Déterminer des primitives
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- Déterminer des primitives de fonctions usuelles par lecture « inverse » d'un tableau de dérivées.
- Déterminer des primitives de fonctions non usuelles à l'aide de quelques formules spécifiques issues de la dérivation.
- La primitive F de la fonction f’ est telle que F’ = f.
- Un tableau de dérivées associe une fonction f à sa dérivée f’. Par lecture inverse de ce tableau, on en déduit les primitives F des fonctions f’.
Les dérivées
| F’ = f |
avec :
|
La notation F’ est aussi notée
. On indique que l’on dérive la
fonction F par rapport à la
variable x. Il se peut en effet que
la fonction F soit définie par
plusieurs variables : x, y, z, t, etc.
| Fonction | Primitive |
| f = a + b + c + d + … avec f, a, b, c, d… des fonctions | F = Fa + Fb + Fc + Fd + ...avec F, Fa , Fb, Fc, Fd… les primitives respectives des fonctions f, a, b , c, d… |
Un tableau de dérivées consiste à associer une fonction f à sa dérivée f’.
| Fonction | Fonction dérivée |
| f | f’ |
On suppose maintenant qu’on dispose de la fonction f’ et que l’on cherche sa primitive F. Par lecture inverse de ce tableau de dérivées (de la droite vers la gauche), on en déduit que la primitive F de la fonction f’ est telle que F’ = f.
Les primitives sont toujours déterminées à une constante k près.
Voici le tableau de dérivées de quelques fonctions usuelles.
| Fonction | Fonction dérivée |
|
xn avec n un entier |
nxn–1 |
| cos(x) | –sin(x) |
| sin(x) | cos(x) |
|
sin(ax) avec a un entier relatif |
a cos(ax) |
|
cos(ax) avec a un entier relatif |
–a sin(ax) |
de la fonction :f : x → x4 – 2x3 + x – 3.
D’après le tableau de dérivées précédent, on a vu que la dérivée de la fonction xn vaut nxn–1.
Par lecture inverse de ce tableau, une primitive de la fonction nxn–1 est donc xn.
On déduit de la propriété précédente que la primitive de la fonction xn–1 est
.
On décompose la fonction f en différents termes pour trouver la primitive de chacun de ces termes.
-
x4 :
sa primitive vaut
(on applique la formule précédente avec n = 5) -
–2 x3 :
sa primitive vaut
soit 
(on applique la formule précédente avec n = 4) -
x :
sa primitive vaut
(on applique la formule précédente avec n = 2) -
–3 :
sa primitive vaut –3 x
(on applique la formule précédente avec n = 1).
La primitive de la fonction f est donc la somme de la
primitive de chaque terme : 
, avec k une constante.
On détermine la primitive par lecture inverse du tableau de dérivées précédent.
On décompose la fonction f en différents termes :
- sin(x) : sa primitive vaut –cos(x)
- 3 cos(2x) : sa primitive
vaut
(la primitive de la fonction a cos(ax) est sin(ax) donc la primitive de cos(ax) est
)
La primitive de la fonction f est donc 
, avec k une constante.
Dans toute cette partie, u est une fonction dérivable sur un intervalle I (que l'on précisera). On cherche cette fois à retrouver les primitives de fonctions u qui dépendent de la variable x.
| Fonction | Fonction dérivée | Intervalle I |
|
un+1 avec n un entier |
(n+1)un × u' |
|
 avec n un entier |
|
* (tous les entiers positifs et négatifs à l’exception de 0) |
|
|
*+ (tous les entiers positifs à l’exception de 0) |
| ln(u) |
|
*+
|
| eu | u' × eu |
|
de la fonction f : x → 5x(x2 + 1)3.
D’après le tableau de dérivées précédent, on a vu que la dérivée de la fonction un+1 vaut (n+1)un × u'.
Par lecture inverse de ce tableau, une primitive de la fonction (n+1) un × u' est donc un+1.
On déduit de la propriété précédente que la primitive de la fonction un × u' est
.
Ici, on pose u = x2 + 1, u’ = 2x (on obtient u’ en dérivant u) et n = 3.
La primitive de la fonction u’
× un = 2x (x2 + 1)3est
donc 
.
On multiplie l’ensemble par 
pour obtenir la fonction f.
La primitive de la fonction f est donc 
, avec k une constante.
de la fonction 
.
D’après le tableau de
dérivées précédent, on a vu
que la dérivée de la
fonction 
vaut 
.
Par lecture inverse de ce tableau, une primitive de la
fonction est donc 
.
On déduit de la propriété précédente que la primitive de la fonction
est 
.
Ici, on pose u = x2 + x + 3, u’ = 2x + 1 et n = 2.
La primitive de la fonction = 
est donc
= 
.
La primitive de la fonction f est donc 
, avec k une constante.
pour x > 2
de : 
.
D’après le tableau de
dérivées précédent, on a vu
que la dérivée de la
fonction 
vaut 
.
Par lecture inverse de ce tableau, une primitive de la
fonction est donc .
Ici, on pose u = 4x – 8 et u’ = 4.
La primitive de la fonction 
est donc 
.
On multiplie l’ensemble par 
pour obtenir la fonction f.
La primitive de la fonction f est donc 
, avec k une constante.
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