La fonction carré- Seconde- Mathématiques
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Connaitre la définition et la courbe représentative de la fonction carré.
- Connaitre la parité de la fonction carré.
- Connaitre le sens de variation de la fonction carré.
- Pour deux nombres
et 
donnés et la fonction
carré 
, comparer 
et 
graphiquement.
- On appelle fonction carré la fonction
définie sur l'intervalle
qui, à tout nombre
réel 
, associe son carré
. Pour tout 
, on note 
.
- La courbe représentative de la fonction carré est une parabole.
- La fonction carré est strictement
décroissante sur l’intervalle
et strictement croissante sur
l’intervalle 
.
- La fonction carré est paire, donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
- Comme la fonction carré est strictement
décroissante sur l'intervalle
, si 
et 
sont
deux réels négatifs ou nuls, alors
équivaut à
(l’inégalité
change de sens).
- Comme la fonction carré est strictement
croissante sur l'intervalle
, si 
et 
sont deux réels positifs
ou nuls, alors 
équivaut à
(l’inégalité
garde le même sens).
- Fonction
- Parité d’une fonction
- Représentation graphique et tableau de variation
définie sur l'intervalle
qui, à tout nombre
réel , associe son carré
.Pour tout
, on note .
, 
donc 
.
et strictement croissante sur
l'intervalle 
.
Lorsque l’ensemble de définition
d’une fonction
est symétrique par
rapport à 0 et que pour tout 
, 
, on dit que la fonction est
paire.
, 
d'où 
. La fonction carré est
donc paire.
Pour tracer la courbe représentative de la fonction carré, on utilise son tableau de variation et on détermine les coordonnées de quelques points de la courbe. On peut rassembler les résultats dans un tableau.
|
–3 | –2 | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|
9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
On obtient ainsi la représentation graphique suivante :
La parabole passe en particulier par les points :
- A
, B
, C
;
-
, 
et 
.
- La courbe représentative de la fonction carré dans un repère (O, I, J) s’appelle une parabole.
- Comme la fonction carré est paire, sa
courbe représentative est symétrique
par rapport à l'axe des ordonnées du
repère. Pour tout
, les points
et 
appartenant à
la parabole sont donc symétriques par
rapport à l'axe des ordonnées.
- Pour tout réel
de l’intervalle
, 
est un nombre
positif ou nul. Graphiquement, cela signifie que la
courbe représentative de la fonction
carré est située au-dessus de
l’axe des abscisses.
- 0 est le minimum de la fonction carré sur
l’intervalle
.
On considère la fonction carré et sa courbe représentative.
Soit 
, 
, 
et 
quatre points de la parabole
tels que :
-
et négatifs et ;
-
et positifs et .
L’objectif est de comparer 
et 
d’une part ;
et 
d’autre part.
- Comme la fonction carré est strictement
décroissante sur
l'intervalle , si
et sont
deux réels négatifs ou nuls, alors
équivaut
à
(l’inégalité change de sens).
- Comme la fonction carré est strictement
croissante sur l'intervalle , si et sont deux
réels positifs ou nuls, alors équivaut
à
(l’inégalité garde le
même sens).
Comparer (–5)2 et (–4)2.
–5 et –4 sont deux réels négatifs. On commence par comparer –5 et –4, puis on applique la fonction carré :
.
L’inégalité change de sens car la
fonction carré est strictement
décroissante sur .
Donner un encadrement de
sachant que appartient à
. appartient à ; or la fonction carré
est strictement croissante sur l’intervalle
.Donc
,donc
.
Donner un encadrement de
sachant que appartient à 
.Ici, l’intervalle contient une partie négative
et une partie positive
. Il faut étudier les
deux parties séparément.- Sur , la fonction
carré est strictement décroissante
donc l’inégalité change de
sens :
.
- Sur , la fonction
carré est strictement croissante donc
l’inégalité garde le même
sens :
.
, 
.
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