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La fonction carré

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Objectifs

Connaitre la définition et la courbe représentative de la fonction carré.
Connaitre la parité de la fonction carré.
Connaitre le sens de variation de la fonction carré.
Pour deux nombres et donnés et la fonction carré , comparer et graphiquement.

Points clés

On appelle fonction carré la fonction définie sur l'intervalle qui, à tout nombre réel , associe son carré . Pour tout , on note .
La courbe représentative de la fonction carré est une parabole.
La fonction carré est strictement décroissante sur l’intervalle et strictement croissante sur l’intervalle .
La fonction carré est paire, donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Comme la fonction carré est strictement décroissante sur l'intervalle , si et sont deux réels négatifs ou nuls, alors équivaut à (l’inégalité change de sens).
Comme la fonction carré est strictement croissante sur l'intervalle , si et sont deux réels positifs ou nuls, alors équivaut à (l’inégalité garde le même sens).

Pour bien comprendre

Fonction
Parité d’une fonction
Représentation graphique et tableau de variation

1. Définition

On appelle fonction carré la fonction

définie sur l'intervalle

qui, à tout nombre réel

, associe son carré

.
Pour tout

, on note

Remarque : pour tout réel

donc

2. Sens de variation et représentation graphique

a. Sens de variation

La fonction carré est strictement décroissante sur l'intervalle

et strictement croissante sur l'intervalle

b. Parité de la fonction carré

Lorsque l’ensemble de définition d’une fonction est symétrique par rapport à 0 et que pour tout , , on dit que la fonction est paire.

Pour tout

d'où

. La fonction carré est donc paire.

c. Courbe représentative

Pour tracer la courbe représentative de la fonction carré, on utilise son tableau de variation et on détermine les coordonnées de quelques points de la courbe. On peut rassembler les résultats dans un tableau.

	–3	–2	–1	0	1	2	3
	9	4	1	0	1	4	9

On obtient ainsi la représentation graphique suivante :

Remarque
La parabole passe en particulier par les points :

A, B, C ;
, et .

Les points A et A' sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées (OJ). Il en est de même des points B et B' d'une part, C et C' d'autre part.

La courbe représentative de la fonction carré dans un repère (O, I, J) s’appelle une parabole.
Comme la fonction carré est paire, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère. Pour tout , les points et appartenant à la parabole sont donc symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
Pour tout réel de l’intervalle , est un nombre positif ou nul. Graphiquement, cela signifie que la courbe représentative de la fonction carré est située au-dessus de l’axe des abscisses.
0 est le minimum de la fonction carré sur l’intervalle .

d. Comparaison graphique de deux images

On considère la fonction carré et sa courbe représentative.

Soit , , et quatre points de la parabole tels que :

et négatifs et ;
et positifs et .

L’objectif est de comparer et d’une part ; et d’autre part.

Comme la fonction carré est strictement décroissante sur l'intervalle , si et sont deux réels négatifs ou nuls, alors équivaut à (l’inégalité change de sens).
Comme la fonction carré est strictement croissante sur l'intervalle , si et sont deux réels positifs ou nuls, alors équivaut à (l’inégalité garde le même sens).

Exemple 1
Comparer (–5)² et (–4)².
–5 et –4 sont deux réels négatifs. On commence par comparer –5 et –4, puis on applique la fonction carré :

. L’inégalité change de sens car la fonction carré est strictement décroissante sur

Exemple 2
Donner un encadrement de

sachant que appartient à

appartient à

; or la fonction carré est strictement croissante sur l’intervalle

.
Donc

,
donc

Exemple 3
Donner un encadrement de

sachant que

appartient à

.
Ici, l’intervalle contient une partie négative

et une partie positive

. Il faut étudier les deux parties séparément.

Sur , la fonction carré est strictement décroissante donc l’inégalité change de sens :
.
Sur , la fonction carré est strictement croissante donc l’inégalité garde le même sens :
.