Droites parallèles et sécantes
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Déterminer si deux droites sont parallèles ou sécantes.
- Déterminer le point d’intersection de deux droites sécantes.
- Étudier la position relative de deux droites, c’est déterminer si ces deux droites sont parallèles ou sécantes.
- On peut étudier la position relative de deux
droites à partir de leurs équations
réduites. Soient c, d, d', k, p et p' des réels.
- Les droites d’équations x = c et x = k sont parallèles.
- Les droites d’équations x = c et y = px + d sont sécantes.
- Les droites d’équations
y = px + d
et y = p'x + d'
sont parallèles
p = p',
c’est-à-dire si et seulement si elles
ont le même coefficient directeur.
- Les droites d’équations
y = px + d
et y = p'x + d’
sont sécantes
p ≠ p',
c’est-à-dire si et seulement si leurs
coefficients directeurs sont différents.
-
On peut étudier la position relative de deux
droites à partir de
leurs équations cartésiennes.
Soient (d) la droite de
vecteur directeur
et (d') la droite de
vecteur directeur 
.
- Les droites (d)
et (d')
sont parallèles
et sont colinéaires,
c’est-à-dire si et seulement si le
déterminant de et de est nul.
- Les droites (d)
et (d')
sont sécantes
et ne sont pas
colinéaires, c’est-à-dire si et
seulement si le déterminant
de et de n’est pas nul.
- Les droites (d)
et (d')
sont parallèles
- Déterminer l’intersection de (d1) et de (d2), c’est trouver les coordonnées du point vérifiant à la fois l’équation de (d1) et celle de (d2).
- Savoir que les coordonnées du
vecteur
sont : (xB − xA ; yB − yA)
- Savoir trouver une équation cartésienne de la droite (AB)
- Savoir que le vecteur
est un vecteur directeur de la
droite d’équation ax + by + c = 0
- Savoir que le déterminant des
vecteurs
et 
est égal
à : xy' − x'y
- Savoir résoudre un système
On considère le plan muni d’un repère
orthonormé 
.
Soient c, p et d des réels. Toute droite admet une équation réduite du type :
- x = c, si elle est parallèle à l’axe des ordonnées ;
- y = px + d, si elle n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées.
Exemple
- Deux droites confondues sont parallèles entre elles. Autrement dit, toute droite est parallèle à elle-même.
- La droite d’équation x = 0 est confondue (et parallèle) à l’axe des ordonnées.
- Une droite d’équation y = px + d est parallèle à l’axe des abscisses si p = 0.
- Les droites d’équations x = c et x = k sont parallèles.
- Les droites d’équations x = c et y = px + d sont sécantes.
- Les droites d’équations
y = px + d
et y' = p'x + d'
sont parallèles
p = p',
c'est-à-dire si et seulement si elles ont le
même coefficient directeur.
- Les droites d’équations
y = px + d
et y' = p'x + d’
sont sécantes
p ≠ p',
c'est-à-dire si et seulement si leurs
coefficients directeurs sont différents.
|
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| Droites x = c et x = k | Droites x = c et y = px + d |
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| Droites y = px + d et y' = px + d' | Droites y = px + d et y' = p'x + d' |
Indiquer la position relative de (d1) : y = 3x + 5 et de (d2) : y = 4x + 5.
Le coefficient directeur de (d1) est 3, celui de (d2) est 4.
Les 2 coefficients directeurs sont différents, donc les droites sont sécantes.
Indiquer la position relative de (d1) : y = −5x + 2 et de (d2) : y = −5x + 6.
Le coefficient directeur de (d1) est −5, celui de (d2) est −5.
Les 2 coefficients directeurs sont égaux, donc les droites sont parallèles.
Indiquer la position relative de (d1) : x = 5 et de (d2) : x = −3.
(d1) et (d2) sont toutes les deux parallèles à l’axe des ordonnées, elles sont donc parallèles entre elles.
Le vecteur
est un vecteur
directeur de la droite d’équation
ax + by + c = 0.
et (d') la droite de
vecteur directeur .
- Les droites (d)
et (d') sont
parallèles si et seulement si et sont
colinéaires, c’est-à-dire si et
seulement si le déterminant
de et
de est nul.
- Les droites (d)
et (d') sont
sécantes si et seulement si et ne sont pas
colinéaires, c’est-à-dire si et
seulement si le déterminant
de et
de n’est
pas nul.
|
|
| (d) et (d') sont parallèles | (d) et (d') sont sécantes |
Soient (d) : 3x – 2y + 5 = 0 et (d') : 9x + 5y – 4 = 0. Indiquer la position relative de (d) et (d').
Un vecteur directeur de (d) est
.Un vecteur directeur de (d') est
.
= 2 × 9 − 3 × (−5) = 18 + 15 = 33 ≠ 0Les vecteurs
et ne sont pas colinéaires.
Donc les droites (d) et (d') sont
sécantes.
Pour cela, il faut établir un système formé par les équations des deux droites et résoudre ce système.
Il existe deux méthodes différentes pour résoudre un système d’équations.
Pour résoudre par substitution un système de deux équations à deux inconnues, il faut :
- exprimer y en fonction de x dans l’une des équations, notée équation (1) ;
- substituer la valeur de y obtenue dans l’autre équation, notée équation (2), pour trouver la valeur de x ;
- utiliser l’équation (1) et la valeur de x pour trouver y.
Déterminer le point d’intersection des droites
(d1) : 2x + y = 1 et (d2) : 3x + 2y = 2.
| Établissement et résolution du système | Explications |
|
On traduit les données de l’énoncé en système de deux équations à deux inconnues. |
|
1. On exprime y en fonction de x dans l’équation (1). |
|
2. On substitue la valeur de y obtenue dans l’équation (2). |
  
|
Dans l’équation (2), on développe et on réduit l’expression. |
 
|
3. Dans l’équation (2), on obtient la valeur de x. On remplace cette valeur de x dans l’équation (1) pour obtenir la valeur de y. |
Pour résoudre par combinaisons linéaires un système de deux équations à deux inconnues, il faut :
- multiplier par un coefficient adapté les deux membres de l’une des équations pour que les coefficients de y soient égaux dans les deux équations ;
- soustraire les deux équations l’une à l’autre, membre par membre, pour éliminer les termes en y. On trouve la valeur de x ;
- remplacer x par sa valeur dans l'une des deux équations initiales pour trouver y.
Déterminer le point d’intersection des droites
(d1) : 2x + y = 1 et (d2) : 3x + 2y = 2.
| Établissement et résolution du système | Explications |
|
On traduit les données de l’énoncé en un système de deux équations à deux inconnues. |
 
|
1. On multiplie l’équation (1) par 2. y a ainsi le même coefficient 2 dans les équations (1) et (2). |
  
|
2. On soustrait (2) à (1) membre par membre pour éliminer les y. On trouve la valeur de x. |
|
3. On remplace x par 0 dans l’équation (1) initiale. On trouve la valeur de y. |
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