Quadrilatères
Pour pouvoir résoudre de nombreux problèmes de
géométrie, il faut maitriser les
propriétés des parallélogrammes et
surtout les caractériser.
Quelles sont les définitions et propriétés des différents parallélogrammes ? Comment les caractériser ?
Quelles sont les définitions et propriétés des différents parallélogrammes ? Comment les caractériser ?
1. Les parallélogrammes
a. Définition
Un parallélogramme est un
quadrilatère ayant ses côtés
opposés parallèles deux à deux.
Exemples :
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Les côtés [CD] et [AB] sont
parallèles Les cotés [AC] et [BD] sont parallèles Donc le quadrilatère ABDC est un parallélogramme. |
b. Propriétés
Dans un parallélogramme :
a) Les diagonales se coupent en leur milieu
b) Les côtés opposés 2 à 2 ont la même longueur
c) Les mesures des angles opposés sont égales
a) Les diagonales se coupent en leur milieu
b) Les côtés opposés 2 à 2 ont la même longueur
c) Les mesures des angles opposés sont égales
Exemples :
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ABDC est un parallélogramme, les
diagonales [AD] et [CB] se coupent en leur milieu
E. Donc AE= ED et CE=EB. |
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ABDC est un parallélogramme, donc CD=AB et AC=BD |
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ABDC est un parallélogramme, donc
et  .
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c. Caractérisation d'un
parallélogramme
Un quadrilatère ayant un centre de
symétrie est un parallélogramme.
E est un centre de symétrie.
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ABDC est un parallélogramme.
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Un quadrilatère ayant ses cotés
opposés de la même longueur est un
parallélogramme.
CD = AB et AC = BD
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ABDC est un parallélogramme.
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Un quadrilatère ayant 2 côtés
opposés parallèles et de même
longueur est un parallélogramme.
 et AB = CD
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ABDC est un parallélogramme.
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Un quadrilatère ayant ses angles opposés
de la même mesure est un
parallélogramme.
  et
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ABDC est un parallélogramme
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2. Le rectangle
a. Définition
Un rectangle est quadrilatère ayant ses
quatre angles droits.
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ABCD a ses 4 angles droits. ABCD est un rectangle. |
b. Propriétés
Si un quadrilatère est un rectangle alors
c'est un parallélogramme dont les
diagonales ont la même longueur.
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c. Caractérisation du rectangle
Si un quadrilatère a 3 angles droits, alors
c’est un rectangle.
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Si un parallélogramme a un angle droit, alors
c’est un rectangle.
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Si un parallélogramme a ses diagonales de la
même longueur, alors c’est un
rectangle.
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3. Le losange
a. Définition
Un losange est un quadrilatère ayant ses
4 côtés de la même longueur.
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AD = DC = CB = BA. Donc ABCD est un losange. |
b. Propriétés
Si un quadrilatère est un losange alors
c'est un parallélogramme dont les
diagonales sont perpendiculaires.
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 ABCD est un parallélogramme. |
c. Caractérisation du losange
Si un parallélogramme a 2 côtés
consécutifs de même longueur, alors
c’est un losange.
 AD = AB |
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Si un parallélogramme a ses diagonales
perpendiculaires, alors c’est un losange.
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4. Le carré
a. Définition
Un carré est un quadrilatère qui
est à la fois un rectangle et un losange.
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ABCD a 4 angles droits et 4 côtés de la même longueur. |
b. Propriétés
Si un quadrilatère est un carré
alors c'est un parallélogramme dont les
diagonales sont perpendiculaires et ont
la même longueur.
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 AC = DB |
c. Caractérisation du carré
Un carré est à la fois un
rectangle et un losange.
On peut donc le caractériser à partir
de ces 2 quadrilatères.
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