L'alignement des points
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- Déterminer l’alignement de trois points du plan à l’aide des cœfficients directeurs.
- Déterminer l’alignement de trois points du plan à l’aide des vecteurs directeurs.
- Déterminer l’alignement de trois points du plan à l’aide de l’équation cartésienne.
- Étudier l’alignement de trois points dans le plan à l’aide d’un algorithme.
- Les points A,
B et C sont alignés
⇔ (AB)
et (AC) ont le
même cœfficient directeur
.
- Les points A,
B et C sont alignés
⇔ (AB)
et (AC) ont des
vecteurs directeurs colinéaires ⇔ le
déterminant des vecteurs
et 
est nul.
- Les points A, B et C sont alignés ⇔ le point C appartient à la droite (AB).
- Savoir que la pente m de la droite (AB) vaut
.
- Savoir que les coordonnées du vecteur
sont
(xB – xA ; yB – yA). - Savoir trouver une équation cartésienne de la droite (AB).
- Une droite (d) a pour équation
cartésienne ax + by + c = 0
⇔ le vecteur
(–b ; a) est un vecteur directeur
de (d).
- Le déterminant des vecteur
et 
est égal à
xy' – x'y.
On se place dans le plan muni d’un repère
orthonormé 
.
Pour déterminer si trois points sont alignés, il existe plusieurs méthodes.
.
A(3 ; 7), B(0 ; –2) et C(1 ; 1) sont-ils alignés ?
Les deux cœfficients directeurs sont égaux à 3, donc A, B et C sont alignés.
A(1 ; 2), B(3 ; 0) et C(5 ; 1) sont-ils alignés ?
Les deux cœfficients directeurs sont différents, donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
⇔ (AB) et (AC) ont des vecteurs directeurs colinéaires
⇔ le déterminant des vecteurs
et est nul.
Les points A(3 ; 7), B(1 ; 3) et C(0 ; 1) sont-ils alignés ?
(1 – 3 ; 3 – 7)
soit (–2 ; –4)(0 – 3 ; 1 – 7)
soit (–3 ; –6)Le déterminant de
et de vaut :(–2) × (–6) – (–4) × (–3) =12 – 12 = 0.
Les vecteurs
et sont donc
colinéaires. Comme ils ont un point commun
A, on peut dire que
A, B et C sont alignés.
Les points A(2 ; 6), B(3 ; 3) et C(6 ; 4) sont-ils alignés ?
On cherche d’abord une équation cartésienne de la droite (AB).
- On a
soit 
. La droite
(AB) a donc
pour équation : –3x – 1y + c = 0.
On trouve c en utilisant le fait
que A 
(AB). –32 – 16 + c = 0
d'où c = 12.
L’équation de la droite (AB) est donc : –3x – y + 12 = 0. - On cherche ensuite si le point C appartient à la
droite (AB),
c’est-à-dire si ses coordonnées
vérifient l’équation de
(AB) :
–36 – 14 + 12 = – 22 + 12 = – 10 ≠ 0.
La méthode vue précédemment nous fournit un algorithme pour déterminer l’alignement de trois points.
| Algorithme |
|
Fonction alignement(xA,
yA, xB,
yB, xC,
yC)
a ← yB – yA b ← –(xB – xA) c ← –(a × xA + b × yA) resultat ← a × xC + b × yC + c Si resultat=0 alors retourner “Les points sont alignés” Sinon retourner “Les points ne sont pas alignés” FinSI FinFonction |
En langage Python, on obtient le programme suivant :
| Langage Python | Interprétation |
|
L1 def alignement(XA,
YA, XB, YB, XC, YC):
L2 a= YB–YA L3 b= –(XB–XA) L4 c= –(a*XA+b*YA) L5 resultat=a*XC+b*YC+c L6 if (resultat==0): L7 print("Les points sont alignés") L8 else: L9 print("Les points ne sont pas alignés") |
L1 : On définit une fonction
alignement de paramètres (XA, YA, XB, YB, XC, YC).
L2, L3 : On affecte dans la variable a l’ordonnée du vecteur directeur ; dans la variable b, l’opposé de l’abscisse du vecteur directeur. L4 : on calcule le c de l’équation ax + by + c = 0 et on affecte le résultat dans la variable c. L5 : On calcule ax + by + c si on remplace x et y par les coordonnées du point C et on stocke ce calcul dans la variable resultat. Il y a deux possibilités. L6, L7 : Si resultat = 0, on affiche “Les points sont alignés”. L8, L9 : Si resultat ≠ 0, on affiche “Les points ne sont pas alignés”. |
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