Fonction inverse - Maxicours

Fonction inverse

Objectif
Parmi les fonctions numériques, la fonction inverse possède un centre de symétrie.

Comment définit-on la fonction inverse ? Quel est le sens de variation et la représentation graphique de la fonction inverse ?
1. Définition de la fonction inverse
On appelle fonction homographique toute fonction de la forme : .
Avec c ≠ 0 et a, b et d des réels donnés.
Si c = 0, on se retrouve dans le cas d’une fonction polynôme du 1er degré.

Elle est définie si le dénominateur est non nul, soit : .
D'où : .
Exemple :

La fonction est définie si soit .

On en déduit .


La fonction inverse est un cas particulier des fonctions homographiques : c'est la fonction qui à tout nombre x, différent de 0, associe le nombre réel .
Pour tout réel x, on note .

Exemples :

L'image de 4 par la fonction inverse est .

L'image de - 7 par la fonction inverse est .
2. Sens de variation
La fonction inverse est :   décroissante sur
                                  et décroissante sur .

Attention : On ne peut pas dire que la fonction inverse est décroissante sur car n'est pas un intervalle continu.

De ce qui précède on en déduit que :

Si a et b sont deux réels strictement négatifs alors a < b équivaut à .
Si a et b sont deux réels strictement positifs alors a < b équivaut à .

Remarque :
Si a > 3 on peut en conclure que
Si a < 3, pour comparer les inverses de a et de 3, il faut distinguer deux cas suivant le   signe de a :
            si a > 0 alors (a = 1 alors )
            si a < 0 alors (a = - 1 alors ).


Exemple d'application : Résoudre l'inéquation .
est forcément positif puisque supérieur à 1.

Donc d'une part :
d'après les propriétés précédentes on peut écrire donc x - 1 < 2 ce qui signifie que x < 3.

D'autre part :
pour que soit positif il faut que l'on ait x - 1 > 0 donc que x > 1.

L'inéquation a donc pour solution ]1 ; 3[.



3. Représentation graphique
La courbe représentative de la fonction inverse dans un repère (O,I,J) est une hyperbole.

Cette hyperbole passe en particulier par les points A(1 ; 1), B(0,5 ; 2), C(2 ; 0,5), A'(-1 ; -1), B'(-0,5 ; - 2), C'(-2 ; - 0,5).


Remarque : O est le milieu des segments [A;A'], [BB'] et [CC'].
D'une façon générale pour tout ,   donc  f (-x) = - f (x).
On en déduit que pour tout , les points et sont deux points de l'hyperbole et que O est le milieu de [MM'].
O est donc centre de symétrie de l'hyperbole.

Lorsque pour tout x de l’ensemble de définition f (-x)= - f (x), on dit que la fonction f est impaire et l’origine du repère est le centre de symétrie de la courbe représentative.

La fonction inverse est donc impaire.


Illustration animée : Sélectionner la courbe représentative de la fonction inverse puis déplacer le point A le long de la courbe.
 

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