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Résoudre une équation ou une inéquation produit/quotient

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Objectifs
  • Résoudre une équation produit.
  • Résoudre une inéquation produit à l’aide d’un tableau de signes.
  • Résoudre une inéquation quotient à l’aide d’un tableau de signes.
Points clés
  • Résoudre une équation produit, c’est résoudre une équation du type avec , , et , et .
  • Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins un des facteurs est nul.
  • Résoudre une équation quotient, c’est résoudre une équation du type avec , , et et .
  • Un quotient est nul si, et seulement si, son numérateur est nul sur son ensemble de définition.
  • Résoudre une inéquation produit, c’est résoudre une inéquation du type avec , , et , et . Cela revient à étudier le signe de chacun des facteurs, c'est-à-dire le signe de et celui de .
  • Résoudre une inéquation quotient, c’est résoudre une inéquation du type avec , , et et . Cela revient à étudier le signe du numérateur et celui du dénominateur .

Soit la fonction affine définie sur par , avec et et .

1. Résolution d'une équation du premier degré à une inconnue
a. Définition
Résoudre une équation d’inconnue , c’est trouver toutes les valeurs de qui vérifient l’égalité.
Exemple
Résoudre l’équation , cela signifie chercher toutes les valeurs de qui vérifient l’égalité. Ici, l’unique solution est .
b. Résolution d'une équation du type mx + p = 0
Exemple
Résoudre l'équation .

La solution est .
c. Résolution d'une équation produit
Résoudre une équation produit, c’est résoudre une équation du type avec , , et , et .
Exemple
est une équation produit.
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins un des facteurs est nul.
Exemple
.
L'équation admet donc deux solutions : .
d. Résolution d'une équation quotient
Résoudre une équation quotient, c’est résoudre une équation du type avec , , et et .
Exemple
est une équation quotient, avec , car doit être différent de 0.
Un quotient est nul si, et seulement si, son numérateur est nul sur son ensemble de définition.
Exemple
Résoudre l'équation quotient .
Le quotient  admet pour ensemble de définition , car le dénominateur  doit être différent de 0.

L'équation admet donc une solution : .
2. Résolution d'une inéquation du premier degré à une inconnue
a. Signe d'une fonction affine
Rappel : le signe d’une fonction affine de la forme dépend du signe de .

Deux cas sont possibles :

  • si , alors le tableau de signes de la fonction affine est le suivant :

  • si , alors le tableau de signes de la fonction affine est le suivant :

b. Règle des signes
  • Le produit de deux nombres négatifs est positif.
  • Le produit de deux nombres positifs est positif.
  • Le produit d’un nombre positif par un nombre négatif est négatif.
Exemples
(négatif par positif donne négatif).
(positif par positif donne positif).
(négatif par négatif donne positif).
c. Résoudre une inéquation produit
Résoudre une inéquation produit, c’est résoudre une inéquation du type avec , , et , et .
Cela revient à étudier le signe de chacun des facteurs, c'est-à-dire le signe de et celui de .
Remarque
Les inéquations du type , et sont aussi des inéquations produit.


Méthode pour résoudre une inéquation produit à l’aide d’un tableau de signes :

  1. Déterminer la valeur de qui annule chacun des facteurs.
  2. Construire un tableau de signes avec une ligne pour les valeurs de rangées dans l’ordre croissant, une ligne pour chaque facteur et une ligne pour le produit des deux facteurs.
  3. Placer les 0 dans le tableau.
  4. Placer les signes de chaque facteur, de part et d’autre du 0.
  5. Compléter la dernière ligne en appliquant la règle des signes pour chaque colonne.
  6. Indiquer l’intervalle de solutions à l’aide de la dernière ligne du tableau.
Exemple
Résoudre l'inéquation .
Étape 1 : on détermine la valeur de qui annule chacun des facteurs.


Étape 2 : on construit un tableau de signes avec une ligne pour les valeurs de rangées dans l’ordre croissant, une ligne pour chaque facteur et une ligne pour le produit des deux facteurs.

Étape 3 : on place les 0 dans le tableau, en utilisant l’étape 1.
s’annule pour et pour .

Étape 4 : on place les signes en repérant le signe du coefficient de dans chacun des facteurs. Ici, chaque coefficient est positif donc, d’après le signe d’une fonction affine, l’expression est négative avant le 0 et positive après le 0.

Étape 5 : on applique la règle des signes par colonne.

Étape 6 : grâce à la dernière ligne du tableau, on peut lire que l’inéquation a pour ensemble de solutions : .
d. Résoudre une inéquation quotient
Résoudre une inéquation quotient, c’est résoudre une inéquation du type avec , , et et .
Cela revient à étudier le signe du numérateur et celui du dénominateur .
Remarque
Les inéquations du type , et sont aussi des inéquations quotient.

Méthode pour résoudre une inéquation produit à l’aide d’un tableau de signes :

  1. Déterminer la valeur de qui annule le numérateur. Le dénominateur s'annule pour , qui est une valeur interdite (le dénominateur ne peut être égal à 0).
  2. Construire un tableau de signes avec une ligne pour les valeurs de rangées dans l’ordre croissant, une ligne pour le numérateur, une ligne pour le dénominateur et une ligne pour le quotient.
  3. Placer le 0 sur la ligne du numérateur.
  4. Placer une double barre au niveau de la valeur interdite sur la ligne du dénominateur.
  5. Placer les signes sur les lignes du numérateur et du dénominateur.
  6. Compléter la dernière ligne en appliquant la règle des signes pour chaque colonne.
  7. Indiquer l’intervalle de solutions à l’aide de la dernière ligne du tableau.
Exemple
Résoudre l’inéquation .
Étape 1 : on détermine la valeur de qui annule le numérateur.

Le dénominateur s’annule pour , qui est une valeur interdite.
Étape 2 : on dresse un tableau de signes avec une ligne pour les valeurs de rangées dans l’ordre croissant, une ligne pour le numérateur, une ligne pour le dénominateur et une ligne pour le quotient.

Étapes 3 et 4 : on place le 0 et la double barre, en utilisant l’étape 1.
s’annule pour . est une valeur interdite car elle annule le dénominateur, donc on place une double barre dans la ligne du quotient.

Étape 5 : on place les signes en repérant le signe du coefficient de du numérateur et du dénominateur. Ici, pour le numérateur, le coefficient –7 est négatif donc le signe de est positif avant le 0 et négatif après. Pour le dénominateur, le coefficient 1 est positif donc est négatif avant le 0 et positif après.

Étape 6 : on applique maintenant la règle des signes par colonne.

Étape 7 : grâce à la dernière ligne du tableau, on peut lire que l’inéquation a pour ensemble de solutions : .

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