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Résolutions d'inéquations

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L'étude des nombres et des inégalités conduisent à la notion d'inéquation et à leur résolution.

Que signifie résoudre une inéquation ? Comment résoudre des inéquations du premier degré, des inéquations produits et des inéquations quotients ?

1. Généralités sur les inéquations

a. Définitions

Soient f et g deux fonctions.

Les inégalités f (x) < g (x), f (x) > g(x), f (x) ≥ g(x) et f (x) ≤ g(x) sont appelées des inéquations d’inconnue x.

Le degré de l’inéquation est l’exposant maximal de l’inconnue x.

Exemples :
a) 3x-4 < 0 est une inéquation du 1er degré en x ;
b) 3x²-2x > x+2 est une inéquation du 2nd degré en x ;
c) 4y+2 > 3y est une inéquation du 1er degré en y.

Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue pour lesquelles l’inéquation sera vérifiée.

b. Règles fondamentales

On transforme une inéquation en une inéquation équivalente sans changer le sens de l'inégalité:
En simplifiant et réduisant chacun des membres ;
En ajoutant ou retranchant le même nombre aux 2 membres ;
En multipliant ou divisant les 2 membres par un même nombre strictement positif ;

On transforme une inéquation en une inéquation équivalente en changeant le sens de l'inégalité:
En multipliant ou divisant les 2 membres par un même nombre strictement négatif à la condition de changer le sens de l’inégalité.

Remarque : le but est d’obtenir une inéquation équivalente avec d’un côté une inconnue et de l’autre un nombre connu.

Exemples : Résoudre les inéquations suivantes :

1)

L'ensemble des solutions de cette inéquation est

2. Inéquations produits

a. Définition

Une inéquation produit est une inéquation dont l’un des membres est un produit et l’autre 0.
Si les facteurs de ce produit sont de degré 1, on parlera d’une inéquation produit du 1er degré.

Exemples :
a) (x+1)(x-1) > 0 est une inéquation produit du 1er degré ;
b) (x²+1)(x-8) ≤ 0 est une inéquation produit.

b. Résolution des inéquations produits du 1er degré

Règle des signes : Soient a et b deux nombres :
ab > 0

a et b sont du même signe
ab < 0

a et b sont de signes contraires

Méthode : Pour résoudre une inéquation produit du premier degré, on doit :
1) Etudier les signes du premier puis du second facteur dans un tableau de signes.
2) Utiliser la règle de signes pour obtenir le signe du produit et trouver l’ensemble des solutions de l’inéquation en faisant attention au sens de l’inégalité.

Exemples :
1) Résoudre (x+1)(x-1) > 0 :
Il s’agit d’une équation produit, on va donc étudier le signe de chacun des facteurs :

Or - 1< 1, on obtient donc le tableau de signes suivant :

L'ensemble des solutions de cette inéquation produit est donc

2) Résoudre (3x+1)(2x-5) ≤ 0 :
Il s’agit d’une équation produit, on va donc étudier le signe de chacun des facteurs :

, on obtient ainsi le tableau de signes suivant :

L'ensemble des solutions de cette inéquation produit est

3. Inéquations quotients

a. Définition

Une inéquation quotient est une inéquation dont l’un des membres est un quotient et l’autre 0.
Si le numérateur et le dénominateur sont du premier degré, on parlera d’une inéquation quotient du premier degré.

Exemples :
a)

est une inéquation quotient du 1er degré ;

b)

est une inéquation quotient.

b. Résolution des inéquations quotients du 1er degré

Règle des signes : Soient a un nombre et b un nombre non nul.

a et b sont du même signe ;

a et b sont de signes différents.

Méthode : Pour résoudre une inéquation quotient du premier degré, on doit :
1) Déterminer les valeurs interdites, c'est-à-dire celles qui vont annuler le dénominateur.
2) Etudier le signe du numérateur et du dénominateur dans un tableau de signes.
3) Utiliser la règle des signes pour obtenir le signe du quotient et trouver l’ensemble des solutions de l’inéquation en faisant attention au sens de l’inégalité.

Exemples :
1) Résoudre