Les calculs avec la racine carrée - Maxicours

Les calculs avec la racine carrée

Objectifs
  • Connaitre la définition de la racine carrée d’un nombre réel positif.
  • Effectuer des opérations entre les racines carrées (produit, quotient).
  • Connaitre une propriété sur la somme de racines carrées.
  • Simplifier des écritures avec les racines carrées.
Points clés
  • Soit un nombre réel positif. La racine carrée de est le nombre positif dont le carré est égal à . On note ce nombre .
  • Soient et deux nombres réels positifs.
    On a : .
  • Soient et deux nombres réels positifs ( ≠ 0).
    On a : .
  • La somme des racines carrées de deux nombres n’est pas égale à la racine carrée de la somme de ces deux nombres : .
  • Soient et deux nombres réels positifs.
    On a : .
Pour bien comprendre
  • Nombres réels, décimaux, rationnels
  • Nombres premiers
  • Valeur absolue d’un nombre
  • Règles de calculs sur les fractions
  • Identités remarquables
1. Définition
Soit un nombre réel positif.
La racine carrée de est le nombre positif dont le carré est égal à .
On note ce nombre .

On a : et .

Remarques
  • La racine carrée d’un nombre peut s’appliquer à des nombres décimaux mais ne s’applique pas à des nombres négatifs.
  • À la calculatrice, on calcule la racine carrée d’un nombre avec la touche .
Exemples
est le nombre positif dont le carré est égal à 16.
On sait que 42 = 16 donc .
n’existe pas car 16 est un nombre négatif.

2. Règles de calcul sur les racines carrées
a. Produit de deux racines carrées
Soient et deux nombres réels positifs.
On a : .
Exemples
= 6
b. Quotient de deux racines carrées
Soient et deux nombres réels positifs ( ≠ 0).
On a : .
Exemples

= 3
c. Somme de deux racines carrées
Exemple

Ainsi, on peut constater à partir d’un exemple que : . La somme des racines carrées de deux nombres n’est pas égale à la racine carrée de la somme de ces deux nombres.

Par contre, on a la propriété suivante :

Soient et deux nombres réels positifs.
On a : .
3. Simplification des écritures avec les racines carrées
a. Diminuer la valeur sous une racine carrée

Pour simplifier une racine carrée, on chercher à la présenter sous la forme , avec le plus petit possible.

Méthode

Pour cela :

  1. décomposer, si c’est possible, le nombre sous la racine en un produit qui contient un carré ;
  2. utiliser la relation  ;
  3. réaliser les deux étapes précédentes tant que cela est possible.
Exemple 1
Simplifier .
On cherche à décomposer 32 en un produit qui contient un carré.
On a : 32 = 16 × 2, d’où .
On obtient ainsi une nouvelle écriture du nombre .
Exemple 2
Simplifier . On a : 288 = 16 × 18 d’où .
On peut continuer le processus car 18 = 9 × 2.
D’où .
La forme la plus simplifiée est : .
Exemple 3
Simplifier . On a 15 = 3 × 5, mais 3 et 5 ne sont pas des carrés. Ainsi, n’est pas simplifiable.
b. Simplifier une somme de racines carrées

Pour simplifier une somme de racines carrées, on cherche à la présenter sous la forme , avec le plus petit possible.

Pour cela, on applique la méthode précédente sur les différents termes.

Exemple
Réduire l’expression suivante : .
On a :
=
=
= 8
c. Rationnaliser le dénominateur d'une fraction

Lorsque le dénominateur d’une fraction contient des racines carrées, on essaie de le transformer pour qu’il ne contienne plus de racines carrées.

Exemple
Simplifier l’expression suivante : .
Pour cela, on utilise les propriétés des fractions et l’identité remarquable : ( ) ( + ) = .
On a :
car on peut toujours « multiplier une fraction par un même nombre en haut et en bas ». On choisit le nombre car on souhaite utiliser l’identité remarquable ci-dessus.
On a :

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