Résoudre une équation du second degré - terminale

Une équation du second degré est une équation du type suivant.

C’est un polynôme du second degré, tel que le plus fort exposant de l’inconnue x est 2.

Il faut suivre les étapes suivantes pour résoudre une équation du second degré du type ax² + bx + c = 0.

1. Établir l’équation du polynôme.
   On se ramène, si ce n'est pas le cas, à une équation du type ax² + bx + c = 0 en passant tous les termes du même côté du signe =. On identifie les termes a, b et c.
2. Calculer le discriminant Δ (delta) du polynôme.
   On calcule le discriminant Δ = b² – 4ac de la fonction polynôme f définie par f(x) = ax² + bx + c.
3. Étudier le signe du discriminant Δ.
   • Si Δ < 0, alors cette équation n’admet pas de solutions réelles.
   • Si Δ = 0, alors cette équation admet une solution unique .
   • Si Δ > 0, alors cette équation admet deux solutions distinctes :  et .
4. Calculer la (ou les) solutions.
   • Si le polynôme n’admet qu’une solution, alors il faut calculer : 
     
   • Si le polynôme admet deux solutions, alors il faut calculer : 
      et 

L’équation du second degré ax² + bx + c = 0 est associée à la fonction f(x) = ax² + bx + c. On cherche à l’écrire sous forme factorisée (forme canonique).

En factorisant cette fonction, on obtient : f(x) = a(x – α)² + β avec  et .

On peut ainsi écrire cette fonction : .

Résoudre ax² + bx + c = 0 revient donc à résoudre  (a étant non nul).

Ce qui nous amène à résoudre  en posant Δ = b² – 4ac.

On a les cas suivants.

• si Δ < 0 : alors on aurait  ce qui est impossible car le carré d'un nombre est toujours positif.
  → L'équation proposée n'a donc pas de solution réelle.
• si Δ = 0 : alors on a , donc , d’où .
  → Cette solution unique est appelée racine double de l'équation.
• si Δ > 0 : alors on a  et on obtient deux solutions.
  •  d'où 
  •  d’où 

Il n’est pas toujours nécessaire de calculer le discriminant Δ.