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La valeur absolue

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Objectifs
  • Connaitre la définition de la valeur absolue d’un nombre réel et son interprétation géométrique.
  • Faire le lien entre valeur absolue et intervalle.
Points clés
  • La valeur absolue du réel est le réel positif noté qui est égal à la distance OM. On dit que c’est la distance à zéro du réel .
  • On a : si est positif ou nul ;   si est négatif ou nul.
  • Pour tous réels et , et pour tout entier , on a :
    et  ;
    si  : .
  • La notion de distance permet de résoudre des équations et inéquations avec des valeurs absolues. Soient et deux nombres réels, abscisses respectives des points A et B de la droite (OI). Alors .
  • Soient un réel et un réel positif. 
    Les réels de l’intervalle sont à une distance au plus  de 
  • On peut donc écrire : .
    De la même façon, on a : .
Pour bien comprendre
  • Nombres réels, représentation sur une droite graduée
  • Inégalités ≤, <, >, ≥
  • Intervalle
1. Définition et propriétés
a. Définition

Dans le plan, soit une droite graduée (O,I) d’origine O.
Tout nombre réel est donc l’abscisse d’un point M de cette droite.

La valeur absolue du réel est le réel positif noté qui est égal à la distance OM. On dit que c’est la distance à zéro du réel .

Propriété
si est positif ou nul ;
  si est négatif ou nul.
Remarque
0 donne le même résultat dans les deux cas : la valeur absolue de 0 est 0.
Exemples
  car
  car et donc
car et donc
car d’où > 0
(on traite les deux valeurs absolues séparément)
b. Opérations
Propriété
Pour tous réels et , et pour tout entier , on a :
et
si  :
Exemple

Or, donc et donc 
Par ailleurs, est la somme de deux réels positifs, et est positif.
Donc
Par conséquent :
2. Résolution d'équations et d'inéquations

La notion de distance permet de résoudre des équations et inéquations avec des valeurs absolues.

Propriété
Soient et deux nombres réels, abscisses respectives des points A et B de la droite (OI).
Alors .

Exemple 1
Résoudre dans l’équation .
On considère le point M d’abscisse et le point A d’abscisse 3.
Alors . Donc .
Ainsi, M est un point de la droite situé à une distance 2 du point B : son abscisse est donc 3 + 2 = 5 ou 3 – 2 = 1.
1 et 5 sont les deux solutions de l’équation.
Exemple 2
Résoudre dans l’équation .
On considère le point M d’abscisse et le point A d’abscisse 5.
Alors .
On considère le point B d’abscisse 2. Alors .
Donc . Ainsi, M est un point de la droite situé à une distance égale des points A et B : son abscisse est donc , unique solution de l’équation.
Exemple 3
Résoudre dans l’inéquation .
On considère le point M d’abscisse .
Alors . Donc .
Ainsi, M est un point de la droite situé à une distance strictement inférieure à 6 du point O : son abscisse est donc comprise
entre 0 – 6 = –6 et 0 + 6 = 6.
Les solutions de l’inéquation sont les réels de l’intervalle .
Exemple 4
Résoudre dans l’inéquation .
On considère le point M d’abscisse et le point A d’abscisse –4.
Alors .
Donc . Ainsi, M est un point de la droite situé à une distance inférieure à 3 du point A : son abscisse est donc comprise entre –4 – 3 = –7 et –4 + 3 = –1.
Les solutions de l’inéquation sont les réels de l’intervalle .
Exemple 5
Résoudre dans l’inéquation .
Il n’est pas nécessaire d’avoir un raisonnement géométrique : une valeur absolue étant positive, on a toujours   et donc tous les réels sont solutions de l’inéquation.
3. Intervalles et valeur absolue
Propriété
Soient un réel et un réel positif. 
Les réels de l’intervalle sont à une distance au plus  de 
On peut donc écrire : .
De la même façon, on a : .

Sur ce schéma, on a représenté l’intervalle par un segment et on a bien : et .

Vocabulaire
 est appelé le centre de l’intervalle,  son rayon.

Remarque
On a également :  et .
Méthode

Pour écrire un intervalle sous la forme d’une condition avec une valeur absolue, il faut :

  1. déterminer le centre de l’intervalle ;
  2. déterminer le rayon de l’intervalle ;
  3. remplacer  et  dans l’expression . On applique alors la propriété : .
Exemple 1
Traduire par une condition avec une valeur absolue .
On pose et .
Le centre de l’intervalle vaut  ; le rayon vaut .
Donc .
Exemple 2
Traduire par une condition avec une valeur absolue (attention, ici c’est !)
On pose et .
Alors et .
Comme < 6, on prend l’affirmation contraire et on a par conséquent : .

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