Fonction inverse
Objectif
Parmi les fonctions numériques, la fonction inverse
possède un centre de symétrie.
Comment définit-on la fonction inverse ? Quel est le sens de variation et la représentation graphique de la fonction inverse ?
Comment définit-on la fonction inverse ? Quel est le sens de variation et la représentation graphique de la fonction inverse ?
1. Définition de la fonction inverse
On appelle fonction homographique toute fonction
de la forme : 
.
Avec c ≠ 0 et a, b et d des réels donnés.
Si c = 0, on se retrouve dans le cas d’une fonction polynôme du 1er degré.
Elle est définie si le dénominateur est non nul, soit :
.
D'où :
.
Exemple :.Avec c ≠ 0 et a, b et d des réels donnés.
Si c = 0, on se retrouve dans le cas d’une fonction polynôme du 1er degré.
Elle est définie si le dénominateur est non nul, soit :
.D'où :
.
La fonction
est définie si 
soit 
.On en déduit
.
La fonction inverse est un cas particulier
des fonctions homographiques : c'est la fonction qui
à tout nombre x, différent de 0, associe le
nombre réel 
.
Pour tout réel x, on note
.
.Pour tout réel x, on note
.
Exemples :
L'image de 4 par la fonction inverse est
.L'image de - 7 par la fonction inverse est
.
2. Sens de variation
La fonction inverse est : décroissante
sur 
et décroissante sur
.
et décroissante sur
.
Attention : On ne peut pas dire que la fonction inverse est décroissante sur
car 
n'est pas un intervalle
continu.De ce qui précède on en déduit que :
Si a et b sont deux réels strictement
négatifs alors a < b équivaut
à 
.
Si a et b sont deux réels strictement positifs alors a < b équivaut à.
.Si a et b sont deux réels strictement positifs alors a < b équivaut à
.
Remarque :
Si a > 3 on peut en conclure que
; Si a < 3, pour comparer les inverses de a et de 3, il faut distinguer deux cas suivant le signe de a :
si a > 0 alors
(a = 1 alors 
)si a < 0 alors
(a = - 1 alors 
).Exemple d'application : Résoudre l'inéquation
.
est forcément positif
puisque supérieur à 1.Donc d'une part :
d'après les propriétés précédentes on peut écrire
donc x - 1 < 2 ce qui signifie
que x < 3.D'autre part :
pour que
soit positif il faut que l'on ait
x - 1 > 0 donc que x > 1.L'inéquation
a donc pour solution ]1 ;
3[.
3. Représentation graphique
La courbe représentative de la fonction
inverse dans un repère (O,I,J) est une
hyperbole.
Cette hyperbole passe en particulier par les points A(1 ; 1), B(0,5 ; 2), C(2 ; 0,5), A'(-1 ; -1), B'(-0,5 ; - 2), C'(-2 ; - 0,5).
Remarque : O est le milieu des segments [A;A'], [BB'] et [CC'].
D'une façon générale pour tout
, 
donc f (-x) = - f
(x).On en déduit que pour tout
, les points 
et 
sont deux points de
l'hyperbole et que O est le milieu de [MM'].O est donc centre de symétrie de l'hyperbole.
Lorsque pour tout x de l’ensemble de
définition f (-x)= - f (x), on dit que
la fonction f est impaire et l’origine du
repère est le centre de symétrie de
la courbe représentative.
La fonction inverse est donc impaire.
La fonction inverse est donc impaire.
Illustration
animée : Sélectionner
la courbe représentative de la fonction inverse puis
déplacer le point A le long de la
courbe.
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