Les configurations du plan
- Rappeler plusieurs notions abordées au collège pour déterminer des longueurs : symétrie axiale, symétrie centrale, médiatrice d'un segment, théorème de Pythagore, théorème de Thalès.
- Rappeler plusieurs notions abordées au collège pour déterminer des angles : symétrie axiale, symétrie centrale, vocabulaire sur les angles.
- Rappeler plusieurs notions abordées au collège pour déterminer des aires : symétrie axiale, symétrie centrale.
- La symétrie axiale conserve les longueurs, les mesures d'angles et les aires.
- La symétrie centrale conserve les longueurs, les mesures d'angles et les aires.
- Si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
- Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leur mesure est égale à 90°.
- Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leur mesure est égale à 180°.
- Si les droites (d) et (d’) sont parallèles, alors les angles correspondants (et les angles alternes-internes) sont de même mesure.
- Deux angles opposés par le sommet sont de même mesure.
- Théorème de Pythagore : si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
- Théorème de Thalès : soient A, B, C trois points alignés et A, B’, C’ trois points alignés.
- On suppose que tous ces points
sont distincts deux à deux.
Si les droites (BB’) et (CC’) sont parallèles, alors on a
.
Connaitre les bases de la symétrie axiale et centrale
La symétrie axiale conserve les longueurs, les mesures d’angles et les aires.
Sur la figure ci-dessus,
- A’ est le symétrique de A, B’
est le symétrique de B,
donc [A’B’] est le symétrique de [AB].
Comme la symétrie axiale conserve les longueurs,
alors A’B’ = AB = 4,7. - C’ est le symétrique de C, D’
est le symétrique de D, E’ est le
symétrique de E,
donc
est le
symétrique de 
.
Comme la symétrie axiale conserve les angles,
alors
.
- Les figures ABCDE et
A’B’C’D’E’ sont
symétriques par rapport à la droite
(d).
Comme la symétrie axiale conserve les aires,
alors
.
La symétrie centrale conserve les longueurs, les mesures d’angles et les aires.
Sur la figure ci-dessus,
- A’ est le symétrique de A, B’
est le symétrique de B,
donc [A’B’] est le symétrique de [AB].
Comme la symétrie centrale conserve les longueurs,
alors A’B’ = AB = 5. - C’ est le symétrique de C, D’
est le symétrique de D, E’ est le
symétrique de E,
donc
est le
symétrique de 
.
Comme la symétrie centrale conserve les angles,
alors
.
- Les figures ABCDE et
A’B’C’D’E’ sont
symétriques par rapport au point O.
Comme la symétrie centrale conserve les aires,
alors
.
Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
Sur la figure ci-dessus,
- Comme la droite (d) coupe le segment [AB] perpendiculairement en son milieu, alors (d) est la médiatrice de [AB].
- Comme le point M appartient à la
médiatrice du segment [AB], alors il est
équidistant des extrémités de ce
segment.
Donc MA = MB.
Dans le plan, soient deux droites (d) et (d’) coupées par une sécante (a).
- Les angles A1 et A2 sont opposés par le sommet (ainsi que les angles A3 et A4).
- Les angles A1 et A3 sont correspondants pour les droites (d) et (d’) coupées par la sécante (a) (ainsi que les angles A2 et A4).
- Les angles A1 et A4 sont alternes-internes pour les droites (d) et (d’) coupées par la sécante (a).
- Si les droites (d) et (d’) sont parallèles, alors les angles correspondants (et les angles alternes-internes) sont de même mesure.
- Deux angles opposés par le sommet sont de même mesure.
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Sur la figure ci-dessous, a2 = b2 + c2.
Application
Le théorème de Pythagore permet de calculer la
longueur d’un côté d’un triangle
rectangle connaissant les deux autres.
Les longueurs sont en cm. Calculer la longueur BC (arrondie au mm).
Le triangle ABC est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore,
BC² = AB² + AC²
BC² = 3,4² + 6,7²
BC² = 11,56 + 44,89
BC² = 56,45
BC =
cm (valeur exacte) BC
7,5 cm (valeur arrondie au
mm)
Les longueurs sont en cm. Calculer la longueur AB (arrondie au mm).
Le triangle ABC est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore,
BC² = AB² + AC²
7,72² = 3,12² + AB²
59,5984 = 9,7344 + AB²
AB² = 59,5984 – 9,7344
AB² = 49,864
AB =
m (valeur exacte) BC
7,06 m (valeur arrondie au
cm)
Soient A, B, C trois points alignés et A, B’, C’ trois points alignés.
On suppose que tous ces points sont distincts deux à deux.
Si les droites (BB’) et (CC’) sont parallèles, alors on a
.
Deux cas de figures sont possibles selon que A est, ou non, entre les points B et C.
|
|
| Figure 1 | Figure 2 |
Application
Le théorème de Thalès permet de calculer
des longueurs sur une figure comportant des droites
parallèles.
Sur la figure ci-dessous, les droites (IJ) et (ED) sont parallèles.
On donne AJ = 5 cm, AE = 6 cm et AD = 8 cm. Calculer AI.
Les points A, I et D sont alignés. Les points
A, J et E sont alignés. Les droites
(IJ) et (ED) sont parallèles. On peut donc
appliquer le théorème de Thalès qui
s’exprime ici par :
On connait AJ, AE et AD et on cherche AI. On garde donc
les deux premiers rapports 
.
En remplaçant, on obtient :
D’où AI = 
(arrondi au
dixième).
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