Résoudre une équation ou une inéquation produit/quotient

Rappel : le signe d’une fonction affine de la forme dépend du signe de .

Deux cas sont possibles :

• si , alors le tableau de signes de la fonction affine est le suivant :

• si , alors le tableau de signes de la fonction affine est le suivant :

Résoudre une inéquation produit, c’est résoudre une inéquation du type avec , , et , et .
Cela revient à étudier le signe de chacun des facteurs, c'est-à-dire le signe de et celui de .

Remarque
Les inéquations du type , et sont aussi des inéquations produit.

Méthode pour résoudre une inéquation produit à l’aide d’un tableau de signes :

1. Déterminer la valeur de qui annule chacun des facteurs.
2. Construire un tableau de signes avec une ligne pour les valeurs de rangées dans l’ordre croissant, une ligne pour chaque facteur et une ligne pour le produit des deux facteurs.
3. Placer les 0 dans le tableau.
4. Placer les signes de chaque facteur, de part et d’autre du 0.
5. Compléter la dernière ligne en appliquant la règle des signes pour chaque colonne.
6. Indiquer l’intervalle de solutions à l’aide de la dernière ligne du tableau.

Exemple
Résoudre l'inéquation .
Étape 1 : on détermine la valeur de qui annule chacun des facteurs.


Étape 2 : on construit un tableau de signes avec une ligne pour les valeurs de rangées dans l’ordre croissant, une ligne pour chaque facteur et une ligne pour le produit des deux facteurs.

Étape 3 : on place les 0 dans le tableau, en utilisant l’étape 1.
s’annule pour et pour .

Étape 4 : on place les signes en repérant le signe du coefficient de dans chacun des facteurs. Ici, chaque coefficient est positif donc, d’après le signe d’une fonction affine, l’expression est négative avant le 0 et positive après le 0.

Étape 5 : on applique la règle des signes par colonne.

Étape 6 : grâce à la dernière ligne du tableau, on peut lire que l’inéquation a pour ensemble de solutions : .

Résoudre une inéquation quotient, c’est résoudre une inéquation du type avec , , et et .
Cela revient à étudier le signe du numérateur et celui du dénominateur .

Remarque
Les inéquations du type , et sont aussi des inéquations quotient.

Méthode pour résoudre une inéquation produit à l’aide d’un tableau de signes :

1. Déterminer la valeur de qui annule le numérateur. Le dénominateur s'annule pour , qui est une valeur interdite (le dénominateur ne peut être égal à 0).
2. Construire un tableau de signes avec une ligne pour les valeurs de rangées dans l’ordre croissant, une ligne pour le numérateur, une ligne pour le dénominateur et une ligne pour le quotient.
3. Placer le 0 sur la ligne du numérateur.
4. Placer une double barre au niveau de la valeur interdite sur la ligne du dénominateur.
5. Placer les signes sur les lignes du numérateur et du dénominateur.
6. Compléter la dernière ligne en appliquant la règle des signes pour chaque colonne.
7. Indiquer l’intervalle de solutions à l’aide de la dernière ligne du tableau.

Exemple
Résoudre l’inéquation .
Étape 1 : on détermine la valeur de qui annule le numérateur.

Le dénominateur s’annule pour , qui est une valeur interdite.
Étape 2 : on dresse un tableau de signes avec une ligne pour les valeurs de rangées dans l’ordre croissant, une ligne pour le numérateur, une ligne pour le dénominateur et une ligne pour le quotient.

Étapes 3 et 4 : on place le 0 et la double barre, en utilisant l’étape 1.
s’annule pour . est une valeur interdite car elle annule le dénominateur, donc on place une double barre dans la ligne du quotient.

Étape 5 : on place les signes en repérant le signe du coefficient de du numérateur et du dénominateur. Ici, pour le numérateur, le coefficient –7 est négatif donc le signe de est positif avant le 0 et négatif après. Pour le dénominateur, le coefficient 1 est positif donc est négatif avant le 0 et positif après.

Étape 6 : on applique maintenant la règle des signes par colonne.

Étape 7 : grâce à la dernière ligne du tableau, on peut lire que l’inéquation a pour ensemble de solutions : .