Résoudre des équations différentielles

• C une constante réelle quelconque
• e^ax la fonction exponentielle
• a un réel
• x l’inconnue

Alors f ’(x) = C × a × e^ax = a × C × e^ax = a f(x), donc f est bien solution de l’équation différentielle y' = ay.

Réciproquement, soit f une fonction définie et dérivable sur , solution de l’équation différentielle y' = ay. On définit la fonction g sur  par g(x) = e^–ax f(x).

La fonction g est le produit de deux fonctions dérivables sur , elle est donc elle-même dérivable sur  et on a :

g’(x) = –a e^–ax f(x) + e^–ax f ’(x)

Or f est solution de l’équation différentielle y’ = ay, on a donc f ’(x) = a f(x).

Ainsi :

g’(x) = –e^–ax af(x) + e^–ax f '(x)

g’(x) = –e^–axf ’(x) + e^–ax f ’(x)

g’(x) = 0

La fonction g est de dérivée nulle, c’est donc une fonction constante.

Ainsi g(x) = e^–ax f (x) = C, avec , d’où f(x) = Ce^ax.

Ainsi :

• (f + g)’ = f ’ + g’ = af + ag = a (f + g)
• (kf)’ = kf ’ = kaf = a(kf).

• a et b deux réels
• a ≠ 0

Soit la fonction g définie sur  par  avec a et b deux réels et a ≠ 0. On a alors g’(x) = 0.

Ainsi, 

On a bien ag(x) + b = g’(x).

La fonction g est solution de l’équation différentielle y’ = ay + b.

•  la solution particulière constante de l’équation y’ = ay + b
• v(x) une solution quelconque de l'équation y’ = ay : v(x) = Ce^ax

• f une fonction définie sur un intervalle I
• a un réel non nul
• u(x) est une solution particulière de l’équation y’ = ay + b
• v(x) une solution quelconque de l’équation y’ = ay : v(x) = Ce^ax