Fonction inverse
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Comment définit-on la fonction inverse ? Quel est le sens de variation et la représentation graphique de la fonction inverse ?
.Avec c ≠ 0 et a, b et d des réels donnés.
Si c = 0, on se retrouve dans le cas d’une fonction polynôme du 1er degré.
Elle est définie si le dénominateur est non nul, soit :
.D'où :
.
La fonction
est définie si 
soit 
.On en déduit
.
.Pour tout réel x, on note
.
Exemples :
L'image de 4 par la fonction inverse est
.L'image de - 7 par la fonction inverse est
.
et décroissante sur
.
Attention : On ne peut pas dire que la fonction inverse est décroissante sur
car 
n'est pas un intervalle
continu.De ce qui précède on en déduit que :
.Si a et b sont deux réels strictement positifs alors a < b équivaut à
.
Remarque :
Si a > 3 on peut en conclure que
; Si a < 3, pour comparer les inverses de a et de 3, il faut distinguer deux cas suivant le signe de a :
si a > 0 alors
(a = 1 alors 
)si a < 0 alors
(a = - 1 alors 
).Exemple d'application : Résoudre l'inéquation
.
est forcément positif
puisque supérieur à 1.Donc d'une part :
d'après les propriétés précédentes on peut écrire
donc x - 1 < 2 ce qui signifie
que x < 3.D'autre part :
pour que
soit positif il faut que l'on ait
x - 1 > 0 donc que x > 1.L'inéquation
a donc pour solution ]1 ;
3[.Cette hyperbole passe en particulier par les points A(1 ; 1), B(0,5 ; 2), C(2 ; 0,5), A'(-1 ; -1), B'(-0,5 ; - 2), C'(-2 ; - 0,5).
Remarque : O est le milieu des segments [A;A'], [BB'] et [CC'].
D'une façon générale pour tout
, 
donc f (-x) = - f
(x).On en déduit que pour tout
, les points 
et 
sont deux points de
l'hyperbole et que O est le milieu de [MM'].O est donc centre de symétrie de l'hyperbole.
La fonction inverse est donc impaire.
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