Droites parallèles et sécantes
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Déterminer si deux droites sont parallèles ou sécantes.
- Déterminer le point d’intersection de deux droites sécantes.
- Étudier la position relative de deux droites, c’est déterminer si ces deux droites sont parallèles ou sécantes.
- On peut étudier la position relative de deux
droites à partir de leurs équations
réduites. Soient c, d, d', k, p et p' des réels.
- Les droites d’équations x = c et x = k sont parallèles.
- Les droites d’équations x = c et y = px + d sont sécantes.
- Les droites d’équations
y = px + d
et y = p'x + d'
sont parallèles
p = p',
c’est-à-dire si et seulement si elles
ont le même coefficient directeur.
- Les droites d’équations
y = px + d
et y = p'x + d’
sont sécantes
p ≠ p',
c’est-à-dire si et seulement si leurs
coefficients directeurs sont différents.
-
On peut étudier la position relative de deux
droites à partir de
leurs équations cartésiennes.
Soient (d) la droite de
vecteur directeur
et (d') la droite de
vecteur directeur 
.
- Les droites (d)
et (d')
sont parallèles
et sont colinéaires,
c’est-à-dire si et seulement si le
déterminant de et de est nul.
- Les droites (d)
et (d')
sont sécantes
et ne sont pas
colinéaires, c’est-à-dire si et
seulement si le déterminant
de et de n’est pas nul.
- Les droites (d)
et (d')
sont parallèles
- Déterminer l’intersection de (d1) et de (d2), c’est trouver les coordonnées du point vérifiant à la fois l’équation de (d1) et celle de (d2).
- Savoir que les coordonnées du
vecteur
sont : (xB − xA ; yB − yA)
- Savoir trouver une équation cartésienne de la droite (AB)
- Savoir que le vecteur
est un vecteur directeur de la
droite d’équation ax + by + c = 0
- Savoir que le déterminant des
vecteurs
et 
est égal
à : xy' − x'y
- Savoir résoudre un système
On considère le plan muni d’un repère
orthonormé 
.
Soient c, p et d des réels. Toute droite admet une équation réduite du type :
- x = c, si elle est parallèle à l’axe des ordonnées ;
- y = px + d, si elle n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées.
Exemple
- Deux droites confondues sont parallèles entre elles. Autrement dit, toute droite est parallèle à elle-même.
- La droite d’équation x = 0 est confondue (et parallèle) à l’axe des ordonnées.
- Une droite d’équation y = px + d est parallèle à l’axe des abscisses si p = 0.
- Les droites d’équations x = c et x = k sont parallèles.
- Les droites d’équations x = c et y = px + d sont sécantes.
- Les droites d’équations
y = px + d
et y' = p'x + d'
sont parallèles
p = p',
c'est-à-dire si et seulement si elles ont le
même coefficient directeur.
- Les droites d’équations
y = px + d
et y' = p'x + d’
sont sécantes
p ≠ p',
c'est-à-dire si et seulement si leurs
coefficients directeurs sont différents.
|
|
| Droites x = c et x = k | Droites x = c et y = px + d |
|
|
| Droites y = px + d et y' = px + d' | Droites y = px + d et y' = p'x + d' |
Indiquer la position relative de (d1) : y = 3x + 5 et de (d2) : y = 4x + 5.
Le coefficient directeur de (d1) est 3, celui de (d2) est 4.
Les 2 coefficients directeurs sont différents, donc les droites sont sécantes.
Indiquer la position relative de (d1) : y = −5x + 2 et de (d2) : y = −5x + 6.
Le coefficient directeur de (d1) est −5, celui de (d2) est −5.
Les 2 coefficients directeurs sont égaux, donc les droites sont parallèles.
Indiquer la position relative de (d1) : x = 5 et de (d2) : x = −3.
(d1) et (d2) sont toutes les deux parallèles à l’axe des ordonnées, elles sont donc parallèles entre elles.
Le vecteur
est un vecteur
directeur de la droite d’équation
ax + by + c = 0.
et (d') la droite de
vecteur directeur .
- Les droites (d)
et (d') sont
parallèles si et seulement si et sont
colinéaires, c’est-à-dire si et
seulement si le déterminant
de et
de est nul.
- Les droites (d)
et (d') sont
sécantes si et seulement si et ne sont pas
colinéaires, c’est-à-dire si et
seulement si le déterminant
de et
de n’est
pas nul.
|
|
| (d) et (d') sont parallèles | (d) et (d') sont sécantes |
Soient (d) : 3x – 2y + 5 = 0 et (d') : 9x + 5y – 4 = 0. Indiquer la position relative de (d) et (d').
Un vecteur directeur de (d) est
.Un vecteur directeur de (d') est
.
= 2 × 9 − 3 × (−5) = 18 + 15 = 33 ≠ 0Les vecteurs
et ne sont pas colinéaires.
Donc les droites (d) et (d') sont
sécantes.
Pour cela, il faut établir un système formé par les équations des deux droites et résoudre ce système.
Il existe deux méthodes différentes pour résoudre un système d’équations.
Pour résoudre par substitution un système de deux équations à deux inconnues, il faut :
- exprimer y en fonction de x dans l’une des équations, notée équation (1) ;
- substituer la valeur de y obtenue dans l’autre équation, notée équation (2), pour trouver la valeur de x ;
- utiliser l’équation (1) et la valeur de x pour trouver y.
Déterminer le point d’intersection des droites
(d1) : 2x + y = 1 et (d2) : 3x + 2y = 2.
| Établissement et résolution du système | Explications |
|
On traduit les données de l’énoncé en système de deux équations à deux inconnues. |
|
1. On exprime y en fonction de x dans l’équation (1). |
|
2. On substitue la valeur de y obtenue dans l’équation (2). |
  
|
Dans l’équation (2), on développe et on réduit l’expression. |
 
|
3. Dans l’équation (2), on obtient la valeur de x. On remplace cette valeur de x dans l’équation (1) pour obtenir la valeur de y. |
Pour résoudre par combinaisons linéaires un système de deux équations à deux inconnues, il faut :
- multiplier par un coefficient adapté les deux membres de l’une des équations pour que les coefficients de y soient égaux dans les deux équations ;
- soustraire les deux équations l’une à l’autre, membre par membre, pour éliminer les termes en y. On trouve la valeur de x ;
- remplacer x par sa valeur dans l'une des deux équations initiales pour trouver y.
Déterminer le point d’intersection des droites
(d1) : 2x + y = 1 et (d2) : 3x + 2y = 2.
| Établissement et résolution du système | Explications |
|
On traduit les données de l’énoncé en un système de deux équations à deux inconnues. |
 
|
1. On multiplie l’équation (1) par 2. y a ainsi le même coefficient 2 dans les équations (1) et (2). |
  
|
2. On soustrait (2) à (1) membre par membre pour éliminer les y. On trouve la valeur de x. |
|
3. On remplace x par 0 dans l’équation (1) initiale. On trouve la valeur de y. |
Évalue ce cours !
Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.
Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer
Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !
Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.
Des quiz pour une évaluation en direct
Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.
myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.
Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment
Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.
Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !
Des podcasts pour les révisions
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.
Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.
Des vidéos de cours pour comprendre en image
Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !
Fiches de cours les plus recherchées
Fermer
Accédez gratuitement à
