Variations et extremums d'une fonction - Maxicours

Variations et extremums d'une fonction

Objectif
  • Tracer la courbe représentative d’une fonction à partir de son tableau de variation.
  • Dresser le tableau de variation d’une fonction à partir de sa courbe représentative.
  • Déterminer graphiquement les extrémums d’une fonction sur un intervalle.
  • Pour une fonction dont le tableau de variation est donné, comprendre un algorithme d’approximation numérique d’un extremum.
Points clés
  • est croissante sur un intervalle signifie que pour tout et de , si , alors .
  • est décroissante sur un intervalle signifie que pour tout et de , si , alors .
  • est constante sur un intervalle signifie que pour tout et de , on a .
  • Pour résumer les variations d’une fonction sur son domaine de définition, on dresse un tableau de variation. Une flèche montante indique la croissance et une flèche descendante indique la décroissance.
  • Le maximum de sur est la plus grande valeur de f(x) pour appartenant à . On a alors pour tout de , .
  • Le minimum de sur est la plus petite valeur de f(x) pour appartenant à . On a alors pour tout de , .
  • Un extrémum est un maximum ou un minimum.
Pour bien comprendre
  • Ensemble de définition d’une fonction
  • Courbe représentative d’une fonction 
1. Sens de variation d'une fonction
a. Défintions

Soit un intervalle et une fonction définie sur .

est croissante sur un intervalle signifie que pour tout et de , si , alors .
Exemple
La fonction représentée ci-dessous est strictement croissante sur l’intervalle .

est décroissante sur un intervalle signifie que pour tout et de , si , alors .
Exemple
La fonction représentée ci-dessous est strictement décroissante sur l’intervalle .

Remarque
De manière générale, on dit qu’une fonction est monotone sur un intervalle lorsqu’elle est croissante ou décroissante sur l’intervalle .
est constante sur un intervalle signifie que pour tout et de , on a .
Exemple
La fonction représentée ci-dessous est constante sur l’intervalle .

b. Tableau de variation

Pour résumer les variations d’une fonction sur son domaine de définition, on dresse un tableau de variation.

Une flèche montante indique la croissance et une flèche descendante indique la décroissance.
Exemple
Voici la représentation graphique d’une fonction définie sur l’intervalle , elle est décroissante sur et croissante sur . De plus, la courbe passe par les points de coordonnées , et .

On a donc le tableau de variation suivant :

2. Extrémums d'une fonction f sur un intervalle
a. Définitions

Soit une fonction définie sur un intervalle .

  • Le maximum de sur est la plus grande valeur de f(x) pour appartenant à . On a alors pour tout de , .
  • Le minimum de sur est la plus petite valeur de f(x) pour appartenant à . On a alors pour tout de , .
  • Un extrémum est un maximum ou un minimum.
Remarque
Lorsqu’on parle de minimum ou de maximum, on doit toujours préciser sur quel intervalle on travaille.
Exemple 1
Voici la représentation graphique d'une fonction  :

Sur l'intervalle :
  • le minimum de est 1, atteint pour  ;
  • le maximum de est 5, atteint pour .
Sur l'intervalle  :
  • le minimum de est 2, atteint pour  ;
  • le maximum de est 5, atteint pour .
Exemple 2
Voici le tableau de variation d'une fonction  :

Sur l'intervalle , le maximum de est 2, atteint pour , et le minimum est –2, atteint pour .
b. Recherche de la valeur d'un extrémum avec un algorithme

Lorsqu’il existe un extrémum sur un intervalle, on peut calculer sa valeur approchée grâce à un algorithme. L’algorithme fait varier pas-à-pas la valeur de sur l’ensemble de définition de la fonction, pour calculer l’image de .

Par exemple, si une fonction admet un maximum sur un intervalle, les images calculées sont d’abord plus petites que la valeur du maximum puis, à partir d’un moment, une image dépasse le maximum. L’algorithme se termine à ce moment-là et on lit la valeur approchée du maximum de la fonction.

Exemple
On considère la fonction définie sur l'intervalle par .
Sa courbe représentative est tracée ci-dessous :

Le tracé de la courbe représentative de la fonction s permet de conjecturer l’existence d’un maximum. On peut trouver la valeur de ce maximum à l’aide de l’algorithme suivant :
Langage naturel Langage Python

Choisir une valeur N
M ← s(0)
p ←
x ← 0
Pour i allant de 0 à N
   x ← x + p
   y ← s(x)
   Si y > M
      alors M ← y
   Fin Si
Fin Pour
Afficher M

Voici un tableau qui montre les différentes étapes suivies par l’algorithme.
On choisit la valeur , cela signifie que l’intervalle de définition est sectionné en 10 parties égales.
  i M p x y y > M ?
Initialisation   5 0,3 0 5 Oui
Étape 1 1 5 0,3 0,3 6,62 Oui
Étape 2 2 6,62 0,3 0,6 7,88 Oui
Étape 3 3 7,88 0,3 0,9 8,78 Oui
Étape 4 4 8,78 0,3 1,2 9,32 Oui
Étape 5 5 9,32 0,3 1,5 9,5 Oui
Étape 6 6 9,5 0,3 1,8 9,32 Non
La valeur affichée en sortie est le maximum de la fonction sur l’intervalle . On obtient 9,5.
c. Recherche de la valeur d'un extrémum avec un logiciel de géométrie dynamique
Exemple
On considère la fonction définie sur l’intervalle par .
La courbe représentative est donnée ci-dessous.

On souhaite déterminer les valeurs du minimum et du maximum de la fonction sur l’intervalle .
Méthode avec GeoGebra
  1. On clique sur l’icône « Inspecteur de fonction » en haut à droite et on sélectionne la courbe.
  2. Une fenêtre s’ouvre. Il faut renseigner les champs en bas de la fenêtre pour définir l’intervalle d’étude. Ici, .
  3. En haut de la fenêtre, on obtient ainsi les coordonnées du plus petit point de la courbe, en face de « Min ». Ici, c’est : le minimum de la fonction sur l’intervalle est 1, il est atteint pour .
    De même, on obtient les coordonnées du plus grand point de la courbe, en face de « Max ». Ici, c’est : le maximum de la fonction sur l’intervalle est 3, il est atteint pour .

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