L'alignement des points - Maxicours

L'alignement des points

Objectifs
  • Déterminer l’alignement de trois points du plan à l’aide des cœfficients directeurs.
  • Déterminer l’alignement de trois points du plan à l’aide des vecteurs directeurs.
  • Déterminer l’alignement de trois points du plan à l’aide de l’équation cartésienne.
  • Étudier l’alignement de trois points dans le plan à l’aide d’un algorithme.
Points clés
  • Les points A, B et C sont alignés ⇔ (AB) et (AC) ont le même cœfficient directeur .
  • Les points A, B et C sont alignés ⇔ (AB) et (AC) ont des vecteurs directeurs colinéaires ⇔ le déterminant des vecteurs et est nul.
  • Les points A, B et C sont alignés ⇔ le point C appartient à la droite (AB).
Pour bien comprendre
  • Savoir que la pente m de la droite (AB) vaut .
  • Savoir que les coordonnées du vecteur sont
    (xB – xA ; yB – yA).
  • Savoir trouver une équation cartésienne de la droite (AB).
  • Une droite (d) a pour équation cartésienne ax + by + c = 0 ⇔ le vecteur (–b ; a) est un vecteur directeur de (d).
  • Le déterminant des vecteur et est égal à xy' – x'y.

On se place dans le plan muni d’un repère orthonormé .

1. Alignement de trois points
a. Définition
Soient A(xA ; yA), B(xB ; yB) et C(xC ; yC) trois points du plan, avec xA ≠ xB et xA ≠ xC. Dire que trois points A, B et C sont alignés signifie qu’ils appartiennent à une même droite.
b. Déterminer si trois points sont alignés

Pour déterminer si trois points sont alignés, il existe plusieurs méthodes.

À partir des cœfficients directeurs
Les points A, B et C sont alignés ⇔ (AB) et (AC) ont le même cœfficient directeur .
Exemple 1
A(3 ; 7), B(0 ; 2) et C(1 ; 1) sont-ils alignés ?


Les deux cœfficients directeurs sont égaux à 3, donc A, B et C sont alignés.
Exemple 2
A(1 ; 2), B(3 ; 0) et C(5 ; 1) sont-ils alignés ?


Les deux cœfficients directeurs sont différents, donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
À partir des vecteurs directeurs
Les points A, B et C sont alignés
⇔ (AB) et (AC) ont des vecteurs directeurs colinéaires
⇔ le déterminant des vecteurs et est nul.
Exemple
Les points A(3 ; 7), B(1 ; 3) et C(0 ; 1) sont-ils alignés ?
(1 – 3 ; 3 – 7) soit (–2 ; –4)
(0 – 3 ; 1 – 7) soit (–3 ; –6)
Le déterminant de et de vaut :
(–2) × (–6) – (–4) × (–3) =12 – 12 = 0.
Les vecteurs et   sont donc colinéaires. Comme ils ont un point commun A, on peut dire que A, B et C sont alignés.
À partir de l’équation cartésienne
Les points A, B et C sont alignés ⇔ le point C appartient à la droite (AB).
Exemple
Les points A(2 ; 6), B(3 ; 3) et C(6 ; 4) sont-ils alignés ?
On cherche d’abord une équation cartésienne de la droite (AB).
  • On a soit . La droite (AB) a donc pour équation : –3x – 1y + c = 0. On trouve c en utilisant le fait que  (AB). –32 – 16 + c = 0  d'où c = 12.
    L’équation de la droite (AB) est donc : –3x – y + 12 = 0.
  • On cherche ensuite si le point C appartient à la droite (AB), c’est-à-dire si ses coordonnées vérifient l’équation de (AB) :
    –36 – 14 + 12 = – 22 + 12 = – 10 0.
Le point C n’appartient donc pas à la droite (AB).
2. Algorithmique et programmation

La méthode vue précédemment nous fournit un algorithme pour déterminer l’alignement de trois points.

Algorithme
Fonction alignement(xA, yA, xB, yB, xC, yC)
a ← yB – yA
b ← –(xB – xA)
c ← –(a × xA + b × yA)

resultat ← a × xC + b × yC + c
Si
resultat=0 alors
  retourner “Les points sont alignés”
Sinon
  retourner “Les points ne sont pas alignés”
FinSI
FinFonction

En langage Python, on obtient le programme suivant :

Langage Python Interprétation
L1 def alignement(XA, YA, XB, YB, XC, YC):
L2    a= YB–YA
L3    b= –(XB–XA)
L4    c= –(a*XA+b*YA)
L5    resultat=a*XC+b*YC+c
L6    if (resultat==0):
L7      print("Les points sont alignés")
L8    else:
L9      print("Les points ne sont pas alignés")
L1 : On définit une fonction alignement de paramètres (XA, YA, XB, YB, XC, YC).

L2, L3 : On affecte dans la variable a l’ordonnée du vecteur directeur ; dans la variable b, l’opposé de l’abscisse du vecteur directeur.

L4 : on calcule le c de l’équation ax + by + c = 0 et on affecte le résultat dans la variable c.

L5 : On calcule ax + by + c si on remplace x et y par les coordonnées du point C et on stocke ce calcul dans la variable resultat.

Il y a deux possibilités.
L6, L7 : Si resultat = 0, on affiche “Les points sont alignés”.
L8, L9 : Si resultat ≠ 0, on affiche “Les points ne sont pas alignés”.

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