Equations produits, quotients et du 1er degré - Maxicours

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Equations produits, quotients et du 1er degré

De nombreux problèmes de la vie de tous les jours se ramènent à la résolution d'une équation du premier degré. C'est pourquoi, il est nécessaire de les étudier.

Comment définir et résoudre une équation du premier degré ?  Comment se ramener à une équation du premier degré et la résoudre ? Qu'est ce que le principe de dichotomie pour encadrer une solution ?
1. Equations du premier degré
a. Définition d'une équation du premier degré
Une équation est une égalité contenant une ou plusieurs lettres appelées inconnues.
         
           
Résoudre une équation consiste à trouver la ou les valeurs des inconnues.

Exemples :
a) 3x + 5 = 0 est une équation d’inconnue x ;
b) 4 - 2y = 9y est une équation d’inconnue y ;
c) 2x + 3y = 9z est une équation d’inconnues x, y et z.


b. Degré d'une équation
Le degré d’une équation est la plus grande valeur de l’exposant des inconnues.

Si le degré est 1, l'équation est du 1er degré;
Si le degré est 2, l’équation du 2nd degré

Exemples :
a) 3x + 5 = 0 est une équation du premier degré ;
b) 2x² + 3x - 5 = 0 est une équation du 2nd degré.

c. Résolution des équations x + a = b et ax = b
On conserve une égalité en ajoutant ou retranchant le même nombre aux 2 membres.


 
On conserve une égalité en multipliant ou divisant par un même nombre non nul les 2 membres.

Exemples : Résoudre les équations suivantes :

 1)  . La solution de cette équation est -2.

2)   . La solution de cette équation est 1.

3)   . La solution de cette équation est


d. Résolution d'une équation du premier degré à une inconnue
Méthodologie : Le but est de se ramener à la résolution d’une équation du type ax=b ou x+a=b.
Pour cela on doit regrouper les inconnues d’un côté et les nombres de l’autre.

Exemples :

1) Résoudre 3x + 4 = 5 - 8x
Il s’agit d’une équation du 1er degré à 1 inconnue.
Pour la résoudre, on va regrouper les termes en x du côté gauche et les nombres du côté droit :



 
 

La solution de cette équation est .


2) Résoudre 3(x+2) = 4 + x
Pour pouvoir résoudre cette équation, il va falloir développer le membre de gauche.



Pour résoudre cette équation, on va regrouper les termes en x du côté gauche et les nombres du côté droit :



 La solution de cette équation est -1.
2. Equations pouvant se ramener à une équation du premier degré
a. Développer - Réduire
Pour résoudre une équation, il peut parfois s’avérer utile de développer et de factoriser les expressions afin de se ramener à une équation du 1er degré, pour cela, il faut s’entraîner à calculer mentalement si les puissances de x se neutralisent.

Exemple :  Résoudre x(x+1) = x² + 3



La solution de cette équation est 3.
b. Factoriser - Equation produit
Il pourra s’avérer utile de factoriser afin de transformer l’équation en une équation produit.En effet :
Un produit de 2 facteurs est nul l’un des facteurs est nul

Exemples :
1) Résoudre x² = x



Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs au moins est nul.



Les solutions de cette équation sont 0 et 1.

2) Résoudre


On reconnaît une différence de 2 carrés, on peut donc factoriser :


Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs au moins est nul :



Les solutions de cette équation sont

c. Equation quotient
Une équation quotient est de la forme .

 
Exemple : Résoudre


La solution de cette équation est - 1.
3. Principe de dichotomie
Principe de dichotomie : On se propose de résoudre une équation. Soit s la solution sur un intervalle I.

L’idée consiste à partager l’intervalle où se trouve s en deux intervalles de la même longueur, à choisir dans lequel s se situe, puis à recommencer cela avec ce nouvel intervalle.


Application à la résolution
de  x² - 3 = 0 sur [0;2].

Soit s une solution (si elle existe) de cette équation sur [0 ;2].
Soit f la fonction définie par f(x) = x² - 3.

On calcule la moyenne des bornes de [0 ;2] :


donc s appartient à [1 ; 2].

On applique de nouveau ce principe :

On calcule la moyenne des bornes de [1 ;2] :



Donc s appartient à [1,5 ; 2].

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