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Droites parallèles et sécantes

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Suivant la position des droites entre elles, il sera intéressant de vérifier l'alignement de 3 points ou de déterminer leur point d'intersection grâce à leurs équations.

Comment vérifier que 3 points sont alignés ? Comment vérifier que 2 droites sont sécantes ou parallèles ? Comment déterminer les coordonnées d'un point d'intersection de 2 droites ?

1. Alignement de 3 points

Dire que 3 points A, B et C sont alignés, signifie qu’ils appartiennent à une même droite.

Soient

, 3 points du plan, avec

.
Les points A, B et C sont alignés

(AB) et (AC) ont le même coefficient directeur.

Exemples :
1) A(3 ;7) B(0 ;-2) et C(1 ;1) sont-ils alignés ?

Les deux coefficients directeurs sont égaux à 3, donc A, B et C sont alignés.

2) A(1 ;2) B(3 ;0) et C(5 ;1) sont-ils alignés ?

Les deux coefficients directeurs sont différents, donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Positions relatives des droites

Nous savons que toute droite admet une équation réduite du type :
x = c, si elle est parallèle à l'axe des ordonnées;
y = px + d, si elle n'est parallèle à l'axe des ordonnées

On va donc distinguer 3 cas.

Cas 1 : Les droites d’équations x = c et x = k sont parallèles

Cas 2 : les droites d’équations x = c et y = px + d sont sécantes

Cas 3 : les droites d’équations y = px + d et y = p’x + d’ seront :
parallèles

p = p’ , c'est-à-dire si elles ont le même coefficient directeur
sécantes

p ≠ p’ , c'est-à-dire si leurs coefficients directeurs sont différents.

Remarque : il faudra parfois transformer l’équation de la droite en une équation réduite (du type y = px + d).

Exemples :
1) Position relative de (d1) : y = 3x + 5 et de (d2): y = 4x + 5 :

Le coefficient directeur de (d1) est 3. Le coefficient directeur de (d2) est 4.
Les 2 coefficients sont différents, les deux droites sont sécantes.

2) Position relative de (d1) : y = -5x + 2 et de (d2) : y = -5x +6 :

Le coefficient directeur de (d1) est -5. Le coefficient directeur de (d2) est -5.
Les 2 coefficients sont égaux, les droites sont parallèles.

3) Position relative de (d1) : x = 5 et de (d2) : x = - 3 :

(d1) et (d2) sont parallèles à l’axe des ordonnées, elles sont parallèles !

3. Intersection de 2 droites sécantes

Soient (d1) et (d2) deux droites sécantes dont on connaît les équations réduites.

Déterminer l’intersection de (d1) et de(d2), c’est trouver les coordonnées des points vérifiant à la fois l’équation de (d1) et de (d2).

D’après ce qui précède, il n’y a que deux possibilités pour les équations réduites des 2 droites :

Cas 1 : (d1) : x = c et (d2) : y = px + d.
Le point d’intersection a pour coordonnées (c ; pc + d).

Cas 2 : (d1) : y = px + d et (d2) : y = p’x + d’ avec p ≠ p’.

Pour trouver le point d'intersection, on résoud le système :

Deux méthodes nous permettent de résoudre ce système :

1) la méthode de substitution :
On exprime y en fonction de x dans la 1ère équation et on substitue la valeur obtenue dans la 2nde équation pour trouver la valeur de x.
Puis on utilise la 1ère équation et la valeur de x pour trouver y

Exemple : Déterminer le point d'intersection des droites (d1) : 2x + y = 1
et (d2) : 3x + 2y = 2

Le point d’intersection a pour coordonnées (0 ;1).

2) La méthode par combinaisons linéaires :
On va multiplier par un coefficient adapté les 2 membres des 2 équations pour que les coefficients précédant y dans les 2 équations soient égaux.
Ensuite, on soustrait membre à membre pour éliminer les termes en y. On trouve la valeur de x. Puis on remplace x par cette valeur dans une des 2 équations pour trouver y.

Exemple : Déterminer le point d'intersection des droites (d1) : 2x + y = 1
et (d2) : 3x + 2y = 2

On va multiplier les 2 membres de la 1ère équation par 2.

On soustrait membre à membre pour éliminer les y :
4x - 3x = 2 - 2

1x = 0 x = 0

On remplace x par 0 dans la 1ère équation :

Le point d’intersection a pour coordonnées (0 ;1).

Remarque : Ces méthodes s'appliquent aussi lorsque les équations de droites ne sont pas sous forme réduite.

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