Droites parallèles et sécantes
Suivant la position des droites entre elles, il sera
intéressant de vérifier l'alignement de 3
points ou de déterminer leur point d'intersection
grâce à leurs équations.
Comment vérifier que 3 points sont alignés ? Comment vérifier que 2 droites sont sécantes ou parallèles ? Comment déterminer les coordonnées d'un point d'intersection de 2 droites ?
Comment vérifier que 3 points sont alignés ? Comment vérifier que 2 droites sont sécantes ou parallèles ? Comment déterminer les coordonnées d'un point d'intersection de 2 droites ?
1. Alignement de 3 points
Dire que 3 points A, B et C sont alignés,
signifie qu’ils appartiennent à une
même droite.
Soient 
,
et 
,
3 points du plan, avec 
et 
.
Les points A, B et C sont alignés
(AB) et (AC) ont le même coefficient
directeur.
,
et ,
3 points du plan, avec
et .Les points A, B et C sont alignés
(AB) et (AC) ont le même coefficient
directeur.
Exemples :
1) A(3 ;7) B(0 ;-2) et C(1 ;1) sont-ils alignés ?
Les deux coefficients directeurs sont égaux à 3, donc A, B et C sont alignés.
2) A(1 ;2) B(3 ;0) et C(5 ;1) sont-ils alignés ?
Les deux coefficients directeurs sont différents, donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Positions relatives des droites
Nous savons que toute droite admet une équation
réduite du type :
x = c, si elle est parallèle à l'axe des ordonnées;
y = px + d, si elle n'est parallèle à l'axe des ordonnées
On va donc distinguer 3 cas.
Cas 1 : Les droites d’équations x = c et x = k sont parallèles
Cas 2 : les droites d’équations x = c et y = px + d sont sécantes
Cas 3 : les droites d’équations y = px + d et y = p’x + d’ seront :
parallèles
p = p’ , c'est-à-dire si elles ont
le même coefficient directeur
sécantes
p ≠ p’ , c'est-à-dire si leurs
coefficients directeurs sont différents.
Remarque : il faudra parfois transformer l’équation de la droite en une équation réduite (du type y = px + d).
Exemples :
1) Position relative de (d1) : y = 3x + 5 et de (d2): y = 4x + 5 :
Le coefficient directeur de (d1) est 3. Le coefficient directeur de (d2) est 4.
Les 2 coefficients sont différents, les deux droites sont sécantes.
2) Position relative de (d1) : y = -5x + 2 et de (d2) : y = -5x +6 :
Le coefficient directeur de (d1) est -5. Le coefficient directeur de (d2) est -5.
Les 2 coefficients sont égaux, les droites sont parallèles.
3) Position relative de (d1) : x = 5 et de (d2) : x = - 3 :
(d1) et (d2) sont parallèles à l’axe des ordonnées, elles sont parallèles !
x = c, si elle est parallèle à l'axe des ordonnées;
y = px + d, si elle n'est parallèle à l'axe des ordonnées
On va donc distinguer 3 cas.
Cas 1 : Les droites d’équations x = c et x = k sont parallèles
Cas 2 : les droites d’équations x = c et y = px + d sont sécantes
Cas 3 : les droites d’équations y = px + d et y = p’x + d’ seront :
parallèles
p = p’ , c'est-à-dire si elles ont
le même coefficient directeursécantes
p ≠ p’ , c'est-à-dire si leurs
coefficients directeurs sont différents.Remarque : il faudra parfois transformer l’équation de la droite en une équation réduite (du type y = px + d).
Exemples :
1) Position relative de (d1) : y = 3x + 5 et de (d2): y = 4x + 5 :
Le coefficient directeur de (d1) est 3. Le coefficient directeur de (d2) est 4.
Les 2 coefficients sont différents, les deux droites sont sécantes.
2) Position relative de (d1) : y = -5x + 2 et de (d2) : y = -5x +6 :
Le coefficient directeur de (d1) est -5. Le coefficient directeur de (d2) est -5.
Les 2 coefficients sont égaux, les droites sont parallèles.
3) Position relative de (d1) : x = 5 et de (d2) : x = - 3 :
(d1) et (d2) sont parallèles à l’axe des ordonnées, elles sont parallèles !
3. Intersection de 2 droites sécantes
Soient (d1) et (d2) deux droites sécantes dont on
connaît les équations réduites.
D’après ce qui précède, il n’y a que deux possibilités pour les équations réduites des 2 droites :
Cas 1 : (d1) : x = c et (d2) : y = px + d.
Le point d’intersection a pour coordonnées (c ; pc + d).
Cas 2 : (d1) : y = px + d et (d2) : y = p’x + d’ avec p ≠ p’.
Pour trouver le point d'intersection, on résoud le système :
Deux méthodes nous permettent de résoudre ce système :
Exemple : Déterminer le point d'intersection des droites (d1) : 2x + y = 1
et (d2) : 3x + 2y = 2
Le point d’intersection a pour coordonnées (0 ;1).
et (d2) : 3x + 2y = 2
On va multiplier les 2 membres de la 1ère équation par 2.
On soustrait membre à membre pour éliminer les y :
4x - 3x = 2 - 2
1x = 0 
x = 0
On remplace x par 0 dans la 1ère équation :
Le point d’intersection a pour coordonnées (0 ;1).
Remarque : Ces méthodes s'appliquent aussi lorsque les équations de droites ne sont pas sous forme réduite.
Déterminer l’intersection de (d1) et
de(d2), c’est trouver les coordonnées
des points vérifiant à la fois
l’équation de (d1) et de (d2).
D’après ce qui précède, il n’y a que deux possibilités pour les équations réduites des 2 droites :
Cas 1 : (d1) : x = c et (d2) : y = px + d.
Le point d’intersection a pour coordonnées (c ; pc + d).
Cas 2 : (d1) : y = px + d et (d2) : y = p’x + d’ avec p ≠ p’.
Pour trouver le point d'intersection, on résoud le système :
Deux méthodes nous permettent de résoudre ce système :
1) la méthode de substitution :
On exprime y en fonction de x dans la 1ère équation et on substitue la valeur obtenue dans la 2nde équation pour trouver la valeur de x.
Puis on utilise la 1ère équation et la valeur de x pour trouver y
On exprime y en fonction de x dans la 1ère équation et on substitue la valeur obtenue dans la 2nde équation pour trouver la valeur de x.
Puis on utilise la 1ère équation et la valeur de x pour trouver y
Exemple : Déterminer le point d'intersection des droites (d1) : 2x + y = 1
et (d2) : 3x + 2y = 2
Le point d’intersection a pour coordonnées (0 ;1).
2) La méthode par combinaisons linéaires
:
On va multiplier par un coefficient adapté les 2 membres des 2 équations pour que les coefficients précédant y dans les 2 équations soient égaux.
Ensuite, on soustrait membre à membre pour éliminer les termes en y. On trouve la valeur de x. Puis on remplace x par cette valeur dans une des 2 équations pour trouver y.
Exemple : Déterminer le point
d'intersection des droites (d1) : 2x + y = 1On va multiplier par un coefficient adapté les 2 membres des 2 équations pour que les coefficients précédant y dans les 2 équations soient égaux.
Ensuite, on soustrait membre à membre pour éliminer les termes en y. On trouve la valeur de x. Puis on remplace x par cette valeur dans une des 2 équations pour trouver y.
et (d2) : 3x + 2y = 2
On va multiplier les 2 membres de la 1ère équation par 2.
On soustrait membre à membre pour éliminer les y :
4x - 3x = 2 - 2
1x = 0 x = 0On remplace x par 0 dans la 1ère équation :
Le point d’intersection a pour coordonnées (0 ;1).
Remarque : Ces méthodes s'appliquent aussi lorsque les équations de droites ne sont pas sous forme réduite.
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