Nombres pairs et impairs - Maxicours

Nombres pairs et impairs

Objectifs
  • Connaitre les définitions d’un entier pair et d’un entier impair.
  • Résoudre des problèmes mobilisant ces notions.
  • Tester si un nombre est pair ou impair à l’aide d’un algorithme.
Points clés
  • Un nombre pair est un entier multiple de 2. Un nombre impair est un entier non multiple de 2.
  • On suppose que  est un entier.  est pair si, et seulement si, il existe un entier relatif  tel que .
  • On suppose que  est un entier.  est impair si, et seulement si, il existe un entier relatif tel que .
  • Il existe plusieurs règles sur la somme et le produit de deux nombres pairs ou impairs.
  • Le carré d'un entier impair est impair.
Pour bien comprendre
  • Nombres entiers naturels et relatifs
  • Multiple d’un entier
  • Équivalence et réciproque
  • Algorithmique
1. Parité d'un entier
a. Définition
Un nombre pair est un entier multiple de 2.
Un nombre impair est un entier non multiple de 2.
Exemple 1
Les nombres 10,6, –2,7 et ne sont ni pairs ni impairs.
En effet, ce ne sont pas des entiers.
Exemple 2
Les nombres 2, –1000 et 0 sont pairs. En effet :
  • ce sont des entiers ;
  • ce sont des multiples de 2 puisque 2 = 2 × 1 ;
    –1000 = 2 × (–500) ; 0 = 2 × 0.
Exemple 3 
Les nombres 5, 1, –327 sont impairs. En effet :
  • ce sont des entiers ;
  • 5 = 2 × . Comme , 5 n’est pas multiple de 2. Donc il est impair.
    Il en va de même pour 1 et –327 :
    1 = 2 × ; –327 = 2 × .
    et ne sont pas entiers, donc 1 et –327 sont impairs.
Remarques
Tout nombre entier est pair ou impair.
« Étudier la parité d’un nombre » revient à déterminer si ce nombre est pair ou impair.
b. Propriétés
Propriétés 1 et 2
On suppose que est un entier relatif.
  • est pair si, et seulement si, il existe un entier relatif  tel que .
  • est impair si, et seulement si, il existe un entier relatif  tel que .
Remarque
Dans chacune des propriétés ci-dessus, le « si, et seulement si » indique une équivalence. On peut donc utiliser la propriété dans les deux sens. Par exemple, pour la propriété 1 :
  • sens direct : si on sait que l’entier  est pair, alors on peut en conclure que l’entier  s’écrit , où  est un entier relatif, non nécessairement connu.
  • sens réciproque : si on sait que l’entier  s’écrit , où  est un entier relatif, alors on peut en conclure que  est pair.
c. Démonstration
Méthode

Pour démontrer qu'un nombre  est pair ou impair :

  1. vérifier que c’est un entier ;
  2. chercher s’il est multiple de 2 ou non multiple de 2.
    Pour cela, écrire et vérifier si le nombre  est un entier.
    • Si oui, est un multiple de 2, donc il est pair ;
    • sinon, n’est pas un multiple de 2, donc il est impair.
Exemple 1
Le nombre est-il pair ou impair ?
On applique la méthode :
  • est la somme de deux entiers portés au carré, c’est donc un entier.
  • On utilise le sens réciproque des propriétés 1 et 2.
    étant un entier relatif, si un nombre entier peut s’écrire sous la forme , alors ce nombre est pair. S’il peut s’écrire sous la forme , alors ce nombre est impair. On essaie donc d’exprimer  sous la forme  ou .
    • . On reconnait ici une identité remarquable :
      .
    • Alors .
      Comme est un entier, on en déduit que l’entier  peut s’exprimer sous la forme , où  est un entier relatif.
est donc pair.
Exemple 2
Le nombre , avec  un entier relatif, est-il pair ou impair ?
On applique la méthode :
  • est la somme de deux entiers, c’est donc un entier.
  • On utilise le sens réciproque des propriétés 1 et 2.
    étant un entier relatif, si un nombre entier peut s’écrire sous la forme , alors ce nombre est pair. S’il peut s’écrire sous la forme , alors ce nombre est impair. On essaie donc d’exprimer  sous la forme  ou .
    • peut aussi s’écrire : .
    • Donc, si on pose , alors  et  est un entier, car  en est un.
est donc impair.
2. Opérations
a. Somme
Propriété 3
Le nombre obtenu par la somme de deux nombres pairs ou impairs obéit aux règles suivantes :
+ pair impair
pair pair impair
impair impair pair

Le nombre obtenu par le produit de deux nombres pairs ou impairs obéit aux règles suivantes :

× pair impair
pair pair pair
impair pair impair
Exemples
On suppose que est un entier relatif.
Les nombres et  sont-ils pairs ou impairs ?

On applique la méthode et la propriété 3 sur la somme pour  :
  • est la somme de deux entiers, c’est donc un entier.
  • L’entier  est pair (réciproque de la propriété 1) et –31 est impair.
    D’après la propriété 3, si un entier est la somme d’un entier pair et d’un entier impair, alors il est impair.
est donc impair.

On applique la méthode et la propriété 3 sur le produit pour , à condition de considérer une forme factorisée : .
  • est le produit de deux entiers, c’est donc un entier.
  • L’entier  est pair ou impair et  est de parité différente : il sera impair ou pair selon la parité de .
    D’après la propriété 3, si un entier est le produit de deux entiers pair et impair, alors il est pair.
est donc pair.
b. Carré
Propriété 4
Le carré d’un entier impair est impair.
Exemple
On suppose que  est un entier relatif. Le nombre  est-il pair ou impair ? 
On applique la propriété 4 après avoir trouvé une forme factorisée de  grâce à l’identité remarquable , où  et 
 est le carré d’un entier, c’est donc un entier.
L’entier  est impair (réciproque de la propriété 2). 
D’après la propriété 4, si un entier est le carré d’un entier impair, alors il est impair. Donc  est impair.
3. Programmation

On peut tester à l’aide d’un programme si un entier est pair ou impair. C’est surtout intéressant pour un nombre dont l’écriture ne donne pas directement le résultat.

Algorithme 1

Langage Python Interprétation
L1 a=int(input("Entrer un entier :"))
L2 if type(a/2)==int:
L3     print(a,"est pair")
L4 else:
L5     print(a,"est impair")
Demander à l’utilisateur d’entrer un entier a
     Si a/2 est un entier alors afficher que a est pair
     sinon afficher que a est impair
Fin Si

Algorithme 2

Langage Python Interprétation
L1 a=int(input("Entrer un entier :"))
L2 if a%2==0:
L3     print(n,"est pair")
L4 else:
L5     print(n,"est impair")
Demander à l’utilisateur d’entrer un entier a
     Si le reste de la division de a par 2 est nul alors afficher que a est pair
     sinon afficher que a est impair
Fin Si
Quelques précisions sur les instructions
  • Algorithme 1, L2 : type(a)==int est un booléen qui détermine si la variable numérique a est un entier ou non.
  • Algorithme 2, L2 : a%b indique le reste d’une division euclidienne de a par b.
    La division euclidienne d’un entier a par un entier b non nul détermine les uniques entiers q et r tels que :
    a = bq + r ; 0 ≤ r < b.  
    Les entiers q et sont respectivement le quotient et le reste de la division de a par b.
  • Algorithmes 1 et 2, L2 et L4 : if… else… font partie de la structure conditionnelle. 

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