Variations et extremums d'une fonction
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Tracer la courbe représentative d’une fonction à partir de son tableau de variation.
- Dresser le tableau de variation d’une fonction à partir de sa courbe représentative.
- Déterminer graphiquement les extrémums d’une fonction sur un intervalle.
- Pour une fonction dont le tableau de variation est donné, comprendre un algorithme d’approximation numérique d’un extremum.
-
est croissante sur un intervalle
signifie que pour tout 
et 
de , si 
, alors 
.
-
est décroissante sur un
intervalle signifie que pour tout et de , si , alors
.
-
est constante sur un intervalle
signifie que pour tout et de , on a
.
- Pour résumer les variations d’une fonction sur son domaine de définition, on dresse un tableau de variation. Une flèche montante indique la croissance et une flèche descendante indique la décroissance.
- Le maximum
de sur est la plus grande valeur de f(x)
pour 
appartenant à . On a alors pour tout de , 
.
- Le minimum
de sur est la plus petite valeur de f(x)
pour appartenant à . On a alors pour tout de , 
.
- Un extrémum est un maximum ou un minimum.
- Ensemble de définition d’une fonction
- Courbe représentative d’une fonction
Soit un intervalle et une fonction définie sur
.
est croissante sur un
intervalle signifie que pour tout
et de , si , alors .
La fonction
représentée
ci-dessous est strictement croissante sur
l’intervalle 
.
est décroissante sur
un intervalle signifie que pour tout
et de , si , alors .
La fonction
représentée
ci-dessous est strictement décroissante sur
l’intervalle 
.
De manière générale, on dit qu’une fonction
est monotone sur un
intervalle lorsqu’elle est
croissante ou décroissante sur
l’intervalle .
est constante sur un
intervalle signifie que pour tout
et de , on a .
La fonction
représentée
ci-dessous est constante sur l’intervalle
.
Pour résumer les variations d’une fonction sur son domaine de définition, on dresse un tableau de variation.
Voici la représentation graphique d’une fonction
définie sur
l’intervalle 
, elle est
décroissante sur 
et croissante sur 
. De plus, la courbe passe par
les points de coordonnées 
, 
et 
.
Soit une fonction définie sur
un intervalle .
- Le maximum de sur est la plus grande
valeur de f(x) pour appartenant à
. On a alors pour tout
de , .
- Le minimum de sur est la plus petite
valeur de f(x) pour appartenant à
. On a alors pour tout
de , .
- Un extrémum est un maximum ou un minimum.
Lorsqu’on parle de minimum ou de maximum, on doit toujours préciser sur quel intervalle on travaille.
Voici la représentation graphique d'une fonction
:
:- le minimum de est 1, atteint
pour
;
- le maximum de est 5, atteint pour
.
:
- le minimum de est 2, atteint
pour
;
- le maximum de est 5, atteint
pour
.
Voici le tableau de variation d'une fonction
:
, le maximum de est 2, atteint pour , et le minimum est –2,
atteint pour .
Lorsqu’il existe un extrémum sur un
intervalle, on peut calculer sa valeur approchée
grâce à un algorithme. L’algorithme
fait varier pas-à-pas la valeur de sur l’ensemble de
définition de la fonction, pour calculer
l’image de .
Par exemple, si une fonction admet un maximum sur un intervalle, les images calculées sont d’abord plus petites que la valeur du maximum puis, à partir d’un moment, une image dépasse le maximum. L’algorithme se termine à ce moment-là et on lit la valeur approchée du maximum de la fonction.
On considère la fonction
définie sur l'intervalle
par 
.Sa courbe représentative est tracée ci-dessous :
| Langage naturel | Langage Python |
|
Choisir une valeur N |
|
On choisit la valeur
, cela signifie que
l’intervalle de définition est
sectionné en 10 parties égales.
| i | M | p | x | y | y > M ? | |
| Initialisation | 5 | 0,3 | 0 | 5 | Oui | |
| Étape 1 | 1 | 5 | 0,3 | 0,3 | 6,62 | Oui |
| Étape 2 | 2 | 6,62 | 0,3 | 0,6 | 7,88 | Oui |
| Étape 3 | 3 | 7,88 | 0,3 | 0,9 | 8,78 | Oui |
| Étape 4 | 4 | 8,78 | 0,3 | 1,2 | 9,32 | Oui |
| Étape 5 | 5 | 9,32 | 0,3 | 1,5 | 9,5 | Oui |
| Étape 6 | 6 | 9,5 | 0,3 | 1,8 | 9,32 | Non |
affichée en
sortie est le maximum de la fonction sur l’intervalle
. On obtient 9,5.
On considère la fonction
définie sur
l’intervalle 
par 
.La courbe représentative est donnée ci-dessous.
sur l’intervalle
.Méthode avec GeoGebra
- On clique sur l’icône « Inspecteur de fonction » en haut à droite et on sélectionne la courbe.
- Une fenêtre s’ouvre. Il faut
renseigner les champs en bas de la fenêtre pour
définir l’intervalle
d’étude. Ici,
.
- En haut de la fenêtre, on obtient ainsi les
coordonnées du plus petit point de la courbe,
en face de « Min ». Ici,
c’est
: le minimum de la
fonction sur
l’intervalle est 1, il est
atteint pour 
.
De même, on obtient les coordonnées du plus grand point de la courbe, en face de « Max ». Ici, c’est
: le maximum de la
fonction sur
l’intervalle est 3, il est
atteint pour 
.
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