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Déterminer des primitives

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Objectifs
  • Déterminer des primitives de fonctions usuelles par lecture « inverse » d'un tableau de dérivées.
  • Déterminer des primitives de fonctions non usuelles à l'aide de quelques formules spécifiques issues de la dérivation.
Points clés
  • La primitive F de la fonction f est telle que F’ = f.
  • Un tableau de dérivées associe une fonction f à sa dérivée f’. Par lecture inverse de ce tableau, on en déduit les primitives F des fonctions f’.
Pour bien comprendre

Les dérivées

1. Déterminer une primitive
a. Définition
Une primitive d'une fonction f sur un intervalle I est une fonction F dérivable sur I telle que sa dérivée correspond à la fonction f.
F = f avec :
  • f une fonction
  • F une primitive de la fonction f
Remarque
La notation F’ est aussi notée . On indique que l’on dérive la fonction F par rapport à la variable x. Il se peut en effet que la fonction F soit définie par plusieurs variables : x, y, z, t, etc.
La primitive d’une somme de fonctions est la somme des primitives de chaque fonction.
Fonction Primitive
f = a + b + c + d + … avec fabcd des fonctions F = Fa + Fb + Fc + Fd + ...avec FFa , FbFcFd les primitives respectives des fonctions fab , cd
b. Tableau de dérivées

Un tableau de dérivées consiste à associer une fonction f à sa dérivée f’.

Fonction Fonction dérivée
f f’

On suppose maintenant qu’on dispose de la fonction  f’ et que l’on cherche sa primitive F. Par lecture inverse de ce tableau de dérivées (de la droite vers la gauche), on en déduit que la primitive F de la fonction  f’ est telle que F’ = f.

Remarque
Les primitives sont toujours déterminées à une constante k près.
2. Les primitives de fonctions usuelles
a. Tableau de dérivées

Voici le tableau de dérivées de quelques fonctions usuelles.

Fonction Fonction dérivée
xn
avec n un entier
nxn1
cos(x) –sin(x)
sin(x) cos(x)
sin(ax)
avec a un entier relatif
a cos(ax)
cos(ax)
avec a un entier relatif
a sin(ax)
b. Exemples
Exemple 1 – Déterminer une primitive sur  de la fonction :
f : x → x4 – 2x3 + x – 3.

D’après le tableau de dérivées précédent, on a vu que la dérivée de la fonction xn vaut nxn1.

Par lecture inverse de ce tableau, une primitive de la fonction nxn1 est donc xn.

Important
On déduit de la propriété précédente que la primitive de la fonction  xn1 est .

On décompose la fonction f en différents termes pour trouver la primitive de chacun de ces termes.

  • x4 : sa primitive vaut  
    (on applique la formule précédente avec n = 5)
  • 2 x3 : sa primitive vaut  soit  
    (on applique la formule précédente avec n = 4)
  • x : sa primitive vaut  
    (on applique la formule précédente avec n = 2)
  • 3 : sa primitive vaut 3 x
    (on applique la formule précédente avec n = 1).

La primitive de la fonction f est donc la somme de la primitive de chaque terme : , avec k une constante.

Exemple 2 – Déterminer une primitive sur [0 ; π] de la fonction f : x → sin(x) + 3 cos(2x).

On détermine la primitive par lecture inverse du tableau de dérivées précédent.

On décompose la fonction f en différents termes :

  • sin(x) : sa primitive vaut –cos(x)
  • 3 cos(2x) : sa primitive vaut  
    (la primitive de la fonction a cos(ax) est sin(ax) donc la primitive de cos(ax) est )

La primitive de la fonction f est donc , avec k une constante.

3. Les primitives de fonctions non usuelles

Dans toute cette partie, u est une fonction dérivable sur un intervalle I (que l'on précisera). On cherche cette fois à retrouver les primitives de fonctions u qui dépendent de la variable x.

a. Tableau de dérivées
Fonction Fonction dérivée Intervalle I
un+1
avec n un entier
(n+1)un × u'
 
avec n un entier
*
(tous les entiers positifs et négatifs
à l’exception de 0)
*+ 
(tous les entiers positifs
à l’exception de 0)
ln(u) *+
eu u' × eu
b. Exemples
Exemple 1 – Déterminer une primitive sur   de la fonction f : x → 5x(x2 + 1)3.

D’après le tableau de dérivées précédent, on a vu que la dérivée de la fonction  un+1 vaut (n+1)un × u'.

Par lecture inverse de ce tableau, une primitive de la fonction (n+1) un × u' est donc un+1.

Important
On déduit de la propriété précédente que la primitive de la fonction un × u' est .

Ici, on pose u = x2 + 1, u’ = 2x (on obtient u’ en dérivant u) et n = 3.

La primitive de la fonction u’ × un = 2x (x2 + 1)3est donc .

On multiplie l’ensemble par  pour obtenir la fonction f.

La primitive de la fonction f est donc , avec k une constante.

Exemple 2 – Déterminer une primitive sur  de la fonction .

D’après le tableau de dérivées précédent, on a vu que la dérivée de la fonction  vaut .

Par lecture inverse de ce tableau, une primitive de la fonction  est donc .

Important
On déduit de la propriété précédente que la primitive de la fonction  est .

Ici, on pose u = x2 + x + 3, u’ = 2x + 1 et n = 2.

La primitive de la fonction  =  est donc 
.

La primitive de la fonction f est donc , avec k une constante.

Exemple 3 – Déterminer une primitive sur  pour x > 2 de : .

D’après le tableau de dérivées précédent, on a vu que la dérivée de la fonction  vaut .

Par lecture inverse de ce tableau, une primitive de la fonction  est donc .

Ici, on pose u = 4x – 8 et u’ = 4.

La primitive de la fonction  est donc .

On multiplie l’ensemble par  pour obtenir la fonction f.

La primitive de la fonction f est donc , avec k une constante.

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