Résolutions d'inéquations

Soient f et g deux fonctions.
Exemples :
a) 3x-4 < 0 est une inéquation du 1er degré en x ;
b) 3x²-2x > x+2 est une inéquation du 2nd degré en x ;
c) 4y+2 > 3y est une inéquation du 1er degré en y.

Remarque : le but est d’obtenir une inéquation équivalente avec d’un côté une inconnue et de l’autre un nombre connu.


Exemples : Résoudre les inéquations suivantes :

1)

L'ensemble des solutions de cette inéquation est

2) 

                              

                 

L'ensemble des solutions de cette inéquation est

Exemples :
a) (x+1)(x-1) > 0 est une inéquation produit du 1er degré ;
b) (x²+1)(x-8) ≤ 0 est une inéquation produit.

Méthode : Pour résoudre une inéquation produit du premier degré, on doit :
1) Etudier les signes du premier puis du second facteur dans un tableau de signes.
2) Utiliser la règle de signes pour obtenir le signe du produit et trouver l’ensemble des solutions de l’inéquation en faisant attention au sens de l’inégalité.


Exemples :
1) Résoudre (x+1)(x-1) > 0 :
Il s’agit d’une équation produit, on va donc étudier le signe de chacun des facteurs :

Or - 1< 1, on obtient donc le tableau de signes suivant :


L'ensemble des solutions de cette inéquation produit est donc

2) Résoudre (3x+1)(2x-5) ≤ 0 :
Il s’agit d’une équation produit, on va donc étudier le signe de chacun des facteurs :




Or , on obtient ainsi le tableau de signes suivant :


L'ensemble des solutions de cette inéquation produit est .

Exemples :
a) est une inéquation quotient du 1er degré ;

b) est une inéquation quotient.

Méthode : Pour résoudre une inéquation quotient du premier degré, on doit :
1) Déterminer les valeurs interdites, c'est-à-dire celles qui vont annuler le dénominateur.
2) Etudier le signe du numérateur et du dénominateur dans un tableau de signes.
3) Utiliser la règle des signes pour obtenir le signe du quotient et trouver l’ensemble des solutions de l’inéquation en faisant attention au sens de l’inégalité.


Exemples :
1) Résoudre
On détermine les valeurs interdites, c'est à dire celles qui annulent le dénominateur :

Etude des signes :
Numérateur :

Dénominateur :

Or , on obtient donc le tableau de signes suivant :

L'ensemble des solutions de cette inéquation quotient est .

2) Résoudre
On détermine les valeurs interdites : 

Etude des signes :
Numérateur :

Dénominateur :

Or -1 < 2, on obtient alors le tableau de signes suivant :


L'ensemble des solutions de cette inéquation quotient est .