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Fonction inverse

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Objectif

Parmi les fonctions numériques, la fonction inverse possède un centre de symétrie.

Comment définit-on la fonction inverse ? Quel est le sens de variation et la représentation graphique de la fonction inverse ?

1. Définition de la fonction inverse

On appelle fonction homographique toute fonction de la forme :

.
Avec c ≠ 0 et a, b et d des réels donnés.
Si c = 0, on se retrouve dans le cas d’une fonction polynôme du 1^er degré.

Elle est définie si le dénominateur est non nul, soit :

.
D'où :

Exemple :

La fonction

est définie si

soit

.

On en déduit

La fonction inverse est un cas particulier des fonctions homographiques : c'est la fonction qui à tout nombre x, différent de 0, associe le nombre réel

.
Pour tout réel x, on note

Exemples :

L'image de 4 par la fonction inverse est

.

L'image de - 7 par la fonction inverse est

2. Sens de variation

La fonction inverse est : décroissante sur

et décroissante sur

Attention : On ne peut pas dire que la fonction inverse est décroissante sur

car

n'est pas un intervalle continu.

De ce qui précède on en déduit que :

Si a et b sont deux réels strictement négatifs alors a < b équivaut à

.
Si a et b sont deux réels strictement positifs alors a < b équivaut à

Remarque :
Si a > 3 on peut en conclure que

;
Si a < 3, pour comparer les inverses de a et de 3, il faut distinguer deux cas suivant le signe de a :
si a > 0 alors

(a = 1 alors

)
si a < 0 alors

(a = - 1 alors

).

Exemple d'application : Résoudre l'inéquation

est forcément positif puisque supérieur à 1.

Donc d'une part :
d'après les propriétés précédentes on peut écrire

donc x - 1 < 2 ce qui signifie que x < 3.

D'autre part :
pour que

soit positif il faut que l'on ait x - 1 > 0 donc que x > 1.

L'inéquation

a donc pour solution ]1 ; 3[.

3. Représentation graphique

La courbe représentative de la fonction inverse dans un repère (O,I,J) est une hyperbole.

Cette hyperbole passe en particulier par les points A(1 ; 1), B(0,5 ; 2), C(2 ; 0,5), A'(-1 ; -1), B'(-0,5 ; - 2), C'(-2 ; - 0,5).

Remarque : O est le milieu des segments [A;A'], [BB'] et [CC'].
D'une façon générale pour tout

donc f (-x) = - f (x).
On en déduit que pour tout

, les points

sont deux points de l'hyperbole et que O est le milieu de [MM'].
O est donc centre de symétrie de l'hyperbole.

Lorsque pour tout x de l’ensemble de définition f (-x)= - f (x), on dit que la fonction f est impaire et l’origine du repère est le centre de symétrie de la courbe représentative.

La fonction inverse est donc impaire.

Illustration animée : Sélectionner la courbe représentative de la fonction inverse puis déplacer le point A le long de la courbe.

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