Fiche de cours

La fonction racine carrée

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Objectifs
  • Connaitre la définition et la courbe représentative de la fonction racine carrée.
  • Connaitre le sens de variation de la fonction racine carrée.
  • Pour deux nombres et donnés et la fonction racine carrée
    , comparer et graphiquement.
Points clés
  • On appelle fonction racine carrée la fonction  définie sur l'intervalle qui, à tout nombre réel  positif ou nul, associe sa racine carrée .
    Pour tout , on note
  • La fonction racine carrée est strictement croissante sur l’intervalle .
  • Comme la fonction racine carrée est strictement croissante sur , si et sont deux réels positifs ou nuls, alors équivaut à (l'inégalité garde le même sens).
Pour bien comprendre
  • Fonction
  • Représentation graphique et tableau de variation
1. Définition
On appelle fonction racine carrée la fonction  définie sur l'intervalle qui, à tout nombre réel  positif ou nul, associe sa racine carrée .
Pour tout , on note .
Remarque : pour tout réel  positif ou nul,  donc .
2. Sens de variation et représentation graphique
a. Sens de variation
La fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle .

b. Courbe représentative

Pour tracer la courbe représentative de la fonction racine carrée, on utilise son tableau de variation et on détermine les coordonnées de quelques points de la courbe. On peut rassembler les résultats dans un tableau.

0 0,25 1 4 9
0 0,5 1 2 3

On obtient ainsi la représentation graphique suivante :

  • Pour tout réel de l’intervalle , est un nombre positif ou nul. Graphiquement, cela signifie que la courbe représentative de la fonction racine carrée est située au-dessus de l’axe des abscisses.
  • 0 est le minimum de la fonction racine carrée sur l’intervalle .
c. Comparaison graphique de deux images

On considère la fonction racine carrée et sa courbe représentative.

Soit et  deux points de la courbe tels que .

L'objectif est de comparer et .

Comme la fonction racine carrée est strictement croissante sur , si et sont deux réels positifs ou nuls, alors équivaut à (l'inégalité garde le même sens).
Exemple 1
Comparer et .
On commence par comparer 6 et 7, puis on applique la fonction racine carrée :
. L’inégalité garde le même sens car la fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle .
Exemple 2
Donner un encadrement de sachant que appartient à .
appartient à ; or la fonction racine carrée est strictement croissante sur l’intervalle .
Donc , c'est-à-dire .

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