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Droites parallèles et sécantes

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Objectifs

Déterminer si deux droites sont parallèles ou sécantes.
Déterminer le point d’intersection de deux droites sécantes.

Points clés

Étudier la position relative de deux droites, c’est déterminer si ces deux droites sont parallèles ou sécantes.
On peut étudier la position relative de deux droites à partir de leurs équations réduites. Soient c, d, d', k, p et p' des réels.
- Les droites d’équations x = c et x = k sont parallèles.
- Les droites d’équations x = c et y = px + d sont sécantes.
- Les droites d’équations y = px + d et y = p'x + d' sont parallèles p = p', c’est-à-dire si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
- Les droites d’équations y = px + d et y = p'x + d’ sont sécantes p ≠ p', c’est-à-dire si et seulement si leurs coefficients directeurs sont différents.
On peut étudier la position relative de deux droites à partir de leurs équations cartésiennes. Soient (d) la droite de vecteur directeur et (d') la droite de vecteur directeur .
- Les droites (d) et (d') sont parallèles et sont colinéaires, c’est-à-dire si et seulement si le déterminant de et de est nul.
- Les droites (d) et (d') sont sécantes et ne sont pas colinéaires, c’est-à-dire si et seulement si le déterminant de et de n’est pas nul.
Déterminer l’intersection de (d₁) et de (d₂), c’est trouver les coordonnées du point vérifiant à la fois l’équation de (d₁) et celle de (d₂).

Pour bien comprendre

Savoir que les coordonnées du vecteur sont : (x_B − x_A ; y_B − y_A)
Savoir trouver une équation cartésienne de la droite (AB)
Savoir que le vecteur est un vecteur directeur de la droite d’équation ax + by + c = 0
Savoir que le déterminant des vecteurs et est égal à : xy' − x'y
Savoir résoudre un système

On considère le plan muni d’un repère orthonormé .

1. Étude de la position relative de deux droites

Étudier la position relative de deux droites, c’est déterminer si ces droites sont parallèles ou sécantes.

a. Déterminer la position relative de deux droites à partir de leurs équations réduites

Soient c, p et d des réels. Toute droite admet une équation réduite du type :

x = c, si elle est parallèle à l’axe des ordonnées ;
y = px + d, si elle n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées.

Exemple

Remarques

Deux droites confondues sont parallèles entre elles. Autrement dit, toute droite est parallèle à elle-même.
La droite d’équation x = 0 est confondue (et parallèle) à l’axe des ordonnées.
Une droite d’équation y = px + d est parallèle à l’axe des abscisses si p = 0.

Soient c, d, d', k, p et p' des réels.

Les droites d’équations x = c et x = k sont parallèles.
Les droites d’équations x = c et y = px + d sont sécantes.
Les droites d’équations y = px + d et y' = p'x + d' sont parallèles p = p', c'est-à-dire si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
Les droites d’équations y = px + d et y' = p'x + d’ sont sécantes p ≠ p', c'est-à-dire si et seulement si leurs coefficients directeurs sont différents.


Droites x = c et x = k	Droites x = c et y = px + d

Droites y = px + d et y' = px + d'	Droites y = px + d et y' = p'x + d'

Exemple 1
Indiquer la position relative de (d₁) : y = 3x + 5 et de (d₂) : y = 4x + 5.
Le coefficient directeur de (d₁) est 3, celui de (d₂) est 4.
Les 2 coefficients directeurs sont différents, donc les droites sont sécantes.

Exemple 2
Indiquer la position relative de (d₁) : y = −5x + 2 et de (d₂) : y = −5x + 6.
Le coefficient directeur de (d₁) est −5, celui de (d₂) est −5.
Les 2 coefficients directeurs sont égaux, donc les droites sont parallèles.

Exemple 3
Indiquer la position relative de (d₁) : x = 5 et de (d₂) : x = −3.
(d₁) et (d₂) sont toutes les deux parallèles à l’axe des ordonnées, elles sont donc parallèles entre elles.

b. Déterminer la position relative de deux droites à partir de leurs équations cartésiennes

Rappel
Le vecteur

est un vecteur directeur de la droite d’équation ax + by + c = 0.

Soient (d) la droite de vecteur directeur

et (d') la droite de vecteur directeur

Les droites (d) et (d') sont parallèles si et seulement si et sont colinéaires, c’est-à-dire si et seulement si le déterminant de et de est nul.
Les droites (d) et (d') sont sécantes si et seulement si et ne sont pas colinéaires, c’est-à-dire si et seulement si le déterminant de et de n’est pas nul.


(d) et (d') sont parallèles	(d) et (d') sont sécantes

Exemple
Soient (d) : 3x – 2y + 5 = 0 et (d') : 9x + 5y – 4 = 0. Indiquer la position relative de (d) et (d').
Un vecteur directeur de (d) est

.
Un vecteur directeur de (d') est

= 2 × 9 − 3 × (−5) = 18 + 15 = 33 ≠ 0
Les vecteurs

ne sont pas colinéaires. Donc les droites (d) et (d') sont sécantes.

2. Point d'intersection de deux droites sécantes

a. Définition

Soient (d₁) et (d₂) deux droites sécantes dont on connait les équations. Déterminer le point d’intersection de (d₁) et de (d₂), c’est trouver les coordonnées du point vérifiant à la fois l’équation de (d₁) et celle de (d₂).

Pour cela, il faut établir un système formé par les équations des deux droites et résoudre ce système.

Il existe deux méthodes différentes pour résoudre un système d’équations.

b. Résolution d'un système d'équations par substitution

Méthode par substitution
Pour résoudre par substitution un système de deux équations à deux inconnues, il faut :

exprimer y en fonction de x dans l’une des équations, notée équation (1) ;
substituer la valeur de y obtenue dans l’autre équation, notée équation (2), pour trouver la valeur de x ;
utiliser l’équation (1) et la valeur de x pour trouver y.

On a ainsi obtenu les valeurs de x et y et on a résolu le système.

Exemple
Déterminer le point d’intersection des droites
(d₁) : 2x + y = 1 et (d₂) : 3x + 2y = 2.

Établissement et résolution du système	Explications
	On traduit les données de l’énoncé en système de deux équations à deux inconnues.
	1. On exprime y en fonction de x dans l’équation (1).
	2. On substitue la valeur de y obtenue dans l’équation (2).
	Dans l’équation (2), on développe et on réduit l’expression.
	3. Dans l’équation (2), on obtient la valeur de x. On remplace cette valeur de x dans l’équation (1) pour obtenir la valeur de y.

Conclusion : le point d’intersection de (d₁) et de (d₂) a pour coordonnées (0 ; 1).

c. Résolution d'un système d'équations par combinaisons linéaires

Méthode par combinaisons linéaires
Pour résoudre par combinaisons linéaires un système de deux équations à deux inconnues, il faut :

multiplier par un coefficient adapté les deux membres de l’une des équations pour que les coefficients de y soient égaux dans les deux équations ;
soustraire les deux équations l’une à l’autre, membre par membre, pour éliminer les termes en y. On trouve la valeur de x ;
remplacer x par sa valeur dans l'une des deux équations initiales pour trouver y.

Exemple
Déterminer le point d’intersection des droites
(d₁) : 2x + y = 1 et (d₂) : 3x + 2y = 2.

Établissement et résolution du système	Explications
	On traduit les données de l’énoncé en un système de deux équations à deux inconnues.
	1. On multiplie l’équation (1) par 2. y a ainsi le même coefficient 2 dans les équations (1) et (2).
	2. On soustrait (2) à (1) membre par membre pour éliminer les y. On trouve la valeur de x.
	3. On remplace x par 0 dans l’équation (1) initiale. On trouve la valeur de y.