Variations et extremums d'une fonction
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- Tracer la courbe représentative d’une fonction à partir de son tableau de variation.
- Dresser le tableau de variation d’une fonction à partir de sa courbe représentative.
- Déterminer graphiquement les extrémums d’une fonction sur un intervalle.
- Pour une fonction dont le tableau de variation est donné, comprendre un algorithme d’approximation numérique d’un extremum.
- est croissante sur un intervalle signifie que pour tout et de , si , alors .
- est décroissante sur un intervalle signifie que pour tout et de , si , alors .
- est constante sur un intervalle signifie que pour tout et de , on a .
- Pour résumer les variations d’une fonction sur son domaine de définition, on dresse un tableau de variation. Une flèche montante indique la croissance et une flèche descendante indique la décroissance.
- Le maximum de sur est la plus grande valeur de f(x) pour appartenant à . On a alors pour tout de , .
- Le minimum de sur est la plus petite valeur de f(x) pour appartenant à . On a alors pour tout de , .
- Un extrémum est un maximum ou un minimum.
- Ensemble de définition d’une fonction
- Courbe représentative d’une fonction
Soit un intervalle et une fonction définie sur .
La fonction représentée ci-dessous est strictement croissante sur l’intervalle .
La fonction représentée ci-dessous est strictement décroissante sur l’intervalle .
De manière générale, on dit qu’une fonction est monotone sur un intervalle lorsqu’elle est croissante ou décroissante sur l’intervalle .
La fonction représentée ci-dessous est constante sur l’intervalle .
Pour résumer les variations d’une fonction sur son domaine de définition, on dresse un tableau de variation.
Voici la représentation graphique d’une fonction définie sur l’intervalle , elle est décroissante sur et croissante sur . De plus, la courbe passe par les points de coordonnées , et .
On a donc le tableau de variation suivant :
Soit une fonction définie sur un intervalle .
- Le maximum de sur est la plus grande valeur de f(x) pour appartenant à . On a alors pour tout de , .
- Le minimum de sur est la plus petite valeur de f(x) pour appartenant à . On a alors pour tout de , .
- Un extrémum est un maximum ou un minimum.
Lorsqu’on parle de minimum ou de maximum, on doit toujours préciser sur quel intervalle on travaille.
Voici la représentation graphique d'une fonction :
Sur l'intervalle :
- le minimum de est 1, atteint pour ;
- le maximum de est 5, atteint pour .
- le minimum de est 2, atteint pour ;
- le maximum de est 5, atteint pour .
Voici le tableau de variation d'une fonction :
Sur l'intervalle , le maximum de est 2, atteint pour , et le minimum est –2, atteint pour .
Lorsqu’il existe un extrémum sur un intervalle, on peut calculer sa valeur approchée grâce à un algorithme. L’algorithme fait varier pas-à-pas la valeur de sur l’ensemble de définition de la fonction, pour calculer l’image de .
Par exemple, si une fonction admet un maximum sur un intervalle, les images calculées sont d’abord plus petites que la valeur du maximum puis, à partir d’un moment, une image dépasse le maximum. L’algorithme se termine à ce moment-là et on lit la valeur approchée du maximum de la fonction.
On considère la fonction définie sur l'intervalle par .
Sa courbe représentative est tracée ci-dessous :
Le tracé de la courbe représentative de la fonction s permet de conjecturer l’existence d’un maximum. On peut trouver la valeur de ce maximum à l’aide de l’algorithme suivant :
Langage naturel | Langage Python |
Choisir une valeur N |
On choisit la valeur , cela signifie que l’intervalle de définition est sectionné en 10 parties égales.
i | M | p | x | y | y > M ? | |
Initialisation | 5 | 0,3 | 0 | 5 | Oui | |
Étape 1 | 1 | 5 | 0,3 | 0,3 | 6,62 | Oui |
Étape 2 | 2 | 6,62 | 0,3 | 0,6 | 7,88 | Oui |
Étape 3 | 3 | 7,88 | 0,3 | 0,9 | 8,78 | Oui |
Étape 4 | 4 | 8,78 | 0,3 | 1,2 | 9,32 | Oui |
Étape 5 | 5 | 9,32 | 0,3 | 1,5 | 9,5 | Oui |
Étape 6 | 6 | 9,5 | 0,3 | 1,8 | 9,32 | Non |
On considère la fonction définie sur l’intervalle par .
La courbe représentative est donnée ci-dessous.
On souhaite déterminer les valeurs du minimum et du maximum de la fonction sur l’intervalle .
Méthode avec GeoGebra
- On clique sur l’icône « Inspecteur de fonction » en haut à droite et on sélectionne la courbe.
- Une fenêtre s’ouvre. Il faut renseigner les champs en bas de la fenêtre pour définir l’intervalle d’étude. Ici, .
- En haut de la fenêtre, on obtient ainsi les
coordonnées du plus petit point de la courbe,
en face de « Min ». Ici,
c’est : le minimum de la
fonction sur
l’intervalle est 1, il est
atteint pour .
De même, on obtient les coordonnées du plus grand point de la courbe, en face de « Max ». Ici, c’est : le maximum de la fonction sur l’intervalle est 3, il est atteint pour .
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