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Proportions et pourcentages

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Objectifs

Calculer une proportion.
Calculer un pourcentage.
Appliquer un pourcentage.
Calculer un pourcentage de pourcentage.

Points clés

La proportion (ou fréquence) d’une sous-population S dans une population E est le nombre . On note souvent f la fréquence.
Lorsque l’on connait une proportion, l’exprimer sur 100 est souvent plus pratique, notamment pour la comparer à une autre proportion. On dit qu’on l’exprime en pourcentage. Cela signifie que l’on calcule une proportion dans le « cas idéal » où l’effectif total de la population est ramené à 100.
Le pourcentage d’une quantité est donné par la formule : .
Appliquer un pourcentage x à une quantité revient à multiplier cette quantité par .
Si A représente t₁% de B et si B représente t₂% de E, alors A représente de E.

Pour bien comprendre

Produit en croix

1. Proportion d'une sous-population dans une population

a. Relation entre effectif et proportion

La proportion (ou fréquence) d’une sous-population S dans une population E est le nombre

. On note souvent f la fréquence.

Propriété
On a toujours 0 ≤ f ≤ 1.

Exemple 1
Dans une classe de seconde de 36 élèves, il y a 20 filles et 16 garçons. La proportion (ou fréquence) des garçons est de

, la proportion (ou fréquence) des filles est

Exemple 2
On relève dans un tableau les notes obtenues à un contrôle dans une classe. À partir des effectifs, on calcule la fréquence de chacune des notes.
Pour cela, on commence par calculer l’effectif total : 4 + 3 + 8 + 7 + 4 + 3 + 2 = 31.

Note sur 20	5	7	10	12	13	14	16
Effectif	4	3	8	7	4	3	2	Effectif total : 31
Fréquence								Fréquence totale : 1

Remarque
La fréquence peut être exprimée en fraction ou en écriture décimale avec une précision donnée.

Exemple
Dans une classe de seconde de 36 élèves, il y a 20 filles et 16 garçons. La fréquence des garçons est de

(arrondi au centième), la fréquence des filles est

(arrondi au centième).

b. Intérêt des proportions

Le calcul des proportions permet de comparer entre elles des populations dont les effectifs sont différents.

Exemple
Les notes à un contrôle commun de mathématiques de deux classes sont les suivantes :
Classe 1 : 26 élèves

Note	[0 ; 5[	[5 ; 10[	[10 ; 15[	[15 ; 20]
Effectif	5	8	8	5

Classe 2 : 34 élèves

Note	[0 ; 5[	[5 ; 10[	[10 ; 15[	[15 ; 20]
Effectif	6	12	11	5

Dans la classe 1, 5 élèves ont entre 0 et 5.
Dans la classe 2, 6 élèves ont entre 0 et 5.
Comme les effectifs des deux classes sont différents, c’est la comparaison des proportions des élèves qui ont entre 0 et 5 qui a le plus de sens.
Classe 1 :

Classe 2 :

Donc proportionnellement, c’est dans la classe 1 qu’il y a le plus d’élèves qui ont entre 0 et 5.

2. Pourcentage

a. Intérêt des pourcentages

Lorsque l’on connait une proportion, l’exprimer sur 100 est souvent plus pratique, notamment pour la comparer à une autre proportion. On dit qu’on l’exprime en pourcentage. Cela signifie que l’on calcule une proportion dans le « cas idéal » où l’effectif total de la population est ramené à 100.

b. Calcul d'un pourcentage

Méthode

Pour transformer une proportion exprimée sous la forme d’une fraction en proportion exprimée sous la forme d’un pourcentage :

transformer la fraction pour obtenir un dénominateur égal à 100 (on peut, pour cela, utiliser un produit en croix) ;

Effectif	…	?
Effectif total	…	100

exprimer la fraction de dénominateur 100 sous la forme d’un pourcentage (avec le symbole %).

On déduit du produit en croix :

Le pourcentage d’une quantité est donné par la formule :

Exemple
Dans une famille de 5 enfants, 2 sont des garçons. Quel est le pourcentage de garçons parmi ces enfants ?
On effectue un produit en croix :

Effectif	2	?
Effectif total	5	100

Le nombre manquant est donc :

.
Ainsi,

. Il y a donc 40 % de garçons parmi ces enfants.

c. Application d'un pourcentage

Propriété
Appliquer un pourcentage x à une quantité revient à multiplier cette quantité par

Exemple
Un objet dans un magasin coute 125 euros. La vendeuse décide d’appliquer une réduction de 12 %. Calculer le montant de la réduction.
On doit calculer

. On aura donc une réduction de 15 euros.

3. Pourcentage de pourcentage

Propriété
Soit un ensemble E contenant deux sous-ensembles A et B tels que A ⊂ B.
La proportion de A dans E est égale au produit de la proportion de A dans B par la proportion de B dans E.

En pratique
Si A représente t₁% de B et si B représente t₂% de E, alors A représente de E.

Remarque
On peut écrire ce rapport sous la forme

Exemple
Dans un club de football, il y a 350 adhérents. Parmi ces adhérents, 20 % sont des benjamins et 40 % des benjamins sont des filles. Combien y a-t-il de benjamines dans ce club ?
La proportion de benjamines dans le club vaut