Les calculs avec la racine carrée
- Connaitre la définition de la racine carrée d’un nombre réel positif.
- Effectuer des opérations entre les racines carrées (produit, quotient).
- Connaitre une propriété sur la somme de racines carrées.
- Simplifier des écritures avec les racines carrées.
- Soit
un nombre réel positif. La
racine carrée de 
est le nombre positif dont le
carré est égal à 
. On note ce nombre 
.
- Soient
et 
deux nombres réels
positifs.
On a :
.
- Soient
et 
deux nombres réels positifs
(
≠ 0).
On a :
.
- La somme des racines carrées de deux nombres
n’est pas égale à la racine
carrée de la somme de ces deux nombres :
.
- Soient
et 
deux nombres réels
positifs.
On a :
.
- Nombres réels, décimaux, rationnels
- Nombres premiers
- Valeur absolue d’un nombre
- Règles de calculs sur les fractions
- Identités remarquables
un nombre réel positif.La racine carrée de
est le nombre positif dont le
carré est égal à 
.On note ce nombre
.
On a : 
et 
.
- La racine carrée d’un nombre peut s’appliquer à des nombres décimaux mais ne s’applique pas à des nombres négatifs.
- À la calculatrice, on calcule la racine
carrée d’un nombre avec la touche
.
est le nombre positif dont le
carré est égal à 16.On sait que 42 = 16 donc
.
n’existe pas car
– 16 est un nombre
négatif.
et 
deux nombres réels
positifs.On a :
.
= 6
et 
deux nombres réels
positifs (
≠ 0).On a :
.
= 3
Ainsi, on peut constater à partir d’un
exemple que : 
. La somme des racines
carrées de deux nombres n’est pas
égale à la racine carrée de la
somme de ces deux nombres.
Par contre, on a la propriété suivante :
et 
deux nombres réels
positifs.On a :
.
Pour simplifier une racine carrée, on chercher
à la présenter sous la forme 
, avec 
le plus petit possible.
Pour cela :
- décomposer, si c’est possible, le nombre sous la racine en un produit qui contient un carré ;
- utiliser la relation
;
- réaliser les deux étapes précédentes tant que cela est possible.
Simplifier
.On cherche à décomposer 32 en un produit qui contient un carré.
On a : 32 = 16 × 2, d’où
.On obtient ainsi une nouvelle écriture du nombre
.
Simplifier
. On a : 288 = 16 × 18
d’où 
.On peut continuer le processus car 18 = 9 × 2.
D’où
.La forme la plus simplifiée est :
.
Simplifier
. On a 15 = 3 × 5,
mais 3 et 5 ne sont pas des carrés. Ainsi,
n’est pas simplifiable.
Pour simplifier une somme de racines carrées, on
cherche à la présenter sous la forme
, avec 
le plus petit possible.
Pour cela, on applique la méthode précédente sur les différents termes.
Réduire l’expression suivante :
.On a :
=
=
= 8 –
Lorsque le dénominateur d’une fraction contient des racines carrées, on essaie de le transformer pour qu’il ne contienne plus de racines carrées.
Simplifier l’expression suivante :
.Pour cela, on utilise les propriétés des fractions et l’identité remarquable : (
–
) (
+ 
) = 
–
.On a :
car on peut toujours
« multiplier une fraction par un même
nombre en haut et en bas ». On choisit le
nombre 
car on souhaite utiliser
l’identité remarquable ci-dessus.On a :
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