La fonction affine - Maxicours

La fonction affine

Objectifs
  • Connaitre la définition et la représentation graphique d’une fonction affine.
  • Relier sens de variation, signe et droite représentative d’une fonction affine.
  • Tracer la représentation graphique d’une fonction affine.
Points clés
  • Une fonction affine est une fonction définie sur l'intervalle  qui, à tout nombre réel , associe , où et sont deux nombres réels fixés.  Pour tout , on note .
  • La représentation graphique de la fonction est une droite de coefficient directeur et d’ordonnée à l’origine .
  • Le coefficient directeur est aussi appelé « pente de la droite ». Le signe de  donne les variations de la fonction
    affine .
    Si est strictement positif, la droite est croissante.
    Si est strictement négatif, la droite est décroissante.
    Si est nul, la droite est horizontale.
Pour bien comprendre

Fonction

1. Définition
Une fonction affine est une fonction définie sur l'intervalle qui, à tout nombre réel , associe , où et sont deux nombres réels fixés. 
Pour tout , on note .
Exemples
; dans ce cas, et
; dans ce cas, et
; dans ce cas, et
Cas particuliers :
  • Si , alors ; on dit que la fonction est linéaire.
  • Si , alors ; on dit que la fonction est constante.
Exemples
; dans ce cas, et est linéaire.
; dans ce cas, et est linéaire.
; dans ce cas, et est constante.
; dans ce cas, et est constante.
2. Représentation graphique, signe de m et sens de variation
a. Aspect graphique

On considère la fonction affine définie sur par .

La représentation graphique de la fonction est une droite de coefficient directeur et d’ordonnée à l’origine .

b. Signe de m et sens de variation
Le coefficient directeur est aussi appelé « pente de la droite ». Le signe de donne les variations de la fonction affine sur l'intervalle .

.

  • Si , la droite est croissante.
  • Si , la droite est décroissante.
  • Si , la droite est horizontale.
Démonstration
On prend deux nombres réels et distincts. Le calcul du taux d’accroissement de la fonction affine donne :
Finalement, le taux d’accroissement est égal au coefficient directeur .
c. Représentations graphiques et tableaux de variation
Si , alors la fonction affine est strictement croissante sur l'intervalle .

On obtient le tableau de variation suivant :

Si , alors la fonction affine est strictement décroissante sur l'intervalle .

On obtient le tableau de variation suivant :

Exemples
  • La fonction , définie par , est strictement croissante sur l’intervalle . En effet, et .
  • La fonction , définie par , est strictement décroissante sur l’intervalle . En effet, et .
3. Méthode pour tracer la représentation graphique d'une fonction affine
Pour tracer la droite représentative d’une fonction affine à partir de son expression, il suffit de calculer les coordonnées de deux points.

Soit la fonction affine définie par .

Méthode
  1. Choisir deux valeurs de et calculer pour chacune des deux valeurs.
  2. Les calculs faits à l'étape 1 permettent d'obtenir deux couples de coordonnées de points. Placer ces points dans un repère.
  3. Tracer la droite qui passe par les deux points placés. C'est la représentation graphique de la fonction affine .
Exemple 1
Soit la fonction définie sur par .
Étape 1. Pour ,
Pour ,
Étape 2. Les calculs précédents permettent de dire que les points de coordonnées (0 ; 3) et (–2 ; –1) appartiennent à la droite représentant la fonction affine .
Étape 3. On obtient la représentation graphique de :

Exemple 2
Soit la fonction définie sur par .
Cette fonction est particulière car c'est une fonction linéaire.
Étape 1. On a , cela signifie que la droite qui représente la fonction passe par l'origine du repère.
On doit déterminer les coordonnées d'un autre point de la droite : pour , .
Étape 2. Les calculs précédents permettent de dire que les points de coordonnées (0 ; 0) et (2 ; 5) appartiennent à la droite représentant la fonction affine .
Étape 3. On obtient la représentation graphique de :

Exemple 3
Soit la fonction définie sur par .
Cette fonction est particulière car c'est une fonction constante. Sa représentation graphique est une droite horizontale :

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