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Nombres pairs et impairs

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Objectifs

Connaitre les définitions d’un entier pair et d’un entier impair.
Résoudre des problèmes mobilisant ces notions.
Tester si un nombre est pair ou impair à l’aide d’un algorithme.

Points clés

Un nombre pair est un entier multiple de 2. Un nombre impair est un entier non multiple de 2.
On suppose que est un entier. est pair si, et seulement si, il existe un entier relatif tel que .
On suppose que est un entier. est impair si, et seulement si, il existe un entier relatif tel que .
Il existe plusieurs règles sur la somme et le produit de deux nombres pairs ou impairs.
Le carré d'un entier impair est impair.

Pour bien comprendre

Nombres entiers naturels et relatifs
Multiple d’un entier
Équivalence et réciproque
Algorithmique

1. Parité d'un entier

a. Définition

Un nombre pair est un entier multiple de 2.
Un nombre impair est un entier non multiple de 2.

Exemple 1
Les nombres 10,6, –2,7 et

ne sont ni pairs ni impairs.
En effet, ce ne sont pas des entiers.

Exemple 2
Les nombres 2, –1000 et 0 sont pairs. En effet :

ce sont des entiers ;
ce sont des multiples de 2 puisque 2 = 2 × 1 ;
–1000 = 2 × (–500) ; 0 = 2 × 0.

Exemple 3
Les nombres 5, 1, –327 sont impairs. En effet :

ce sont des entiers ;
5 = 2 × . Comme , 5 n’est pas multiple de 2. Donc il est impair.
Il en va de même pour 1 et –327 :
1 = 2 × ; –327 = 2 × .
et ne sont pas entiers, donc 1 et –327 sont impairs.

Remarques
Tout nombre entier est pair ou impair.
« Étudier la parité d’un nombre » revient à déterminer si ce nombre est pair ou impair.

b. Propriétés

Propriétés 1 et 2
On suppose que

est un entier relatif.

est pair si, et seulement si, il existe un entier relatif tel que .
est impair si, et seulement si, il existe un entier relatif tel que .

Remarque
Dans chacune des propriétés ci-dessus, le « si, et seulement si » indique une équivalence. On peut donc utiliser la propriété dans les deux sens. Par exemple, pour la propriété 1 :

sens direct : si on sait que l’entier est pair, alors on peut en conclure que l’entier s’écrit , où est un entier relatif, non nécessairement connu.
sens réciproque : si on sait que l’entier s’écrit , où est un entier relatif, alors on peut en conclure que est pair.

c. Démonstration

Méthode

Pour démontrer qu'un nombre est pair ou impair :

vérifier que c’est un entier ;
chercher s’il est multiple de 2 ou non multiple de 2.
Pour cela, écrire et vérifier si le nombre est un entier.
- Si oui, est un multiple de 2, donc il est pair ;
- sinon, n’est pas un multiple de 2, donc il est impair.

Exemple 1
Le nombre

est-il pair ou impair ?
On applique la méthode :

est la somme de deux entiers portés au carré, c’est donc un entier.
On utilise le sens réciproque des propriétés 1 et 2.
étant un entier relatif, si un nombre entier peut s’écrire sous la forme , alors ce nombre est pair. S’il peut s’écrire sous la forme , alors ce nombre est impair. On essaie donc d’exprimer sous la forme ou .
- . On reconnait ici une identité remarquable :
  .
- Alors .
  Comme est un entier, on en déduit que l’entier peut s’exprimer sous la forme , où est un entier relatif.

est donc pair.

Exemple 2
Le nombre

, avec

un entier relatif, est-il pair ou impair ?
On applique la méthode :

est la somme de deux entiers, c’est donc un entier.
On utilise le sens réciproque des propriétés 1 et 2.
étant un entier relatif, si un nombre entier peut s’écrire sous la forme , alors ce nombre est pair. S’il peut s’écrire sous la forme , alors ce nombre est impair. On essaie donc d’exprimer sous la forme ou .
- peut aussi s’écrire : .
- Donc, si on pose , alors et est un entier, car en est un.

est donc impair.

2. Opérations

a. Somme

Propriété 3
Le nombre obtenu par la somme de deux nombres pairs ou impairs obéit aux règles suivantes :

+	pair	impair
pair	pair	impair
impair	impair	pair

Le nombre obtenu par le produit de deux nombres pairs ou impairs obéit aux règles suivantes :

×	pair	impair
pair	pair	pair
impair	pair	impair

Exemples
On suppose que

est un entier relatif.
Les nombres

sont-ils pairs ou impairs ?

On applique la méthode et la propriété 3 sur la somme pour

est la somme de deux entiers, c’est donc un entier.
L’entier est pair (réciproque de la propriété 1) et –31 est impair.
D’après la propriété 3, si un entier est la somme d’un entier pair et d’un entier impair, alors il est impair.

est donc impair.

On applique la méthode et la propriété 3 sur le produit pour

, à condition de considérer une forme factorisée :

est le produit de deux entiers, c’est donc un entier.
L’entier est pair ou impair et est de parité différente : il sera impair ou pair selon la parité de .
D’après la propriété 3, si un entier est le produit de deux entiers pair et impair, alors il est pair.

est donc pair.

b. Carré

Propriété 4
Le carré d’un entier impair est impair.

Exemple
On suppose que

est un entier relatif. Le nombre

est-il pair ou impair ?
On applique la propriété 4 après avoir trouvé une forme factorisée de

grâce à l’identité remarquable

, où

est le carré d’un entier, c’est donc un entier.
L’entier

est impair (réciproque de la propriété 2).
D’après la propriété 4, si un entier est le carré d’un entier impair, alors il est impair. Donc

est impair.

3. Programmation

On peut tester à l’aide d’un programme si un entier est pair ou impair. C’est surtout intéressant pour un nombre dont l’écriture ne donne pas directement le résultat.

Algorithme 1

Langage Python	Interprétation
L1 a=int(input("Entrer un entier :")) L2 if type(a/2)==int: L3 print(a,"est pair") L4 else: L5 print(a,"est impair")	Demander à l’utilisateur d’entrer un entier a Si a/2 est un entier alors afficher que a est pair sinon afficher que a est impair Fin Si

Algorithme 2

Langage Python	Interprétation
L1 a=int(input("Entrer un entier :")) L2 if a%2==0: L3 print(n,"est pair") L4 else: L5 print(n,"est impair")	Demander à l’utilisateur d’entrer un entier a Si le reste de la division de a par 2 est nul alors afficher que a est pair sinon afficher que a est impair Fin Si

Quelques précisions sur les instructions

Algorithme 1, L2 : type(a)==int est un booléen qui détermine si la variable numérique a est un entier ou non.
Algorithme 2, L2 : a%b indique le reste d’une division euclidienne de a par b.
La division euclidienne d’un entier a par un entier b non nul détermine les uniques entiers q et r tels que :
a = bq + r ; 0 ≤ r < b.
Les entiers q et r sont respectivement le quotient et le reste de la division de a par b.
Algorithmes 1 et 2, L2 et L4 : if… else… font partie de la structure conditionnelle.