La valeur absolue
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- Connaitre la définition de la valeur absolue d’un nombre réel et son interprétation géométrique.
- Faire le lien entre valeur absolue et intervalle.
- La valeur absolue du réel
est le réel positif
noté 
qui est égal à la
distance OM. On dit que c’est la distance à
zéro du réel .
- On a :
si est positif ou
nul ; 
si est négatif ou nul.
- Pour tous réels
et 
, et pour tout entier 
, on a :
et 
;
si
: 
.
- La notion de distance permet de résoudre des
équations et inéquations avec des valeurs
absolues. Soient
et 
deux nombres réels, abscisses
respectives des points A et B de la droite (OI). Alors
.
- Soient
un réel et
un réel
positif.
Les réels de l’intervalle
sont à une
distance au plus de 
.
- On peut donc
écrire :
.
De la même façon, on a :
.
- Nombres réels, représentation sur une droite graduée
- Inégalités ≤, <, >, ≥
- Intervalle
Dans le plan, soit une droite graduée (O,I)
d’origine O.
Tout nombre réel 
est donc l’abscisse
d’un point M de cette droite.
est le réel positif
noté qui est égal à la
distance OM. On dit que c’est la distance
à zéro du réel .
si est positif ou nul ; si est négatif ou nul.
0 donne le même résultat dans les deux cas : la valeur absolue de 0 est 0.
car 
car 
et donc 
car 
et donc 
car 
d’où 
> 0
(on traite les deux valeurs
absolues séparément)
Pour tous réels
et , et pour tout entier , on a : et si
:
Or,
donc 
et donc 
.
est la somme de deux
réels positifs, et est positif.Donc
Par conséquent :
La notion de distance permet de résoudre des équations et inéquations avec des valeurs absolues.
Soient
et deux nombres réels,
abscisses respectives des points A et B de la droite
(OI).Alors
.
Résoudre dans
l’équation
.On considère le point M d’abscisse
et le point A d’abscisse
3.Alors
. Donc 
.Ainsi, M est un point de la droite situé à une distance 2 du point B : son abscisse est donc 3 + 2 = 5 ou 3 – 2 = 1.
1 et 5 sont les deux solutions de l’équation.
Résoudre dans
l’équation
.On considère le point M d’abscisse
et le point A d’abscisse
5.Alors
.On considère le point B d’abscisse 2. Alors
.Donc
. Ainsi, M est un point de la
droite situé à une distance égale
des points A et B : son abscisse est
donc 
,
unique solution de l’équation.
Résoudre dans
l’inéquation
.On considère le point M d’abscisse
.Alors
. Donc 
.Ainsi, M est un point de la droite situé à une distance strictement inférieure à 6 du point O : son abscisse est donc comprise
entre 0 – 6 = –6 et 0 + 6 = 6.
Les solutions de l’inéquation sont les réels de l’intervalle
.
Résoudre dans
l’inéquation
.On considère le point M d’abscisse
et le point A d’abscisse
–4.Alors
.Donc
. Ainsi, M est un point de la
droite situé à une distance
inférieure à 3 du point A : son abscisse
est donc comprise entre –4 – 3 = –7 et
–4 + 3 = –1.Les solutions de l’inéquation sont les réels de l’intervalle
.
Résoudre dans
l’inéquation
.Il n’est pas nécessaire d’avoir un raisonnement géométrique : une valeur absolue étant positive, on a toujours
et donc tous les
réels sont solutions de l’inéquation.
Soient
un réel et un réel positif. Les réels de l’intervalle
sont à une distance au
plus de . On peut donc écrire :
.De la même façon, on a :
.
Sur ce schéma, on a représenté
l’intervalle 
par un segment et on a
bien : 
et 
.
Vocabulaire
est appelé le centre
de l’intervalle, 
son rayon.
On a également :
et 
.
Pour écrire un intervalle sous la forme d’une
condition avec une valeur absolue, il faut :
- déterminer le centre de l’intervalle
;
- déterminer le rayon de l’intervalle
;
- remplacer
et 
dans l’expression
. On applique alors la
propriété : 
.
Traduire par une condition avec une valeur absolue
.On pose
et 
.Le centre de l’intervalle vaut
; le rayon vaut 
.Donc
.
Traduire par une condition avec une valeur absolue
(attention, ici c’est
!)On pose
et 
.Alors
et 
.Comme
< 6, on prend
l’affirmation contraire et on a par
conséquent : 
.
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