Résolutions d'inéquations
L'étude des nombres et des inégalités
conduisent à la notion d'inéquation et à
leur résolution.
Que signifie résoudre une inéquation ? Comment résoudre des inéquations du premier degré, des inéquations produits et des inéquations quotients ?
Que signifie résoudre une inéquation ? Comment résoudre des inéquations du premier degré, des inéquations produits et des inéquations quotients ?
1. Généralités sur les
inéquations
a. Définitions
Soient f et g deux fonctions.
a) 3x-4 < 0 est une inéquation du 1er degré en x ;
b) 3x²-2x > x+2 est une inéquation du 2nd degré en x ;
c) 4y+2 > 3y est une inéquation du 1er degré en y.
Les inégalités f (x) < g (x), f
(x) > g(x), f (x) ≥ g(x) et f (x) ≤
g(x) sont appelées des
inéquations d’inconnue x.
Le degré de l’inéquation est l’exposant maximal de l’inconnue x.
Exemples :Le degré de l’inéquation est l’exposant maximal de l’inconnue x.
a) 3x-4 < 0 est une inéquation du 1er degré en x ;
b) 3x²-2x > x+2 est une inéquation du 2nd degré en x ;
c) 4y+2 > 3y est une inéquation du 1er degré en y.
Résoudre une inéquation,
c’est trouver toutes les valeurs de
l’inconnue pour lesquelles
l’inéquation sera
vérifiée.
b. Règles fondamentales
On transforme une inéquation en une
inéquation équivalente sans changer le
sens de l'inégalité:
En simplifiant et réduisant chacun des membres ;
En ajoutant ou retranchant le même nombre aux 2 membres ;
En multipliant ou divisant les 2 membres par un même nombre strictement positif ;
On transforme une inéquation en une inéquation équivalente en changeant le sens de l'inégalité:
En multipliant ou divisant les 2 membres par un même nombre strictement négatif à la condition de changer le sens de l’inégalité.
Remarque : le but est d’obtenir une
inéquation équivalente avec d’un
côté une inconnue et de l’autre un
nombre connu.En simplifiant et réduisant chacun des membres ;
En ajoutant ou retranchant le même nombre aux 2 membres ;
En multipliant ou divisant les 2 membres par un même nombre strictement positif ;
On transforme une inéquation en une inéquation équivalente en changeant le sens de l'inégalité:
En multipliant ou divisant les 2 membres par un même nombre strictement négatif à la condition de changer le sens de l’inégalité.
Exemples : Résoudre les inéquations suivantes :
1)
L'ensemble des solutions de cette inéquation est
2)
L'ensemble des solutions de cette inéquation est
2. Inéquations produits
a. Définition
Une inéquation produit est une
inéquation dont l’un des membres est un
produit et l’autre 0.
Si les facteurs de ce produit sont de degré 1, on parlera d’une inéquation produit du 1er degré.
Si les facteurs de ce produit sont de degré 1, on parlera d’une inéquation produit du 1er degré.
Exemples :
a) (x+1)(x-1) > 0 est une inéquation produit du 1er degré ;
b) (x²+1)(x-8) ≤ 0 est une inéquation produit.
b. Résolution des inéquations produits
du 1er degré
Règle des signes : Soient a et b deux
nombres :
ab > 0
a et b sont du
même signe
ab < 0
a et b sont de
signes contraires
ab > 0
a et b sont du
même signeab < 0
a et b sont de
signes contraires
Méthode : Pour résoudre une inéquation produit du premier degré, on doit :
1) Etudier les signes du premier puis du second facteur dans un tableau de signes.
2) Utiliser la règle de signes pour obtenir le signe du produit et trouver l’ensemble des solutions de l’inéquation en faisant attention au sens de l’inégalité.
Exemples :
1) Résoudre (x+1)(x-1) > 0 :
Il s’agit d’une équation produit, on va donc étudier le signe de chacun des facteurs :
|
|
L'ensemble des solutions de cette inéquation produit est donc
2) Résoudre (3x+1)(2x-5) ≤ 0 :
Il s’agit d’une équation produit, on va donc étudier le signe de chacun des facteurs :
|
Or
, on obtient ainsi le tableau de
signes suivant :
L'ensemble des solutions de cette inéquation produit est
.
3. Inéquations quotients
a. Définition
Une inéquation quotient est une
inéquation dont l’un des membres est un
quotient et l’autre 0.
Si le numérateur et le dénominateur sont du premier degré, on parlera d’une inéquation quotient du premier degré.
Si le numérateur et le dénominateur sont du premier degré, on parlera d’une inéquation quotient du premier degré.
Exemples :
a)
est une inéquation
quotient du 1er degré ;b)
est une inéquation quotient.
b. Résolution des inéquations
quotients du 1er degré
Règle des signes : Soient a un nombre et
b un nombre non nul.
a et b sont du
même signe ;
a et b sont de
signes différents.
a et b sont du
même signe ;a et b sont de
signes différents.
Méthode : Pour résoudre une inéquation quotient du premier degré, on doit :
1) Déterminer les valeurs interdites, c'est-à-dire celles qui vont annuler le dénominateur.
2) Etudier le signe du numérateur et du dénominateur dans un tableau de signes.
3) Utiliser la règle des signes pour obtenir le signe du quotient et trouver l’ensemble des solutions de l’inéquation en faisant attention au sens de l’inégalité.
Exemples :
1) Résoudre
On détermine les valeurs interdites, c'est à dire celles qui annulent le dénominateur :
Etude des signes :
Numérateur :
Dénominateur :
Or
, on obtient donc le tableau de
signes suivant :
.2) Résoudre
On détermine les valeurs interdites :
Etude des signes :
Numérateur :
Dénominateur :
Or -1 < 2, on obtient alors le tableau de signes suivant :
L'ensemble des solutions de cette inéquation quotient est
.
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