Q1.
    Cet indicateur permet de mesurer la dispersion des valeurs de la série statistique autour de sa moyenne. Plus il est grand, plus les valeurs sont dispersées.
  • Si on connait la moyenne d’une série statistique, on peut calculer sa variance  par la formule :

    L’écart-type noté  vaut 
    Il permet de mesurer la dispersion des valeurs de la série statistique autour de sa moyenne. Plus il est grand, plus les valeurs sont dispersées.
  • Contrairement à la médiane et à l’écart interquartile, la moyenne et l’écart-type sont très sensibles aux valeurs extrêmes d’une série statistique.
    Ainsi, lorsque l’on doit comparer deux séries, on commence souvent par observer l’effectif des valeurs extrêmes.
    • Si les valeurs extrêmes ont un effectif important, il est préférable de comparer les séries à l’aide de la médiane et de l’écart interquartile.
    • Sinon, on utilisera plutôt la moyenne et l’écart-type.
1. Les indicateurs de tendance centrale
a. Moyenne et moyenne pondérée
Rappel
On parle de moyenne lorsque la série statistique est donnée sous la forme d’une suite de nombres. La moyenne d’une série statistique est égale au quotient de la somme de toutes les valeurs de cette série par l’effectif total. Elle est souvent notée .
Exemple
À un contrôle de mathématiques, les 10 notes suivantes ont été obtenues :
{ 9 ; 12 ; 8 ; 7 ; 17 ; 12 ; 5 ; 10 ; 20 ; 15 }.

À ce contrôle, la moyenne de la classe est donc de 11,5.

On parle de moyenne pondérée lorsque la série statistique est donnée sous forme d’un tableau des effectifs.

Valeur v1 v2 ... vp
Effectif n1 n2 ... np
La moyenne pondérée d’une série statistique s’obtient en faisant le calcul suivant : .
Exemple
Le tableau suivant donne le relevé des âges des élèves d’un groupe :
Âge en années 14 15 16 17
Effectif 1 12 15 2

.
L’âge moyen des élèves de ce groupe est de 15,6 ans.

b. La médiane
La médiane d’une série statistique est le nombre qui partage cette série en deux groupes de même effectif :
  • le groupe constitué des valeurs inférieures ou égales à la médiane ;
  • le groupe constitué des valeurs supérieures ou égales à la médiane.
Méthode

Pour déterminer la médiane d’une série statistique, il faut commencer par classer les  /> valeurs de la série dans l’ordre croissant. Deux cas sont alors possibles :</p> <ul> <li>si <img class= valeurs de la série dans l'ordre croissant. Deux cas sont alors possibles :

  • si  est impair, on prend pour médiane la  ème valeur ;
  • si  est pair, on prend pour médiane la moyenne entre la  ème et la  ème valeur ;
Exemple 1
Les 9 notes obtenues à un contrôle sont les suivantes :
{ 10 ; 4 ; 7 ; 12 ; 5 ; 7 ; 8 ; 14 ; 15 }.
On commence par classer ces notes dans l’ordre croissant, ce qui donne :
{ 4 ; 5 ; 7 ; 7 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 15 }.
Le nombre de notes, 9, étant impair, on prend pour médiane la note qui est en 9 + 12 = 5e position. C'est-à-dire 8.
Exemple 2
Dans un groupe de 8 personnes, on relève par ordre croissant la taille de chaque personne. On obtient les valeurs suivantes en cm :
{ 160 ; 165 ; 167 ; 170 ; 176 ; 180 ; 182 ; 185 }.
Le nombre de personnes, 8, étant pair, on prend pour médiane la moyenne entre la 4e note (c'est-à-dire 170) et la 5e note (c'est-à-dire 176). La médiane vaut donc 173.
c. Les quartiles
Les valeurs d’une série statistique étant rangées par ordre croissant :
  • le premier quartile, généralement noté Q1, est la plus petite valeur de la série pour laquelle au moins un quart des valeurs lui sont inférieures ou égales ;
  • le troisième quartile, généralement noté Q3, est la plus petite valeur de la série pour laquelle au moins trois-quarts des valeurs lui sont inférieures ou égales.
Méthode pour déterminer Q1

Comme Q1 est la plus petite valeur de la série pour laquelle au moins un quart des valeurs lui sont inférieures ou égales, on prend le premier entier qui est supérieur ou égal à  de l'effectif.

Méthode pour déterminer Q3

Comme Q3 est la plus petite valeur de la série pour laquelle au moins trois-quarts des valeurs lui sont inférieures ou égales, on prend le premier entier qui est supérieur ou égal à  de l’effectif.

Exemple
En cours d’EPS, on a relevé les lancers de javelot d’une classe de 30 élèves. Le tableau suivant rassemble les résultats de la classe. Déterminer Q1 et Q3.
Longueur en m 38 39 40 41 43 45
Effectif 4 7 10 5 2 2

L’effectif total de cette série vaut 4 + 7 + 10 + 5 + 2 + 2 = 30.

  • Au moins un quart des valeurs de la série doivent être inférieures ou égales à Q1. On calcule donc . Q1 correspond à la 8e valeur de la série classée dans l’ordre croissant, soit Q1 = 39 m.
  • Au moins trois-quarts des valeurs de la série doivent être inférieures ou égales à Q3. On calcule donc . Q3 correspond à la 23e valeur de la série classée dans l’ordre croissant, soit Q3= 41 m.
2. Les indicateurs de dispersion
a. L'étendue
L’étendue d’une série statistique est l’écart entre la plus grande et la plus petite valeur du caractère.
Exemple
Le tableau suivant donne la répartition des places dans un stade selon leur tarif.
Tarif en euros 15 20 30 40 100
Quantité en milliers 5 6 10 11 1

Ici la plus petite valeur est 15, et la plus grande 100. 100 – 15 = 85. L’étendue de cette série statistique est de 85 €.

b. L'écart interquartile
L’écart interquartile est égal à Q3Q1.
Cet indicateur permet de mesurer la dispersion des valeurs de la série statistique autour de sa moyenne. Plus il est grand, plus les valeurs sont dispersées.
Exemple
Reprenons l’exemple du paragraphe IC. L’écart interquartile vaut
41 – 39 = 2. Il est assez petit, ce qui signifie que les valeurs sont peu dispersées.
c. L'écart-type
Si on connait la moyenne d’une série statistique, on peut calculer sa variance  par la formule :

L’écart-type noté  vaut 
Il permet de mesurer la dispersion des valeurs de la série statistique autour de sa moyenne. Plus il est grand, plus les valeurs sont dispersées.
Exemple
Le tableau suivant donne le relevé des âges des élèves d’une classe :
Âge en années 14 15 16 17
Effectif 1 2 15 2


L’âge moyen des élèves de cette classe est de 15,6 ans.
On peut donc calculer la variance

= 0,44
D’où l’écart-type  (arrondi au centième).

3. Comparer deux séries en choisissant les meilleurs indicateurs

Contrairement à la médiane et à l’écart interquartile, la moyenne et l’écart-type sont très sensibles aux valeurs extrêmes d’une série statistique.
Ainsi, lorsque l’on doit comparer deux séries, on commence souvent par observer l’effectif des valeurs extrêmes.

  • Si les valeurs extrêmes ont un effectif important, il est préférable de comparer les séries à l’aide de la médiane et de l’écart interquartile.
  • Sinon, on utilisera plutôt la moyenne et l’écart-type.
Exemple
En cours d’EPS, on a relevé les lancers de javelot de deux classes de 30 élèves.
Classe A :
Longueur en m 38 39 40 43 45
Effectif 5 6 4 7 8

Classe B : 

Longueur en m 38 39 40 41 42 45
Effectif 8 4 4 4 2 8

Ici, les valeurs extrêmes des deux classes sont 38 et 45.
Dans la classe A, ces deux valeurs ont un effectif total de 13 (5 + 8), alors que l’effectif total de la série est de 30.
Dans la classe B, ces deux valeurs ont un effectif total de 16 (8 + 8), alors que l’effectif total de la série est de 30.
Les valeurs extrêmes ont un poids important dans ces deux séries, il est donc préférable de les comparer à l’aide de la médiane et de l’écart interquartile.

Pour la classe A :

  • Au moins un quart des valeurs de la série doivent être inférieures ou égales à Q1. On calcule donc .
    Q1 correspond à la 8e valeur de la série classée dans l’ordre croissant, soit Q1 = 39 m.
  • Au moins trois-quarts des valeurs de la série doivent être inférieures ou égales à Q3. On calcule donc .
    Q3 correspond à la 23e valeur de la série classée dans l’ordre croissant, soit Q3= 45 m.
  • On a donc un écart interquartile de 45 – 39 = 6 m.
  • La médiane vaut la moyenne de la 15e et de la 16e valeur, soit 41,5 m.

Pour la classe B :

  • Q1 correspond à la 8e valeur de la série classée dans l’ordre croissant. Soit Q1 = 38 m.
  • Q3 correspond à la 23e valeur de la série classée dans l’ordre croissant. Soit Q3 = 45 m.
  • Soit un écart interquartile de 45 – 38 = 7 m.
  • La médiane vaut la moyenne de la 15e et de la 16e valeur, soit 40 m.
Interprétation :
Dans la classe A, la moitié des élèves ont réalisé un lancer de plus de 41,5 m, alors que c’est seulement 40 m dans la classe B, donc un peu plus faible.
D’autre part, l’écart interquartile de la classe A est plus petit que celui de la classe B.
Au regard de ces deux indicateurs, la classe A semble être globalement meilleure (médiane supérieure à celle de la classe B) et plus homogène que la classe B (écart interquartile plus petit).

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