Les calculs avec la racine carrée
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- Connaitre la définition de la racine carrée d’un nombre réel positif.
- Effectuer des opérations entre les racines carrées (produit, quotient).
- Connaitre une propriété sur la somme de racines carrées.
- Simplifier des écritures avec les racines carrées.
- Soit
un nombre réel positif. La racine carrée de
est le nombre positif dont le carré est égal à
. On note ce nombre
.
- Soient
et
deux nombres réels positifs.
On a :.
- Soient
et
deux nombres réels positifs (
≠ 0).
On a :.
- La somme des racines carrées de deux nombres
n’est pas égale à la racine
carrée de la somme de ces deux nombres :
.
- Soient
et
deux nombres réels positifs.
On a :.
- Nombres réels, décimaux, rationnels
- Nombres premiers
- Valeur absolue d’un nombre
- Règles de calculs sur les fractions
- Identités remarquables

La racine carrée de


On note ce nombre

On a : et
.
- La racine carrée d’un nombre peut s’appliquer à des nombres décimaux mais ne s’applique pas à des nombres négatifs.
- À la calculatrice, on calcule la racine
carrée d’un nombre avec la touche
.

On sait que 42 = 16 donc






On a :






On a :





Ainsi, on peut constater à partir d’un
exemple que : . La somme des racines
carrées de deux nombres n’est pas
égale à la racine carrée de la
somme de ces deux nombres.
Par contre, on a la propriété suivante :


On a :

Pour simplifier une racine carrée, on chercher
à la présenter sous la forme , avec
le plus petit possible.
Pour cela :
- décomposer, si c’est possible, le nombre sous la racine en un produit qui contient un carré ;
- utiliser la relation
;
- réaliser les deux étapes précédentes tant que cela est possible.
Simplifier

On cherche à décomposer 32 en un produit qui contient un carré.
On a : 32 = 16 × 2, d’où

On obtient ainsi une nouvelle écriture du nombre

Simplifier


On peut continuer le processus car 18 = 9 × 2.
D’où

La forme la plus simplifiée est :

Simplifier


Pour simplifier une somme de racines carrées, on
cherche à la présenter sous la forme
, avec
le plus petit possible.
Pour cela, on applique la méthode précédente sur les différents termes.
Réduire l’expression suivante :

On a :

=

=

= 8 –

Lorsque le dénominateur d’une fraction contient des racines carrées, on essaie de le transformer pour qu’il ne contienne plus de racines carrées.
Simplifier l’expression suivante :

Pour cela, on utilise les propriétés des fractions et l’identité remarquable : (






On a :


On a :

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