Fonction carré
Objectif
Parmi les fonctions numériques, la fonction carré
possède un axe de symétrie.
Comment définit on la fonction carré ? Quel est le sens de variation et la représentation graphique de la fonction carré ?
Comment définit on la fonction carré ? Quel est le sens de variation et la représentation graphique de la fonction carré ?
1. Définition de la fonction carré
On appelle fonction carré la fonction f qui
à tout nombre x associe son carré x².
Pour tout réel x, on note f (x) = x².
Pour tout réel x, on note f (x) = x².
Exemples :
L'image de 4 par la fonction carré est 16.
L'image de - 7 par la fonction carré est 49.
L'image de
par la fonction carré est 7.
2. Sens de variation
La fonction carré est : strictement
décroissante sur 
et strictement croissante sur
,
ce qui signifie que : et strictement croissante sur
,
Si a et b sont deux réels négatifs alors
a < b équivaut à a² >
b²
Si a et b sont deux réels positifs alors a < b équivaut à a² < b²
Si a et b sont deux réels positifs alors a < b équivaut à a² < b²
Exemple d'utilisation : Encadrement de x² sur ] - 2 ; 3 [
La fonction carré est décroissante
sur  donc si -2 < x  0 alors 
|
La fonction carrée est croissante sur
 donc si  alors
|
On en déduit que si x > - 2 et x < 3 alors
Attention la réciproque est fausse : Si
, On ne peut pas en déduire que - 2 < x <
3.Par exemple si x = - 2,5 alors x² = 6,25. Or
.
3. Représentation graphique de la fonction
carré
La courbe représentative de la fonction
carré dans un repère (O,I,J) s'appelle une
parabole.
Cette parabole passe en particulier par les points A(1 ; 1), B(2 ; 4), C (3 ; 9), A' (-1 ; 1), B' (-2 ; 4) et C' (-3; 9).
Remarque : Les points A et A' sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées (OJ). Il est est de même des points B et B', et C et C'.
D'une façon générale,pour tout x, (-x)² = x² d'où f (-x) = f (x)
On en déduit que pour tout x, les points M(x ; x²) et M'(- x ; x²), sont deux points de la parabole et que M et M' sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
L'axe des ordonnées et donc un axe de
symétrie de la parabole.
Lorsque pour tout x de son domaine de définition,
f (-x) = f (x), on dira que la fonction est
paire.
La fonction carré est donc paire.
La fonction carré est donc paire.
Illustration
animée : Sélectionner
la courbe représentative de la fonction carrée
puis déplacer le point A le long de la
courbe.
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