Résoudre des équations différentielles - Maxicours

Résoudre des équations différentielles

Objectifs
  • Résoudre des équations différentielles du type y' = ay + b avec a et b réels.
  • Résoudre des équations différentielles du type y' = ay + f avec a réel et f une fonction.
Points clés
  • Les solutions de l’équation différentielle y' = ay, a   sont les fonctions de la forme x  Ceax, où C est une constante réelle quelconque.
  • La fonction x →  est la solution particulière constante de l’équation différentielle y' = ay b, où a et b sont deux réels avec a  0.
  • Les solutions de l’équation différentielle y' = ay + b, où a et b sont deux réels et a  0, sont donc de la forme :  avec .
Pour bien comprendre
  • Déterminer la primitive d’une fonction.
  • Connaitre la fonction exponentielle.
1. Introduction
Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction.

On va apprendre à résoudre les équations différentielles du type suivant.

y' = ay
y' = ay + b
y' = ay + f
avec :
  • a et des réels
  • y une fonction dérivable
  • y’ la dérivée de la fonction y
  • f une fonction dérivable
2. L'équation différentielle y' = ay
a. Solution générale de l'équation différentielle y' = ay

Les solutions de l’équation différentielle y' = ay avec , sont les fonctions de la forme suivante.

x → Ceax avec :
  • C une constante réelle quelconque
  • eax la fonction exponentielle
  • a un réel
  • x l’inconnue
Démonstration
Soit la fonction f  définie sur  par f(x) = Ceax, où C est un réel.

Alors (x) = C × a × eax = a × C × eax = a f(x), donc f est bien solution de l’équation différentielle y' = ay.

Réciproquement, soit f une fonction définie et dérivable sur , solution de l’équation différentielle y' = ay. On définit la fonction sur  par g(x) = eax f(x).

La fonction g est le produit de deux fonctions dérivables sur , elle est donc elle-même dérivable sur  et on a :

g(x) = –a eax f(x) + eax f ’(x)

Rappel
Soient deux fonctions u et v, alors (uv)’ = uv +vu.

Or f est solution de l’équation différentielle y’ = ay, on a donc (x) = a f(x).

Ainsi :

g(x) = –eax af(x) + eax f '(x)

g(x) = –eax(x) + eax f ’(x)

g(x) = 0

La fonction g est de dérivée nulle, c’est donc une fonction constante.

Ainsi g(x) = eax (x) = C, avec , d’où f(x) = Ceax.

b. Autres solutions de l'équation différentielle y' = ay

Si f et g sont deux solutions de l’équation différentielle y’ = ay, avec , alors f + g et kf (avec k une constante ) sont également solutions de l’équation différentielle.

Démonstration
Soient f et g deux solutions de l’équation différentielle y’ = ay. On a alors ’ = af et g’ = ag.

Ainsi :

  • (f + g)’ = ’ + g’ = af + ag = a (f + g)
  • (kf)’ = kf ’ = kaf = a(kf).
c. Exemple

On cherche les solutions de l’équation différentielle y’ = 2y.

Les solutions de ce type d’équation s’écrivent sous la forme f(x) = Ce2x, avec C une constante qui appartient à .

On représente ci-dessous quelques exemples de solutions pour différentes valeurs de C.


Représentation des solutions f(x) = Ce2x

La solution qui vérifie par exemple f(1) = 3 est telle que Ce2 = 3 soit C = 3e2. Cette solution s’écrit donc f(x) = 3e2 × e2x = 3e2(x1).

3. L'équation différentielle y' = ay + b

L’équation y’ = ay + b, avec a et b deux réels et a ≠ 0, est appelée équation linéaire du premier ordre à coefficients constants. Elle possède une solution simple, appelée solution particulière constante, ainsi qu’un ensemble de solutions.

a. Solution particulière constante

L’équation différentielle y’ = ay + b a une solution appelée solution particulière constante.

avec :
  • a et b deux réels
  • a ≠ 0
Démonstration
On cherche une solution de l’équation différentielle y’ = ay + b.

Soit la fonction g définie sur  par  avec a et b deux réels et a ≠ 0. On a alors g(x) = 0.

Ainsi, 

On a bien ag(x) + b = g(x).

La fonction g est solution de l’équation différentielle y’ = ay + b.

b. Ensemble des solutions

Les solutions de l’équation différentielle y’ = ay + b, où a et b sont deux réels et a ≠ 0, sont les fonctions de la forme suivante.

avec :
  •  la solution particulière constante de l’équation y’ = ay + b
  • v(x) une solution quelconque de l'équation y’ = ay : v(x) = Ceax
Les solutions de l’équation différentielle y’ = ay + b sont donc de la forme x → – + Ceax, avec .
c. Exemple

On cherche les solutions de l’équation différentielle y’ = 3y + 4.

Les solutions de ce type d’équation s’écrivent sous la forme  avec C une constante qui appartient à .

La solution qui vérifie par exemple la condition f(0) = –1 est telle que , soit , donc .

4. L'équation différentielle y' = ay + f
a. Solution de l'équation différentielle y' = ay + f

Les solutions de l’équation différentielle y’ = ay + f sont les fonctions de la forme suivante.

x → u(x) + v(x) avec :
  • f une fonction définie sur un intervalle I
  • a un réel non nul
  • u(x) est une solution particulière de l’équation y’ = ay + b
  • v(x) une solution quelconque de l’équation y’ = ay : v(x) = Ceax
Remarque
En pratique, la solution particulière de l’équation y’ = ay + b sera donnée et permettra de déterminer toutes les solutions.
b. Exemple

On cherche les solutions de l’équation différentielle y’ = 2y + x2 + 3.

On donne la solution particulière .

Étape 1 – Vérification de la solution particulière de l’équation différentielle.

On commence par montrer que la fonction u définie sur  par  est solution particulière de l’équation différentielle .

On a donc :

La fonction u définie sur  par  est donc bien une solution particulière de l’équation y’ = 2y + x2 3.

Étape 2 – Autres solutions de l’équation différentielle.

Les solutions de l’équation y’ = 2y sont de la forme x → Ce2x, avec .

On en déduit que les solutions de l’équation y’ = 2y + x2 + 3 sont de la forme .

Vous avez déjà mis une note à ce cours.

Découvrez les autres cours offerts par Maxicours !

Découvrez Maxicours

Comment as-tu trouvé ce cours ?

Évalue ce cours !

 

quote blanc icon

Découvrez Maxicours

Exerce toi en t’abonnant

Des profs en ligne

  • 6j/7 de 17 h à 20 h
  • Par chat, audio, vidéo
  • Sur les matières principales

Des ressources riches

  • Fiches, vidéos de cours
  • Exercices & corrigés
  • Modules de révisions Bac et Brevet

Des outils ludiques

  • Coach virtuel
  • Quiz interactifs
  • Planning de révision

Des tableaux de bord

  • Suivi de la progression
  • Score d’assiduité
  • Un compte Parent