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Droite numérique et intervalles

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Objectifs
  • Représenter des réels et des intervalles sur une droite numérique.
  • Connaitre les différents types d’intervalles.
  • Déterminer si un réel appartient ou non à un intervalle.
  • Connaitre et manipuler les opérations de réunion et d’intersection d’intervalles.
Points clés
  • Soit (OI) une droite graduée telle que OI = 1.
    À tout point M de la droite, on peut associer un unique réel , appelé son abscisse, qui correspond à la valeur de sa graduation sur la droite. Réciproquement, à tout nombre réel est associé un unique point d’une droite graduée. 
  • Un intervalle de est un ensemble de nombres compris entre deux bornes.
  • Soient deux intervalles et de .
    La réunion des intervalles et est l’ensemble de tous les réels qui appartiennent à au moins l’un des deux intervalles (on dit aussi que ce sont les réels qui appartiennent à ou à ). On note ce nouvel ensemble (on dit « union »).
  • L’intersection des intervalles et est l’ensemble de tous les réels qui appartiennent aux deux intervalles (on dit aussi que ce sont les réels qui appartiennent à  et à ). On note ce nouvel ensemble (on dit «  inter  »).
Pour bien comprendre
  • Inégalités ≤ ,<,≥, >
  • Repérer des points sur une droite graduée par leur abscisse
1. Droite numérique

Dans le plan muni d’une unité de longueur, toute droite peut être graduée.
Il suffit pour cela de disposer de deux points distincts : l’origine O et un point I tel que OI = 1.

Propriété
Soit (OI) une droite graduée telle que OI = 1.
À tout point M de la droite, on peut associer un unique réel , appelé son abscisse, qui correspond à la valeur de sa graduation sur la droite. Réciproquement, à tout nombre réel est associé un unique point d’une droite graduée.

L’ensemble de toutes les valeurs des abscisses  des points de la droite est égal à l’ensemble des réels, noté ℝ.

La droite (OI) est donc associée à un ensemble de nombres et est appelée droite numérique.

Propriété
  • L’ensemble ℝ est ordonné : on peut comparer deux réels entre eux par des inégalités <, ≤, ≥ ou >.
  • L’ensemble ℝ ne possède pas de plus grand nombre.
  • L’ensemble ℝ ne possède pas de plus petit nombre.

Pour rappeler cette propriété, on écrit aussi l’ensemble ℝ sous la forme d’un « intervalle » .

  • Le symbole  signifie « infini » ; ce n’est pas un nombre et il ne doit donc pas être utilisé dans des calculs, seulement dans des notations d’intervalles (voir le paragraphe suivant).
  •  signifie qu’il n’y a pas de plus grand élément dans ℝ.
  •  signifie qu’il n’y a pas de plus petit élément dans ℝ.
2. Intervalles de R
a. Définition
Un intervalle de est un ensemble de nombres compris entre deux bornes.
Exemples d’intervalles
  • L’ensemble de tous les nombres compris entre les bornes et On le note .
  • L’ensemble de tous les nombres supérieurs ou égaux à .
    On le note . Les bornes sont et .
  • L’ensemble de tous les nombres strictement inférieurs à .
    On le note . Les bornes sont et .

Pour indiquer qu’un nombre appartient à un intervalle, on utilise le symbole d’appartenance .
On dit aussi que le nombre est un élément de l’intervalle.
Un nombre qui n’appartient pas à l’intervalle sera indiqué par la négation du symbole précédent.

Exemples
  • mais .
  • mais . Le crochet [ du côté de 1 indique que le nombre 1 n’appartient pas à l’intervalle.
    Donc mais .
b. Types d'intervalles

Pour noter les bornes d’un intervalle, on utilise des crochets.

  • Le crochet est fermé (tourné vers l’intérieur de l’intervalle) si la borne appartient à l’intervalle.
  • Le crochet est ouvert (tourné vers l’extérieur de l’intervalle) si la borne n’appartient pas à l’intervalle.
  • Les bornes et sont toujours associées à un crochet ouvert.

Dans le tableau suivant, soient et deux réels tels que .
, , , sont les bornes possibles d’un intervalle.

Notation Traduction avec des inégalités Traduction et représentation graphique
    Ensemble des réels compris entre  et 
 
    Ensemble des réels compris entre et  exclus
    Ensemble des réels supérieurs ou égaux à
    Ensemble des réels strictement inférieurs à
 
 
ou
  Ensemble des nombres réels
 

Notations

  • L’intervalle est aussi noté (se dit « moins »).
  • L’intervalle est aussi noté (se dit « moins étoile »).
  • L’intervalle est aussi noté (se dit « plus »).
  • L’intervalle est aussi noté (se dit « plus étoile »).
  • L’ensemble des réels non nuls est noté (se dit « étoile »). Ce n’est pas un intervalle, car il y a un trou en 0.
3. Opérations sur les intervalles

À partir de deux intervalles, on peut créer d’autres ensembles, à l’aide de deux opérations : la réunion (aussi appelée « union ») et l’intersection.

Soient deux intervalles et de .

La réunion des intervalles et est l’ensemble de tous les réels qui appartiennent à au moins l’un des deux intervalles (on dit aussi que ce sont les réels qui appartiennent à ou à ). On note ce nouvel ensemble (on dit « union »).
L’intersection des intervalles et est l’ensemble de tous les réels qui appartiennent aux deux intervalles (on dit aussi que ce sont les réels qui appartiennent à et à ). On note ce nouvel ensemble (on dit «  inter  »).
Remarques
  • Dans la réunion, on trouve aussi, s’ils existent, les réels qui appartiennent aux deux intervalles.
  • est une réunion d’intervalles : .
  • Deux intervalles peuvent n’avoir aucun élément commun. Alors l’intersection est l’ensemble-vide . On dit aussi que les intervalles sont disjoints.
Exemple 1
Soient les intervalles  et
  • Alors les réels qui appartiennent à au moins un des deux intervalles sont tous les réels de . Donc .
    Sur la droite numérique ci-dessus, ce sont les réels coloriés dans au moins une couleur.
  • Par ailleurs, les réels qui appartiennent aux deux intervalles sont tous les réels de . Donc .
    Sur la droite numérique ci-dessus, ce sont les réels coloriés des deux couleurs.
Exemple 2
Soient les intervalles  et .

Ces deux intervalles n’ont aucun nombre en commun. Donc .
Comme ces deux intervalles sont disjoints, on ne peut pas simplifier l’écriture de leur réunion et on écrit donc : ou encore

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