Résolutions d'inéquations
Que signifie résoudre une inéquation ? Comment résoudre des inéquations du premier degré, des inéquations produits et des inéquations quotients ?
Le degré de l’inéquation est l’exposant maximal de l’inconnue x.
a) 3x-4 < 0 est une inéquation du 1er degré en x ;
b) 3x²-2x > x+2 est une inéquation du 2nd degré en x ;
c) 4y+2 > 3y est une inéquation du 1er degré en y.
En simplifiant et réduisant chacun des membres ;
En ajoutant ou retranchant le même nombre aux 2 membres ;
En multipliant ou divisant les 2 membres par un même nombre strictement positif ;
On transforme une inéquation en une inéquation équivalente en changeant le sens de l'inégalité:
En multipliant ou divisant les 2 membres par un même nombre strictement négatif à la condition de changer le sens de l’inégalité.
Exemples : Résoudre les inéquations suivantes :
1)

L'ensemble des solutions de cette inéquation est

2)



L'ensemble des solutions de cette inéquation est

Si les facteurs de ce produit sont de degré 1, on parlera d’une inéquation produit du 1er degré.
Exemples :
a) (x+1)(x-1) > 0 est une inéquation produit du 1er degré ;
b) (x²+1)(x-8) ≤ 0 est une inéquation produit.
ab > 0

ab < 0

Méthode : Pour résoudre une inéquation produit du premier degré, on doit :
1) Etudier les signes du premier puis du second facteur dans un tableau de signes.
2) Utiliser la règle de signes pour obtenir le signe du produit et trouver l’ensemble des solutions de l’inéquation en faisant attention au sens de l’inégalité.
Exemples :
1) Résoudre (x+1)(x-1) > 0 :
Il s’agit d’une équation produit, on va donc étudier le signe de chacun des facteurs :
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L'ensemble des solutions de cette inéquation produit est donc

2) Résoudre (3x+1)(2x-5) ≤ 0 :
Il s’agit d’une équation produit, on va donc étudier le signe de chacun des facteurs :
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Or


L'ensemble des solutions de cette inéquation produit est

Si le numérateur et le dénominateur sont du premier degré, on parlera d’une inéquation quotient du premier degré.
Exemples :
a)

b)





Méthode : Pour résoudre une inéquation quotient du premier degré, on doit :
1) Déterminer les valeurs interdites, c'est-à-dire celles qui vont annuler le dénominateur.
2) Etudier le signe du numérateur et du dénominateur dans un tableau de signes.
3) Utiliser la règle des signes pour obtenir le signe du quotient et trouver l’ensemble des solutions de l’inéquation en faisant attention au sens de l’inégalité.
Exemples :
1) Résoudre

On détermine les valeurs interdites, c'est à dire celles qui annulent le dénominateur :

Etude des signes :
Numérateur :

Dénominateur :

Or



2) Résoudre

On détermine les valeurs interdites :

Etude des signes :
Numérateur :

Dénominateur :

Or -1 < 2, on obtient alors le tableau de signes suivant :

L'ensemble des solutions de cette inéquation quotient est

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