La valeur absolue
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- Connaitre la définition de la valeur absolue d’un nombre réel et son interprétation géométrique.
- Faire le lien entre valeur absolue et intervalle.
- La valeur absolue du réel
est le réel positif noté
qui est égal à la distance OM. On dit que c’est la distance à zéro du réel
.
- On a :
si
est positif ou nul ;
si
est négatif ou nul.
- Pour tous réels
et
, et pour tout entier
, on a :
et
;
si:
.
- La notion de distance permet de résoudre des
équations et inéquations avec des valeurs
absolues. Soient
et
deux nombres réels, abscisses respectives des points A et B de la droite (OI). Alors
.
- Soient
un réel et
un réel positif.
Les réels de l’intervallesont à une distance au plus
de
.
- On peut donc
écrire :
.
De la même façon, on a :.
- Nombres réels, représentation sur une droite graduée
- Inégalités ≤, <, >, ≥
- Intervalle
Dans le plan, soit une droite graduée (O,I)
d’origine O.
Tout nombre réel est donc l’abscisse
d’un point M de cette droite.







0 donne le même résultat dans les deux cas : la valeur absolue de 0 est 0.












Pour tous réels





si



Or,




Donc

Par conséquent :

La notion de distance permet de résoudre des équations et inéquations avec des valeurs absolues.
Soient


Alors

Résoudre dans


On considère le point M d’abscisse

Alors


Ainsi, M est un point de la droite situé à une distance 2 du point B : son abscisse est donc 3 + 2 = 5 ou 3 – 2 = 1.
1 et 5 sont les deux solutions de l’équation.
Résoudre dans


On considère le point M d’abscisse

Alors

On considère le point B d’abscisse 2. Alors

Donc


Résoudre dans


On considère le point M d’abscisse

Alors


Ainsi, M est un point de la droite situé à une distance strictement inférieure à 6 du point O : son abscisse est donc comprise
entre 0 – 6 = –6 et 0 + 6 = 6.
Les solutions de l’inéquation sont les réels de l’intervalle

Résoudre dans


On considère le point M d’abscisse

Alors

Donc

Les solutions de l’inéquation sont les réels de l’intervalle

Résoudre dans


Il n’est pas nécessaire d’avoir un raisonnement géométrique : une valeur absolue étant positive, on a toujours

Soient


Les réels de l’intervalle



On peut donc écrire :

De la même façon, on a :

Sur ce schéma, on a représenté
l’intervalle par un segment et on a
bien :
et
.
Vocabulaire
est appelé le centre
de l’intervalle,
son rayon.
On a également :


Pour écrire un intervalle sous la forme d’une
condition avec une valeur absolue, il faut :
- déterminer le centre de l’intervalle
;
- déterminer le rayon de l’intervalle
;
- remplacer
et
dans l’expression
. On applique alors la propriété :
.
Traduire par une condition avec une valeur absolue

On pose


Le centre de l’intervalle vaut


Donc

Traduire par une condition avec une valeur absolue


On pose


Alors


Comme


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