Les calculs avec la racine carrée

Exemple

Ainsi, on peut constater à partir d’un exemple que : . La somme des racines carrées de deux nombres n’est pas égale à la racine carrée de la somme de ces deux nombres.

Par contre, on a la propriété suivante :

Soient et deux nombres réels positifs.
On a : .

Pour simplifier une racine carrée, on chercher à la présenter sous la forme , avec le plus petit possible.

Pour cela :

1. décomposer, si c’est possible, le nombre sous la racine en un produit qui contient un carré ;
2. utiliser la relation  ;
3. réaliser les deux étapes précédentes tant que cela est possible.

Exemple 1
Simplifier .
On cherche à décomposer 32 en un produit qui contient un carré.
On a : 32 = 16 × 2, d’où .
On obtient ainsi une nouvelle écriture du nombre .

Exemple 2
Simplifier . On a : 288 = 16 × 18 d’où .
On peut continuer le processus car 18 = 9 × 2.
D’où .
La forme la plus simplifiée est : .

Exemple 3
Simplifier . On a 15 = 3 × 5, mais 3 et 5 ne sont pas des carrés. Ainsi, n’est pas simplifiable.

Pour simplifier une somme de racines carrées, on cherche à la présenter sous la forme , avec le plus petit possible.

Pour cela, on applique la méthode précédente sur les différents termes.

Exemple
Réduire l’expression suivante : .
On a :
=
=
= 8 –

Lorsque le dénominateur d’une fraction contient des racines carrées, on essaie de le transformer pour qu’il ne contienne plus de racines carrées.

Exemple
Simplifier l’expression suivante : .
Pour cela, on utilise les propriétés des fractions et l’identité remarquable : (– ) ( + ) = – .
On a :
car on peut toujours « multiplier une fraction par un même nombre en haut et en bas ». On choisit le nombre car on souhaite utiliser l’identité remarquable ci-dessus.
On a :