Les ensembles de nombres - Maxicours

Les ensembles de nombres

Objectifs
  • Connaitre les différents ensembles de nombres.
  • Écrire un nombre rationnel ou décimal sous forme de quotient.
  • Donner une valeur approchée ou arrondie d’un nombre décimal.
  • Donner un encadrement, d’amplitude donnée, d’un nombre réel par des décimaux.
Points clés
  • On appelle nombres réels tous les nombres susceptibles de mesurer la longueur d’un segment, ainsi que tous leurs opposés. L’ensemble des nombres réels est noté .
  • Tout nombre réel possède une écriture décimale, composée d’un signe (+ ou –), d’un nombre entier (avant la virgule) et de décimales (chiffres après la virgule). Il y a un nombre infini de décimales, qui peuvent néanmoins ne pas être écrites si elles sont toutes nulles.
  • Un nombre réel est un entier naturel s’il est positif et si son écriture décimale ne contient que des zéros. L’ensemble des entiers naturels { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; … } est noté .
  • Un nombre réel est un entier relatif si son écriture décimale ne contient que des zéros. L’ensemble des entiers relatifs
    { ... ; –4 ; –3 ; –2 ; –1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 … } est noté .
  • Un nombre rationnel est un nombre réel qui peut s’écrire sous la forme d’un quotient , où est un entier relatif et un entier relatif différent de 0. L’ensemble des nombres rationnels est noté  (comme « quotient »).
  • Un nombre réel qui n’appartient pas à  est dit irrationnel.
  • Un nombre décimal est un nombre réel qui peut s’écrire sous la forme  est un entier relatif et est un entier naturel. L'ensemble des nombres décimaux est noté (comme « décimal »).
  • Soient  un entier naturel et un nombre réel. Il existe deux nombres décimaux et tels que et tels que et .
    Le nombre est la valeur approchée de à près par défaut et le nombre est la valeur approchée de à près par excès.
    Les nombres et donnent un encadrement de par des décimaux à près.
    Les nombres et sont des arrondis de à chiffres après la virgule.
Pour bien comprendre
  •  Inclusion d'ensembles ()
  • Théorème de Pythagore
1. Nombres réels

Le plan est muni d’une unité de longueur.

On appelle nombres réels tous les nombres susceptibles de mesurer la longueur d’un segment, ainsi que tous leurs opposés. L’ensemble des nombres réels est noté .
Remarque
Ces nombres permettent également de mesurer des « grandeurs » : aires, volumes, températures, durée, etc...
Exemples de réels
  • 0, car il mesure la longueur de tout segment réduit à un seul point.
  •  , car il mesure la diagonale d’un carré de côté 1. En effet, si on nomme  ce carré, alors  (application du théorème de Pythagore). Comme le côté est 1, on a  et donc .
  • , car il est l’opposé de  qui est réel.
Propriété
Tout nombre réel possède une écriture décimale, composée d’un signe (+ ou –), d’un nombre entier (avant la virgule) et d'un nombre infini de décimales (chiffres après la virgule). Ces décimales peuvent néanmoins ne pas être écrites si elles sont toutes nulles.
Exemples
  • … le zéro se répète à l’infini.
  • … le 6 se répète à l’infini.
  • … la séquence 54 se répète à l’infini. 
  • … il y a une infinité de décimales, sans répétition infinie (c’est aussi le cas pour , , …).
2. Nombres entiers naturels et relatifs
Un nombre réel est un entier naturel s’il est positif et si son écriture décimale ne contient que des zéros.
L’ensemble des entiers naturels { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; … } est noté .
Exemples
 
 ;  ; ; et
Un nombre réel est un entier relatif si son écriture décimale ne contient que des zéros.
L’ensemble des entiers relatifs { ... –4 ; –3 ; –2 ; –1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 … } est noté .
Exemples
 ; 
 ;  ; et
3. Nombres décimaux
a. Définition
Un nombre décimal est un nombre réel qui peut s’écrire sous la forme  est un entier relatif et est un entier naturel.
L'ensemble des nombres décimaux est noté (comme « décimal »).
Exemples
  •  car  s’écrit  avec  et 
  •  car  s’écrit  avec  et 
  •  car 
  •  car  ne peut pas s’écrire sous la forme  avec  un entier relatif et  un entier naturel
  •  pour les mêmes raisons que 
  •  :  n’est pas un nombre rationnel, donc ne peut pas être un nombre décimal.
Remarque
L’écriture décimale d’un nombre décimal se termine par une infinité de zéros. Seuls les nombres décimaux possèdent cette propriété.
Exemples
  • ... (infinité de zéros) et
  • ... (infinité de zéros) et
  • ... (infinité de six) et
b. Encadrement d'un nombre réel par des décimaux
Propriété
Soient  un entier naturel et un nombre réel. Il existe deux nombres décimaux et tels que et tels que et .
Le nombre est la valeur approchée de à près par défaut et le nombre est la valeur approchée de à près par excès.
Les nombres et donnent un encadrement de par des décimaux à près.
Les nombres et sont des arrondis de à chiffres après la virgule.
Méthode

Pour obtenir l'encadrement par deux décimaux  et (avec ) d'un réel  est à près, il faut :

  1. trouver , qui correspond au réel en écriture décimale, en ne gardant que les premières décimales de ;
  2. trouver , qui correspond à ;
  3. conclure en remplaçant les valeurs de et : .
Exemple
Donner un encadrement de à près.
  1. L'écriture décimale de est donc (on ne garde que les trois première décimales).
  2. .
  3. On conclut : est un encadrement de à près.
Méthode

Pour savoir si un encadrement par deux décimaux et (avec ) d'un réel est à près ou pas, calculer .
Si , alors l'encadrement est à près ;
Si , alors l'encadrement n'est pas à  près.

Exemple
Si on pose ..., alors .
Si on pose et , alors on a :
avec et qui sont bien des décimaux donc cet encadrement de est à près.
c. Arrondi d'un résultat

Dans un problème, on peut demander de donner la valeur approchée d’un résultat, en arrondissant avec un nombre de décimales adapté à la réponse attendue : ce sont les chiffres significatifs.

Exemple
Un triangle  est rectangle en et on sait et . Donner une valeur approchée de  au centimètre près.
D’après le théorème de Pythagore, on a : .
Par conséquent :  et donc et donc .
Comme on demande un résultat approché au centimètre près, on doit donc choisir deux chiffres après la virgule et on peut répondre .
4. Nombres rationnels
Un nombre rationnel est un nombre réel qui peut s’écrire sous la forme d’un quotient , où est un entier relatif et un entier relatif différent de 0.
L’ensemble des nombres rationnels est noté  (comme « quotient »).
Exemples
  •  car  s’écrit , avec  et 
  •  car  ( et )
  •  car  ( et )
  •  car 
  •  : on ne peut trouver aucun quotient  avec des entiers qui soit égal à 
Remarque
L'écriture décimale d'un nombre rationnel se termine par la répétition infinie d'un nombre ou d'une séquence de nombres. Seuls les nombres rationnels possèdent cette propriété.
Exemples
  • … (infinité de zéros) et 
  • … (infinité de six) et 
  • … (infinité de la séquence 54) et 
  • … (infinité de décimales, sans répétition infinie) et 
Un nombre réel qui n’appartient pas à  est dit irrationnel.
Propriété
Le nombre n’est pas un nombre rationnel. C’est donc un irrationnel.
5. Nature d'un nombre réel
Un nombre réel qui appartient à  est un (entier) naturel.
Un nombre réel qui appartient à  est un (entier) relatif.
Un nombre réel qui appartient à est un décimal.
Un nombre réel qui appartient à  est un rationnel.
Un nombre réel qui n’appartient pas à  est un irrationnel.
Remarque
Ces qualificatifs déterminent la nature du nombre réel étudié.
Propriété
On a les inclusions suivantes :

Exemples
25 est un entier naturel (), c'est aussi un entier relatif (), un décimal (), un rationnel () et un réel ().
 est un décimal (), c'est aussi un rationnel () et un réel (). 

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