Les configurations du plan - Maxicours

Les configurations du plan

Objectifs
  • Rappeler plusieurs notions abordées au collège pour déterminer des longueurs : symétrie axiale, symétrie centrale, médiatrice d'un segment, théorème de Pythagore, théorème de Thalès.
  • Rappeler plusieurs notions abordées au collège pour déterminer des angles : symétrie axiale, symétrie centrale, vocabulaire sur les angles.
  • Rappeler plusieurs notions abordées au collège pour déterminer des aires : symétrie axiale, symétrie centrale.
Points clés
  • La symétrie axiale conserve les longueurs, les mesures d'angles et les aires.
  • La symétrie centrale conserve les longueurs, les mesures d'angles et les aires.
  • Si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
  • Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leur mesure est égale à 90°.
  • Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leur mesure est égale à 180°.
  • Si les droites (d) et (d’) sont parallèles, alors les angles correspondants (et les angles alternes-internes) sont de même mesure.
  • Deux angles opposés par le sommet sont de même mesure.
  • Théorème de Pythagore : si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
  • Théorème de Thalès : soient A, B, C trois points alignés et A, B’, C’ trois points alignés. 
  • On suppose que tous ces points sont distincts deux à deux.

    Si les droites (BB’) et (CC’) sont parallèles, alors on a .
Pour bien comprendre

Connaitre les bases de la symétrie axiale et centrale

1. Symétrie
a. Symétrie axiale
Deux figures sont symétriques par rapport à une droite si elles se superposent en pliant suivant cette droite. Cette droite est appelée axe de symétrie.
Propriété
La symétrie axiale conserve les longueurs, les mesures d’angles et les aires.
Exemple


Sur la figure ci-dessus,
  • A’ est le symétrique de A, B’ est le symétrique de B,
    donc [A’B’] est le symétrique de [AB].
    Comme la symétrie axiale conserve les longueurs,
    alors A’B’ = AB = 4,7.
  • C’ est le symétrique de C, D’ est le symétrique de D, E’ est le symétrique de E,
    donc est le symétrique de .
    Comme la symétrie axiale conserve les angles,
    alors .
  • Les figures ABCDE et A’B’C’D’E’ sont symétriques par rapport à la droite (d).
    Comme la symétrie axiale conserve les aires,
    alors .
b. Symétrie centrale
Deux figures sont symétriques par rapport à un point si elles se superposent en effectuant un demi-tour autour de ce point. Ce point est appelée centre de symétrie.
Propriété
La symétrie centrale conserve les longueurs, les mesures d’angles et les aires.
Exemple


Sur la figure ci-dessus,
  • A’ est le symétrique de A, B’ est le symétrique de B,
    donc [A’B’] est le symétrique de [AB].
    Comme la symétrie centrale conserve les longueurs,
    alors A’B’ = AB = 5.
  • C’ est le symétrique de C, D’ est le symétrique de D, E’ est le symétrique de E,
    donc est le symétrique de .
    Comme la symétrie centrale conserve les angles,
    alors .
  • Les figures ABCDE et A’B’C’D’E’ sont symétriques par rapport au point O.
    Comme la symétrie centrale conserve les aires,
    alors .
2. Médiatrice d'un segment
La médiatrice d’un segment est la droite coupant ce segment perpendiculairement en son milieu.
Propriété
Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
Exemple


Sur la figure ci-dessus,

  • Comme la droite (d) coupe le segment [AB] perpendiculairement en son milieu, alors (d) est la médiatrice de [AB].
  • Comme le point M appartient à la médiatrice du segment [AB], alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
    Donc MA = MB.
3. Angles
a. Angles complémentaires et angles supplémentaires
Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leur mesure est égale à 90°.
Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leur mesure est égale à 180°.
b. Angles opposés par le sommet, angles alternes-internes et correspondants

Dans le plan, soient deux droites (d) et (d’) coupées par une sécante (a).

  • Les angles A1 et A2 sont opposés par le sommet (ainsi que les angles A3 et A4).
  • Les angles A1 et A3 sont correspondants pour les droites (d) et (d’) coupées par la sécante (a) (ainsi que les angles A2 et A4).
  • Les angles A1 et A4 sont alternes-internes pour les droites (d) et (d’) coupées par la sécante (a).
Propriétés
  • Si les droites (d) et (d’) sont parallèles, alors les angles correspondants (et les angles alternes-internes) sont de même mesure.
  • Deux angles opposés par le sommet sont de même mesure.
4. Théorème de Pythagore
Théorème de Pythagore
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Sur la figure ci-dessous, a2 = b2 + c2

Application
Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle connaissant les deux autres.

Exemple 1
Les longueurs sont en cm. Calculer la longueur BC (arrondie au mm).

Le triangle ABC est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore,
BC² = AB² + AC²
BC² = 3,4² + 6,7²
BC² = 11,56 + 44,89
BC² = 56,45
BC =  cm (valeur exacte) 
BC  7,5 cm (valeur arrondie au mm)
Exemple 2
Les longueurs sont en cm. Calculer la longueur AB (arrondie au mm).

Le triangle ABC est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore,
BC² = AB² + AC²
7,72² = 3,12² + AB²
59,5984 = 9,7344 + AB²
AB² = 59,5984 – 9,7344
AB² = 49,864
AB =  m (valeur exacte) 
BC  7,06 m (valeur arrondie au cm)
5. Théorème de Thalès
Théorème de Thalès
Soient A, B, C trois points alignés et A, B’, C’ trois points alignés.
On suppose que tous ces points sont distincts deux à deux.

Si les droites (BB’) et (CC’) sont parallèles, alors on a .

Deux cas de figures sont possibles selon que A est, ou non, entre les points B et C.

Figure 1 Figure 2

Application
Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs sur une figure comportant des droites parallèles.

Exemple
Sur la figure ci-dessous, les droites (IJ) et (ED) sont parallèles.
On donne AJ = 5 cm, AE = 6 cm et AD = 8 cm. Calculer AI.

Les points A, I et D sont alignés. Les points A, J et E sont alignés. Les droites (IJ) et (ED) sont parallèles. On peut donc appliquer le théorème de Thalès qui s’exprime ici par :

On connait AJ, AE et AD et on cherche AI. On garde donc les deux premiers rapports .
En remplaçant, on obtient :

D’où AI = (arrondi au dixième).

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