Droite numérique et intervalles
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Représenter des réels et des intervalles sur une droite numérique.
- Connaitre les différents types d’intervalles.
- Déterminer si un réel appartient ou non à un intervalle.
- Connaitre et manipuler les opérations de réunion et d’intersection d’intervalles.
- Soit (OI) une droite graduée telle que OI =
1.
À tout point M de la droite, on peut associer un unique réel
, appelé son abscisse, qui
correspond à la valeur de sa graduation sur la
droite. Réciproquement, à tout nombre
réel est associé un unique point
d’une droite graduée.
- Un intervalle de
est un ensemble de nombres compris
entre deux bornes.
- Soient deux intervalles
et 
de 
.
La réunion des intervalles
et 
est l’ensemble de tous les
réels qui appartiennent à au moins
l’un des deux intervalles (on dit aussi que ce sont
les réels qui appartiennent à 
ou à 
). On note ce nouvel ensemble
(on dit « 
union 
»).
- L’intersection des intervalles
et 
est l’ensemble de tous les
réels qui appartiennent aux deux intervalles (on dit
aussi que ce sont les réels qui appartiennent
à 
et à 
). On note ce nouvel ensemble
(on dit « 
inter 
»).
- Inégalités ≤ ,<,≥, >
- Repérer des points sur une droite graduée par leur abscisse
Dans le plan muni d’une unité de longueur,
toute droite peut être graduée.
Il suffit pour cela de disposer de deux points distincts
: l’origine O et un point I tel que OI = 1.
Soit (OI) une droite graduée telle que OI = 1.
À tout point M de la droite, on peut associer un unique réel
, appelé son abscisse,
qui correspond à la valeur de sa graduation sur la
droite. Réciproquement, à tout nombre
réel est associé un unique point
d’une droite graduée.
L’ensemble de toutes les valeurs des
abscisses 
des points de la droite est
égal à l’ensemble des
réels, noté ℝ.
La droite (OI) est donc associée à un ensemble de nombres et est appelée droite numérique.
- L’ensemble ℝ est ordonné : on peut comparer deux réels entre eux par des inégalités <, ≤, ≥ ou >.
- L’ensemble ℝ ne possède pas de plus grand nombre.
- L’ensemble ℝ ne possède pas de plus petit nombre.
Pour rappeler cette propriété, on
écrit aussi l’ensemble ℝ sous la forme
d’un
« intervalle » 
.
- Le symbole
signifie «
infini » ; ce n’est pas un nombre et il ne
doit donc pas être utilisé dans des
calculs, seulement dans des notations
d’intervalles (voir le paragraphe suivant).
-
signifie qu’il
n’y a pas de plus grand élément
dans ℝ.
-
signifie qu’il
n’y a pas de plus petit élément
dans ℝ.
est un ensemble de nombres
compris entre deux bornes.
- L’ensemble de tous les nombres compris
entre les bornes
et 
On le note
.
- L’ensemble de tous les nombres
supérieurs ou égaux à
.
On le note
. Les bornes sont
et 
.
- L’ensemble de tous les nombres strictement
inférieurs à
.
On le note
. Les bornes sont
et 
.
Pour indiquer qu’un nombre appartient à un
intervalle, on utilise le symbole
d’appartenance 
.
On dit aussi que le nombre est un
élément de l’intervalle.
Un nombre qui n’appartient pas à
l’intervalle sera indiqué par la
négation 
du symbole
précédent.
-
mais 
.
-
mais 
. Le crochet [ du
côté de 1 indique que le nombre 1
n’appartient pas à
l’intervalle.
Donc
mais 
.
Pour noter les bornes d’un intervalle, on utilise des crochets.
- Le crochet est fermé (tourné vers l’intérieur de l’intervalle) si la borne appartient à l’intervalle.
- Le crochet est ouvert (tourné vers l’extérieur de l’intervalle) si la borne n’appartient pas à l’intervalle.
- Les bornes
et 
sont toujours
associées à un crochet ouvert.
Dans le tableau suivant, soient 
et 
deux réels tels que
.
, 
, 
, 
sont les bornes possibles
d’un intervalle.
| Notation | Traduction avec des inégalités | Traduction et représentation graphique |
|
|
Ensemble des réels compris
entre  et  
|
|
|
Ensemble des réels compris entre
 et   exclus
|
|
|
Ensemble des réels supérieurs ou
égaux à  
|
|
|
Ensemble des réels strictement
inférieurs à  
|
 ou 
|
|
Ensemble des nombres réels
|
Notations
- L’intervalle
est aussi noté
(se dit 
« moins »).
- L’intervalle
est aussi noté
(se dit 
« moins
étoile »).
- L’intervalle
est aussi noté
(se dit 
« plus »).
- L’intervalle
est aussi noté
(se dit 
« plus
étoile »).
- L’ensemble des réels non nuls est
noté
(se dit 
« étoile »). Ce
n’est pas un intervalle, car il y a un trou en
0.
À partir de deux intervalles, on peut créer d’autres ensembles, à l’aide de deux opérations : la réunion (aussi appelée « union ») et l’intersection.
Soient deux intervalles et de .
et est l’ensemble de tous les
réels qui appartiennent à au moins
l’un des deux intervalles (on dit aussi que ce sont
les réels qui appartiennent à
ou à ). On note ce nouvel ensemble
(on dit « union »).
et est l’ensemble de tous les
réels qui appartiennent aux deux
intervalles (on dit aussi que ce sont les réels
qui appartiennent à et à ). On note ce nouvel ensemble
(on dit « inter »).
- Dans la réunion, on trouve aussi, s’ils existent, les réels qui appartiennent aux deux intervalles.
-
est une réunion
d’intervalles : 
.
- Deux intervalles peuvent n’avoir aucun
élément commun. Alors
l’intersection est l’ensemble-vide
. On dit aussi que les
intervalles sont disjoints.
Soient les intervalles
et 
. 
- Alors les réels qui appartiennent à
au moins un des deux intervalles sont tous les
réels de
. Donc 
.
Sur la droite numérique ci-dessus, ce sont les réels coloriés dans au moins une couleur. - Par ailleurs, les réels qui appartiennent
aux deux intervalles sont tous les réels de
. Donc 
.
Sur la droite numérique ci-dessus, ce sont les réels coloriés des deux couleurs.
Soient les intervalles
et 
.
Ces deux intervalles n’ont aucun nombre en commun. Donc
.Comme ces deux intervalles sont disjoints, on ne peut pas simplifier l’écriture de leur réunion et on écrit donc :
ou encore 
.
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