Parallélisme et positions relatives de droites et de plans
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Objectif
En géométrie dans l'espace de nombreuses
propriétés du plan se prolongent. Cependant, il
reste quelques situations particulières à
l'espace notamment dans les positions relatives de plans et
de droites entre eux.
Comment déterminer un plan dans l'espace ? Quelles sont les positions relatives de droites et de plans entre eux ? Quelles sont les propriétés de parallélisme dans l'espace entre les droites et les plans ?
Comment déterminer un plan dans l'espace ? Quelles sont les positions relatives de droites et de plans entre eux ? Quelles sont les propriétés de parallélisme dans l'espace entre les droites et les plans ?
1. Plans et droites de l'espace
Un plan est déterminé par :
- 3 points A, B et C non alignés (le plan est noté (ABC)) ;
- Une droite (d) et un point A
extérieur à (d) ;
- 2 droites sécantes (d) et (d') :
Des points ou des droites sont coplanaires lorsqu'ils sont contenus dans un même plan.
- 3 points A, B et C non alignés (le plan est noté (ABC)) ;
- 2 droites sécantes (d) et (d') :
Des points ou des droites sont coplanaires lorsqu'ils sont contenus dans un même plan.
2. Le parallélisme dans l'espace
a. Positions relatives
* Positions relatives de deux plans
Deux plans distincts sont :
- soit strictement parallèles si leur intersection est vide,
- soit sécants et leur
intersection est une droite.
* Positions relatives de deux droites
Deux droites distinctes sont :
- soit strictement parallèles lorsqu'elles sont coplanaires et que leur intersection est vide,
- soit sécantes lorsqu'elles sont
coplanaires et que leur intersection est un
point,
- soit non coplanaires.
* Positions relatives d'une droite et d'un plan
Soit une droite et un plan. La droite est :
- soit contenue dans ce plan,
- soit strictement parallèle à
ce plan, lorsque leur intersection est vide,
- soit sécante à ce plan,
lorsqu'elle le coupe en un point (unique).
Deux plans distincts sont :
- soit strictement parallèles si leur intersection est vide,
* Positions relatives de deux droites
Deux droites distinctes sont :
- soit strictement parallèles lorsqu'elles sont coplanaires et que leur intersection est vide,
* Positions relatives d'une droite et d'un plan
Soit une droite et un plan. La droite est :
- soit contenue dans ce plan,
b. Propriétés du parallélisme
dans l'espace
* Droites parallèles
Attention : Dans l'espace, 2 droites non sécantes ne sont pas forcément parallèles !
Si deux droites sont parallèles, tout plan qui coupe l'une coupe l'autre.
* Plans parallèles
* Règles et
propriétés
Deux droites sont parallèles si et
seulement si elles sont coplanaires et non
sécantes (c'est-à-dire confondues ou
n'ayant aucun point commun).
Attention : Dans l'espace, 2 droites non sécantes ne sont pas forcément parallèles !
Deux droites parallèles à une
même droite sont parallèles entre
elles : si 
et 
alors (d) 
(d " ).
et alors (d) (d " ).
Si deux droites sont parallèles, tout plan qui coupe l'une coupe l'autre.
* Plans parallèles
Deux plans sont parallèles lorsque deux
droites sécantes de l'un des plans sont
respectivement parallèles à deux droites
sécantes de l'autre plan.
Si deux plans sont parallèles à un
même troisième alors ils sont
parallèles entre eux.
Si deux plans sont parallèles, tout plan
parallèle à l'un est parallèle
à l'autre.
Si deux plans sont parallèles, tout plan
qui coupe l'un coupe l'autre et les droites
d'intersection sont parallèles.
Pour qu'une droite (d) soit parallèle
à un plan (P), il suffit qu'elle soit
parallèle à une droite (d') de
(P).
Si deux plans sont sécants, toute droite
parallèle aux deux plans, est
parallèle à leur intersection.
Pour que deux plans soient parallèles, il
suffit que deux droites sécantes de l'un des
plans soient parallèles à
l'autre.
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