Equations produits, quotients et du 1er degré
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De nombreux problèmes de la vie de tous les jours se
ramènent à la résolution d'une
équation du premier degré. C'est pourquoi, il
est nécessaire de les étudier.
Comment définir et résoudre une équation du premier degré ? Comment se ramener à une équation du premier degré et la résoudre ? Qu'est ce que le principe de dichotomie pour encadrer une solution ?
Comment définir et résoudre une équation du premier degré ? Comment se ramener à une équation du premier degré et la résoudre ? Qu'est ce que le principe de dichotomie pour encadrer une solution ?
1. Equations du premier degré
a. Définition d'une équation du
premier degré
Une équation est une
égalité contenant une ou plusieurs
lettres appelées inconnues.
Résoudre une équation consiste
à trouver la ou les valeurs des
inconnues.
Exemples :
a) 3x + 5 = 0 est une équation d’inconnue x ;
b) 4 - 2y = 9y est une équation d’inconnue y ;
c) 2x + 3y = 9z est une équation d’inconnues x, y et z.
b. Degré d'une équation
Le degré d’une équation est
la plus grande valeur de l’exposant des
inconnues.
Si le degré est 1, l'équation est du 1er degré;
Si le degré est 2, l’équation du 2nd degré …
Exemples :
a) 3x + 5 = 0 est une équation du premier degré ;
b) 2x² + 3x - 5 = 0 est une équation du 2nd degré.
c. Résolution des équations x + a = b
et ax = b
On conserve une égalité en ajoutant ou
retranchant le même nombre aux 2 membres.
On conserve une égalité en multipliant
ou divisant par un même nombre non nul les 2
membres.
Exemples : Résoudre les équations suivantes :
1)
. La solution de cette équation est
-2.2)
. La solution de cette équation est
1.3)
. La solution de cette équation est
d. Résolution d'une équation du
premier degré à une inconnue
Méthodologie : Le but est de se ramener
à la résolution d’une équation
du type ax=b ou x+a=b.
Pour cela on doit regrouper les inconnues d’un côté et les nombres de l’autre.
Exemples :
1) Résoudre 3x + 4 = 5 - 8x
Il s’agit d’une équation du 1er degré à 1 inconnue.
Pour la résoudre, on va regrouper les termes en x du côté gauche et les nombres du côté droit :
La solution de cette équation est
.
2) Résoudre 3(x+2) = 4 + x
Pour pouvoir résoudre cette équation, il va falloir développer le membre de gauche.
Pour résoudre cette équation, on va regrouper les termes en x du côté gauche et les nombres du côté droit :
La solution de cette équation est -1.
Pour cela on doit regrouper les inconnues d’un côté et les nombres de l’autre.
Exemples :
1) Résoudre 3x + 4 = 5 - 8x
Il s’agit d’une équation du 1er degré à 1 inconnue.
Pour la résoudre, on va regrouper les termes en x du côté gauche et les nombres du côté droit :
|
|
|
|
|
La solution de cette équation est
.2) Résoudre 3(x+2) = 4 + x
Pour pouvoir résoudre cette équation, il va falloir développer le membre de gauche.
Pour résoudre cette équation, on va regrouper les termes en x du côté gauche et les nombres du côté droit :
La solution de cette équation est -1.
2. Equations pouvant se ramener à une
équation du premier degré
a. Développer - Réduire
Pour résoudre une équation, il peut parfois
s’avérer utile de développer et de
factoriser les expressions afin de se ramener à
une équation du 1er degré, pour cela, il
faut s’entraîner à calculer
mentalement si les puissances de x se neutralisent.
Exemple : Résoudre x(x+1) = x² + 3
La solution de cette équation est 3.
Exemple : Résoudre x(x+1) = x² + 3
La solution de cette équation est 3.
b. Factoriser - Equation produit
Il pourra s’avérer utile de
factoriser afin de transformer
l’équation en une équation
produit.En effet :
Exemples :
1) Résoudre x² = x
Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs au moins est nul.
Les solutions de cette équation sont 0 et 1.
2) Résoudre
On reconnaît une différence de 2 carrés, on peut donc factoriser :
Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs au moins est nul :
Les solutions de cette équation sont
Un produit de 2 facteurs est nul 
l’un des facteurs est nul
l’un des facteurs est nul
Exemples :
1) Résoudre x² = x
Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs au moins est nul.
Les solutions de cette équation sont 0 et 1.
2) Résoudre
On reconnaît une différence de 2 carrés, on peut donc factoriser :
Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs au moins est nul :
Les solutions de cette équation sont
c. Equation quotient
Une équation quotient est de la forme
.
.
Exemple : Résoudre 
La solution de cette équation est - 1.
La solution de cette équation est - 1.
3. Principe de dichotomie
Principe de dichotomie : On se propose de
résoudre une équation. Soit s la
solution sur un intervalle I.
L’idée consiste à partager l’intervalle où se trouve s en deux intervalles de la même longueur, à choisir dans lequel s se situe, puis à recommencer cela avec ce nouvel intervalle.
Application à la résolution de x² - 3 = 0 sur [0;2].
Soit s une solution (si elle existe) de cette équation sur [0 ;2].
Soit f la fonction définie par f(x) = x² - 3.
On calcule la moyenne des bornes de [0 ;2] :
donc s appartient à [1 ; 2].
On applique de nouveau ce principe :
On calcule la moyenne des bornes de [1 ;2] :
Donc s appartient à [1,5 ; 2].
L’idée consiste à partager l’intervalle où se trouve s en deux intervalles de la même longueur, à choisir dans lequel s se situe, puis à recommencer cela avec ce nouvel intervalle.
Application à la résolution de x² - 3 = 0 sur [0;2].
Soit s une solution (si elle existe) de cette équation sur [0 ;2].
Soit f la fonction définie par f(x) = x² - 3.
On calcule la moyenne des bornes de [0 ;2] :
donc s appartient à [1 ; 2].
On applique de nouveau ce principe :
On calcule la moyenne des bornes de [1 ;2] :
Donc s appartient à [1,5 ; 2].
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