Résoudre une équation du second degré

Une équation du second degré est une équation du type suivant.

C’est un polynôme du second degré, tel que le plus fort exposant de l’inconnue x est 2.

Il faut suivre les étapes suivantes pour résoudre une équation du second degré du type ax² + bx + c = 0.

1. Établir l’équation du polynôme.
   On se ramène, si ce n'est pas le cas, à une équation du type ax² + bx + c = 0 en passant tous les termes du même côté du signe =. On identifie les termes a, b et c.
2. Calculer le discriminant Δ (delta) du polynôme.
   On calcule le discriminant Δ = b² – 4ac de la fonction polynôme f définie par f(x) = ax² + bx + c.
3. Étudier le signe du discriminant Δ.
   • Si Δ < 0, alors cette équation n’admet pas de solutions réelles.
   • Si Δ = 0, alors cette équation admet une solution unique .
   • Si Δ > 0, alors cette équation admet deux solutions distinctes :  et .
4. Calculer la (ou les) solutions.
   • Si le polynôme n’admet qu’une solution, alors il faut calculer : 
     
   • Si le polynôme admet deux solutions, alors il faut calculer : 
      et 

L’équation du second degré ax² + bx + c = 0 est associée à la fonction f(x) = ax² + bx + c. On cherche à l’écrire sous forme factorisée (forme canonique).

En factorisant cette fonction, on obtient : f(x) = a(x – α)² + β avec  et .

On peut ainsi écrire cette fonction : .

Résoudre ax² + bx + c = 0 revient donc à résoudre  (a étant non nul).

Ce qui nous amène à résoudre  en posant Δ = b² – 4ac.

On a les cas suivants.

• si Δ < 0 : alors on aurait  ce qui est impossible car le carré d'un nombre est toujours positif.
  → L'équation proposée n'a donc pas de solution réelle.
• si Δ = 0 : alors on a , donc , d’où .
  → Cette solution unique est appelée racine double de l'équation.
• si Δ > 0 : alors on a  et on obtient deux solutions.
  •  d'où 
  •  d’où 

Il n’est pas toujours nécessaire de calculer le discriminant Δ.